2010年高考试题——文科数学（广东卷、江苏卷）解析版.doc

绝密启用前 试卷类型：b2010年普通高等学校招生全国统一考试（广东卷）数学（文科解析）本试卷共4页，21小题，满分150分。考试用时120分钟。注意事项：1.答卷时，考生务必用黑色字迹的钢笔或签字笔将自己的姓名和考生号、试室、座位号填写在答题卡上。用2b铅笔将试卷类型（b）填涂在答题卡相应位置上。将条形码横贴在答题卡右上角“条形码粘贴处”。2.选择题每小题选出答案后，用2b铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案，答案不能答在试卷上。3.非选择题必须用黑色字迹钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题指定区域内相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用铅笔和涂改液。不按以上要求作答的答案无效。4.作答选作题时，请先用2b铅笔填涂选做题的题号对应的信息点，再作答。5.考生必须保持答题卡的整洁。考试结束后，将试卷和答题卡一并交回。参考公式：锥体的体积公式，其中是锥体的底面积，是锥体的高.一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，满分50分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.若集合，则集合a. b. c. d. 解：并集，选a.2.函数的定义域是a. b. c. d. 解：，得，选b.3.若函数与的定义域均为r，则a. 与与均为偶函数 b.为奇函数，为偶函数c. 与与均为奇函数 d.为偶函数，为奇函数解:由于,故是偶函数,排除b、c4已知数列为等比数列，是它的前n项和，若，且与的等差中项为，则s5=w_w w. k#s5_u.c o*mw_w*w.k_s_5 u.c*o*m a35 b33 c31 d295若向量=（1,1），=（2,5），=(3,x)满足条件 (8)=30，则= a6 b5 c4 d36若圆心在轴上、半径为的圆位于轴左侧，且与直线相切，则圆的方程是w_w w. k#s5_u.c o*m a b w_w*w.k_s_5 u.c*o*m c d【解析】由题意知，圆心在y轴左侧，排除a、c在，故，选d.7.若一个椭圆长轴的长度、短轴的长度和焦距成等差数列，则该椭圆的离心率是a. b. c. d. 8“0”是“0”成立的 a充分非必要条件 b必要非充分条件w_w*w.k_s_5 u.c*o*m c非充分非必要条件 d充要条件9如图1， 为正三角形，则多面体的正视图(也称主视图)是w_w*w.k_s_5 u.c*o*m10.在集合上定义两种运算和如下 那么a. b. c. d.解：由上表可知：,故，选a。二、填空题：本大题共5小题，考生作答4小题，每小题5分，满分20分。（一）必做题（1113题）11.某城市缺水问题比较突出，为了制定节水管理办法，对全市居民某年的月均用水量进行了抽样调查，其中4位居民的月均用水量分别为（单位：吨）。根据图2所示的程序框图，若分别为1，1.5，1.5，2，则输出的结果为 .解析：第一（）步：第二（）步： 第三（）步：第四（）步：，第五（）步：，输出12某市居民20052009年家庭年平均收入x（单位：万元）与年平均支出y（单位：万元）的统计资料如下表所示：w_w w. k#s5_u.c o*m年份20052006200720082009收入x11.512.11313.315支出y1012根据统计资料，居民家庭年平均收入的中位数是 13 ，家庭年平均收入与年平均支出有 y=x-3 线性相关关系.13已知a，b，c分别是abc的三个内角a，b，c所对的边，若a=1，b=，a+c=2b，则sina= . w_w w. k#s5_u.c o*m（二）选做题（14、15题，考生只能从中选做一题）14.（几何证明选讲选做题）如图3，在直角梯形abcd中，dcab,cb,ab=ad=,cd=,点e,f分别为线段ab,ad的中点，则ef= 解：连结de，可知为直角三角形。则ef是斜边上的中线，等于斜边的一半，为.15.（坐标系与参数方程选做题）在极坐标系中，曲线与的交点的极坐标为 .16（本小题满分14分）设函数，且以为最小正周期（1）求；w_w（2）求的解析式；（3）已知，求的值w_w*w.k_s_5 u.c*o*m17.（本小题满分12分）某电视台在一次对收看文艺节目和新闻节目观众的抽样调查中，随机抽取了100名电视观众，相关的数据如下表所示：文艺节目新闻节目总计20至40岁401858大于40岁152742总计554510018.（本小题满分14分）如图4，弧aec是半径为的半圆，ac为直径，点e为弧ac的中点，点b和点c为线段ad的三等分点，平面aec外一点f满足fc平面bed,fb=（1）证明：ebfd（2）求点b到平面fed的距离. （1）证明：点e为弧ac的中点 19.（本题满分12分）某营养师要求为某个儿童预订午餐和晚餐.已知一个单位的午餐含12个单位的碳水化合物，6个单位的蛋白质和6个单位的维生素c;一个单位的晚餐含8个单位的碳水化合物，6个单位的蛋白质和10个单位的维生素c.另外，该儿童这两餐需要的营状中至少含64个单位的碳水化合物和42个单位的蛋白质和54个单位的维生素c.如果一个单位的午餐、晚餐的费用分别是2.5元和4元，那么要满足上述的营养要求，并且花费最少，应当为该儿童分别预订多少个单位的午餐和晚餐？解：设为该儿童分别预订个单位的午餐和个单位的晚餐，设费用为f，则f，由题意知：画出可行域：变换目标函数：20.（本小题满分14分）已知函数对任意实数均有，其中常数为负数，且在区间上有表达式.w_w w. k#s5_u.c o*m（1）求，的值；（2）写出在上的表达式，并讨论函数在上的单调性；（3）求出在上的最小值与最大值，并求出相应的自变量的取值. w_w*w.k_s_5 u.c*o*m（2）当时，当时，当时，f(x)= c. 当时，此时：21.（本小题满分14分）w_w w. k#s5_u.c o*m已知曲线，点是曲线上的点（n=1,2,）.（1）试写出曲线在点处的切线的方程，并求出与轴的交点的坐标；（2）若原点到的距离与线段的长度之比取得最大值，试求试点的坐标；w_w*w.k_s_5 u.c*o*m（3）设与为两个给定的不同的正整数，与是满足（2）中条件的点的坐标，证明：w绝密启用前 2010年普通高等学校招生全国统一考试（江苏卷）数学试题注 意 事 项考生在答题前请认真阅读本注意事项及各题答题要求1.本试卷共4页，包含填空题（第1题第14题）、解答题（第15题第20题）。本卷满分160分，考试时间为120分钟。考试结束后，请将本卷和答题卡一并交回。2.答题前，请您务必将自己的姓名、准考证号用0.5毫米黑色墨水的签字笔填写在试卷及答题卡的规定位置。3.请认真核对监考员在答题卡上所粘贴的条形码上的姓名、准考证号与您本人是否相符。4.请在答题卡上按照晤顺序在对应的答题区域内作答，在其他位置作答一律无效。作答必须用0.5毫米黑色墨水的签字笔。请注意字体工整，笔迹清楚。5.如需作图，须用2b铅笔绘、写清楚，线条、符号等须加黑、加粗。6.请保持答题卡卡面清洁，不要折叠、破损。参考公式：锥体的体积公式: v锥体=sh，其中s是锥体的底面积，h是高。一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共70分。请把答案填写在答题卡相应的位置上.1、设集合a=-1,1,3，b=a+2,a2+4,ab=3，则实数a=_.【答案】1解析 考查集合的运算推理。3b, a+2=3, a=1.2、设复数z满足z(2-3i)=6+4i（其中i为虚数单位），则z的模为_.【答案】2 解析 考查复数运算、模的性质。z(2-3i)=2(3+2 i), 2-3i与3+2 i的模相等，z的模为2。3、盒子中有大小相同的3只白球，1只黑球，若从中随机地摸出两只球，两只球颜色不同的概率是_ _.【答案】 解析考查古典概型知识。4、某棉纺厂为了了解一批棉花的质量，从中随机抽取了100根棉花纤维的长度（棉花纤维的长度是棉花质量的重要指标），所得数据都在区间5,40中，其频率分布直方图如图所示，则其抽样的100根中，有_根在棉花纤维的长度小于20mm。【答案】30 解析考查频率分布直方图的知识。100（0.001+0.001+0.004）5=305、设函数f(x)=x(ex+ae-x)(xr)是偶函数，则实数a=_【答案】-1 解析考查函数的奇偶性的知识。g(x)=ex+ae-x为奇函数，由g(0)=0，得a=1。6、在平面直角坐标系xoy中，双曲线上一点m，点m的横坐标是3，则m到双曲线右焦点的距离是_【答案】4 解析考查双曲线的定义。，为点m到右准线的距离，=2，mf=4。7、右图是一个算法的流程图，则输出s的值是_【答案】63 解析考查流程图理解。输出。8、函数y=x2(x0)的图像在点(ak,ak2)处的切线与x轴交点的横坐标为ak+1,k为正整数，a1=16，则a1+a3+a5=_【答案】21 解析考查函数的切线方程、数列的通项。在点(ak,ak2)处的切线方程为：当时，解得，所以。9、在平面直角坐标系xoy中，已知圆上有且仅有四个点到直线12x-5y+c=0的距离为1，则实数c的取值范围是_来源【答案】（-13，13） 解析考查圆与直线的位置关系。 圆半径为2，圆心（0，0）到直线12x-5y+c=0的距离小于1，的取值范围是（-13，13）。10、定义在区间上的函数y=6cosx的图像与y=5tanx的图像的交点为p，过点p作pp1x轴于点p1，直线pp1与y=sinx的图像交于点p2,则线段p1p2的长为_。【答案】 解析 考查三角函数的图象、数形结合思想。线段p1p2的长即为sinx的值，且其中的x满足6cosx=5tanx，解得sinx=。线段p1p2的长为11、已知函数,则满足不等式的x的范围是_。【答案】 解析 考查分段函数的单调性。12、设实数x,y满足38，49，则的最大值是 。来源【答案】27 解析 考查不等式的基本性质，等价转化思想。，的最大值是27。13、在锐角三角形abc，a、b、c的对边分别为a、b、c，则=_。【答案】4 解析 考查三角形中的正、余弦定理三角函数知识的应用，等价转化思想。一题多解。（方法一）考虑已知条件和所求结论对于角a、b和边a、b具有轮换性。当a=b或a=b时满足题意，此时有：，= 4。（方法二），由正弦定理，得：上式=14、将边长为1m正三角形薄片，沿一条平行于底边的直线剪成两块，其中一块是梯形，记,则s的最小值是_。【答案】 解析 考查函数中的建模应用，等价转化思想。一题多解。设剪成的小正三角形的边长为，则：（方法一）利用导数求函数最小值。，当时，递减；当时，递增；故当时，s的最小值是。（方法二）利用函数的方法求最小值。令，则：故当时，s的最小值是。二、解答题：本大题共6小题，共计90分，请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明或演算步骤.15、（本小题满分14分）在平面直角坐标系xoy中，点a(1,2)、b(2,3)、c(2,1)。(1) 求以线段ab、ac为邻边的平行四边形两条对角线的长；(2) 设实数t满足()=0，求t的值。解析本小题考查平面向量的几何意义、线性运算、数量积，考查运算求解能力。满分14分。（1）（方法一）由题设知，则所以故所求的两条对角线的长分别为、。（方法二）设该平行四边形的第四个顶点为d，两条对角线的交点为e，则:e为b、c的中点，e（0，1）又e（0，1）为a、d的中点，所以d（1，4） 故所求的两条对角线的长分别为bc=、ad=；（2）由题设知：=(2,1)，。由()=0，得：，从而所以。或者：，16、（本小题满分14分）如图，在四棱锥p-abcd中，pd平面abcd，pd=dc=bc=1，ab=2，abdc，bcd=900。(1) 求证：pcbc；(2) 求点a到平面pbc的距离。解析 本小题主要考查直线与平面、平面与平面的位置关系，考查几何体的体积，考查空间想象能力、推理论证能力和运算能力。满分14分。（1）证明：因为pd平面abcd，bc平面abcd，所以pdbc。由bcd=900，得cdbc，又pddc=d，pd、dc平面pcd，所以bc平面pcd。因为pc平面pcd，故pcbc。（2）（方法一）分别取ab、pc的中点e、f，连de、df，则：易证decb，de平面pbc，点d、e到平面pbc的距离相等。又点a到平面pbc的距离等于e到平面pbc的距离的2倍。由（1）知：bc平面pcd，所以平面pbc平面pcd于pc，因为pd=dc，pf=fc，所以dfpc，所以df平面pbc于f。易知df=，故点a到平面pbc的距离等于。（方法二）体积法：连结ac。设点a到平面pbc的距离为h。因为abdc，bcd=900，所以abc=900。从而ab=2，bc=1，得的面积。由pd平面abcd及pd=1，得三棱锥p-abc的体积。因为pd平面abcd，dc平面abcd，所以pddc。又pd=dc=1，所以。由pcbc，bc=1，得的面积。由，得，故点a到平面pbc的距离等于。17、（本小题满分14分）某兴趣小组测量电视塔ae的高度h(单位：m），如示意图，垂直放置的标杆bc的高度h=4m，仰角abe=，ade=。(1) 该小组已经测得一组、的值，tan=1.24，tan=1.20，请据此算出h的值；(2) 该小组分析若干测得的数据后，认为适当调整标杆到电视塔的距离d（单位：m），使与之差较大，可以提高测量精确度。若电视塔的实际高度为125m，试问d为多少时，-最大？解析 本题主要考查解三角形的知识、两角差的正切及不等式的应用。（1），同理：，。 adab=db，故得，解得：。因此，算出的电视塔的高度h是124m。（2）由题设知，得，（当且仅当时，取等号）故当时，最大。因为，则，所以当时，-最大。故所求的是m。18、（本小题满分16分）在平面直角坐标系中，如图，已知椭圆的左、右顶点为a、b，右焦点为f。设过点t（）的直线ta、tb与椭圆分别交于点m、，其中m0,。（1）设动点p满足,求点p的轨迹；（2）设，求点t的坐标；（3）设,求证：直线mn必过x轴上的一定点（其坐标与m无关）。解析 本小题主要考查求简单曲线的方程，考查方直线与椭圆的方程等基础知识。考查运算求解能力和探究问题的能力。满分16分。（1）设点p（x，y），则：f（2，0）、b（3，0）、a（-3，0）。由，得 化简得。故所求点p的轨迹为直线。（2）将分别代入椭圆方程，以及得：m（2，）、n（，）直线mta方程为：，即，直线ntb 方程为：，即。联立方程组，解得：，所以点t的坐标为。（3）点t的坐标为直线mta方程为：，即，直线ntb 方程为：，即。分别与椭圆联立方程组，同时考虑到，解得：、。（方法一）当时，直线mn方程为： 令，解得：。此时必过点d（1，0）；当时，直线mn方程为：，与x轴交点为d（1，0）。所以直线mn必过x轴上的一定点d（1，0）。（方法二）若，则由及，得，此时直线mn的方程为，过点d（1，0）。若，则，直线md的斜率，直线nd的斜率，得，所以直线mn过d点。因此，直线mn必过轴上的点（1，0）。19、（本小题满分16分）设各项均为正数的数列的前n项和为，已知，数列是公差为的等差数列。（1）求数列的通项公式（用表示）；（2）设为实数，对满足的任意正整数，不等式都成立。求证：的最大值为。解析 本小题主要考查等差数列的通项、求和以及基本不等式等有关知识，考查探索、分析及论证的能力。满分16分。（1）由题意知：， ，化简，得：，当时，适合情形。故所求（2）（方法一）， 恒成立。 又，故，即的最大值为。（方法二）由及，得，。于是，对满足题设的，有。所以的最大值。另一方面，任取实数。设为偶数，令，则符合条件，且。于是，只要，即当时，。所以满足条件的，从而。因此的最大值为。20、（本小题满分16分）设是定义在区间上的函数，其导函数为。如果存在实数和函数，其中对任意的都有0，使得，则称函数具有性质。(1)设函数，其中为实数。(i)求证：函数具有性质； (ii)求函数的单调区间。(2)已知函数具有性质。给定设为实数，且，若|0，所以对任意的都有，在上递增。又。当时，且， 综合以上讨论，得：所求的取值范围是（0，1）。（方法二）由题设知，的导函数，其中函数对于任意的都成立。所以，当时，从而在区间上单调递增。当时，有，得，同理可得，所以由的单调性知、，从而有|，符合题设。当时，于是由及的单调性知，所以|，与题设不符。当时，同理可得，进而得|，与题设不符。因此综合、得所求的的取值范围是（0，1）。数学（附加题）21.选做题本题包括a、b、c、d四小题，请选定其中两题，并在相应的答题区域内作答。若多做，则按作答的前两题评分。解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤。a 选修4-1：几何证明选讲（本小题满分10分）ab是圆o的直径，d为圆o上一点，过d作圆o的切线交ab延长线于点c，若da=dc，求证：ab=2bc。解析 本题主要考查三角形、圆的有关知识，考查推理论证能力。（方法一）证明：连结od，则：oddc， 又oa=od，da=dc，所以dao=oda=dco， doc=dao+oda=2dco，所以dco=300，doc=600，所以oc=2od，即ob=bc=od=oa，所以ab=2bc。（方法二）证明：连结od、bd。因为ab是圆o的直径，所以adb=900，ab=2 ob。因为dc 是圆o的切线，所以cdo=900。又因为da=dc，所以dac=dca，于是adbcdo，从而ab=co。即2ob=ob+bc，得ob=bc。故ab=2bc。b 选修4-2：矩阵与变换（本小题满分10分）在平面直角坐标系xoy中，已知点a(0,0)，b(-2,0)，c(-2,1)。设k为非零实数，矩阵m=,n=，点a、b、c在矩阵mn对应的变换下得到点分别为a1、b1、c1，a1b1c1的面积是abc面积的2倍，求k的值。解析 本题主要考查图形在矩阵对应的变换下的变化特点，考查运算求解能力。满分10分。解：由题设得由，可知a1（0，0）、b1（0，-2）、c1（，-2）。计算得abc面积的面积是1，a1b1c1的面积是，则由题设知：。所以k的值为2或-2。c 选修4-4：坐标系与参数方程（本小题满分10分）在极坐标系中，已知圆=2cos与直线3cos+4sin+a=0相切，求实数a的值。解析 本题主要考查曲线的极坐标方程等基本知识，考查转化问题的能力。满分10分。解：，圆=2cos的普通方程为：，直线3cos+4sin+a=0的普通方程为：，又圆与直线相切，所以解得：，或。d 选修4-5：不等式选讲（本小题满分10分）设a、b是非负实数，求证：。解析 本题主要考查证明不等式的基本方法，考查推理论证的能力。满分10分。（方法一）证明：因为实数a、b0，所以上式0。即有。（方法二）证明：由a、b是非负实数，作差得当时，从而，得；当时，从而，得；所以。必做题第22题、第23题，每题10分，共计20分。请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤。22、 （本小题满分10分）某工厂生产甲、乙两种产品，甲产品的一等品率为80%，二等品率为20