石生电路基本分析课件第四章.ppt

第4章 正弦交流电路,内容概述：,本章主要介绍正弦量及正弦量的相量表示，KVL、KCL和元件VCR的相量形式。然后介绍用相量计算的方法分析正弦交流电路，其中包括借助相量图和电路方程法进行分析。最后介绍正弦交流电路中的功率概念和计算方法。,重点：,1.正弦量及正弦相量的基本概念，KVL、KCL和元件VCR的相量形式，阻抗和导纳的概念及应用。 2. 正弦稳态交流电路的相量法（解析法）和相量图法。 3. 正弦交流电路中的各种功率概念和计算方法。,难点：,1. 正弦相量的含义、阻抗和导纳的应用及各交流功率的概念。 2. 用相量图法分析电路，应用交流电路基本概念分析电路。,一、周期函数 设一时间函数f(t)，当其时间t每增加一定的值T时，其函 数值重复出现，称f(t)为周期函数。表为,4.3.1 正弦量,式中：,为正整数，,为周期。,例如,频率：单位时间内的周期称为频率，用f表示，其单位为1/s，又为赫兹（Hz）。 可见频率和周期的关系为,频率的单位还有千赫（kHz）、兆赫（MHz）和吉赫（GHz）。 其换算关系为,f 为频率，,T为周期。,交流电压和电流：在一个周期内平均值为零的周期电压和电流称为交流电。用AC表示。,设一正弦量电流,二、正弦量及其三要素 正弦量：随时间按正弦规律变化的电压和电流。 例如:,等。,式中：, 称为正弦量的三要素。,1. 振幅或最大值Im： 当cos( t+i)=1 时， i=Im ； cos( t+i)=-1 时， i=-Im。 它表示了正弦量的变化范围。,2.角频率: (t+i) 正弦量的相位或相角。它表示了正弦量的变 化进程。它的大小可以决定 i 的大小和正负，单位rad 或 o。,称是相位随时间变化的角速度。 即单位时间内正弦量变化的弧度数,称为角频率,单位rad/s 。,与T、f 的关系:,或,单位：T s， f 1/s 或 Hz (kHz, MHz),正弦量的三要素可以唯一确定一个正弦量,它是正弦量之间比较的依据。 4.瞬时值：即正弦量。如u(t)，i(t)等。 当t确定后,瞬时值也被确定。,正弦量在t=0时的相位,即,3.初相位(角),三、正弦量的表示方法： 1.函数表达式也称为瞬时值表达式。如:,u,图中表示了正弦量的 三要素。其中从O点 到离O 点最近的正半 波最大值处的角度为 正弦量的初相,其大小 与计时起点有关。,2.波形图。正弦量随时间变化的波形。,3. 相量及相量图表示法。,由相位差的定义：正弦量的相位之差。可得,四、相位差 在同一频率正弦激励下,线性电路的响应均为同频率正弦量。 讨论同频率正弦量的相位差,设:,即：同频率正弦量相位差等于它们的初相之差。,波形图：,u,i,o,i,u,若,称 u 超前i,角度，,角度。,或称 i 滞后 u,若,称u与 i 同相。,波形图：,u,i,o,u,i,波形图：,u,i,o,u,i,若,称 u 与 i 正交。,波形图：,称 u 与 i 反相。,若,u,i,o,u,i,说明：不同频率的正弦量,其相位差是频率的函数,即,与计时起点的选择无关。,t1,(A),100,o,50,i,例4-1 已知正弦电流的波形图, =1000rad/s ,写出 i 的表达式，求 i 达到第一个正的最大值的时间t1。,解：由图中可知：,t=0时,又,问哪个电流滞后，滞后多少度?,例4-2 设,解：,所以i2滞后i1 110 。,整理得交流电有效值定义式：,五、正弦量的有效值 定义：在相同的时间T内,相同的电阻中,分别通过直流电和交流电时产生的能量相等,则称该直流值为交流电的有效值。,交流:,直流：,由定义可知: W=W 即,均方根值,注：工程上所说交流电压、电流值大多为有效值，电气铭牌额定值指有效值。交流电表读数也是有效值。,即,同理可得,代入上式,得,将,或,工程上常用复数的极坐标形式。,4.3.2 正弦量的相量表示 一、复习复数知识 1. 复数的表示形式： 设A为一复数 代数形式 A=a+jb,由欧拉公式,指数形式可表为,三角形式,指数形式,极坐标形式,2. 代数形式和极坐标形式间的互换公式:,则,已知,得,已知,则,得,二者之间的关系可用一直角三角形表示,3. 复数运算,+j,+1,b,o,a,j,加减运算：,乘除运算：,4. 复数的向量表示:,已知,向量如图示，,在向量图中可进行向量的加减（乘除）运算。,小结: 1. 正弦量的三要素可以唯一确定一个正弦量。 2. 正弦量之间的比较依据仍然为正弦量的三要素。对于 同频率正弦量之间的比较常用相位差和有效值。 3. 正弦量的有效值和最大值的关系为,4. 复数及其计算方法是正弦交流电路计算中常用计算工具。,二、正弦量的相量,设一正弦量电流,由欧拉公式,则正弦电流可表为,称为从时域到频域的数学变换式。,讨论: (1)式中,1,0,j1,+1,+j,二者关系：,表为,称为正弦量的最大值相量。,而,(2),旋转因子。,即表示模为1,以原点为中心,在复平面,上以为角速度逆时针旋转的相量。,w t,1,称为正弦量的有效值相量。,以原点为中心在复平面 上以 为角速度逆时针旋转 时在实轴上的投影 。,c,0,a,b,+1,(t=t1),(3),(t=0),(t),正弦量 i 表示：其正弦相量,图中：i(0)=a，i(t1)=b，i(t)=c,(4)三要素可唯一确定一个正弦量，而正弦相量是用复数 表示，它只反映了正弦量的振幅（或有效值）和初相。 这是因为在同一线性电路中，在同一频率激励下的各电压电流为同频率的正弦量，在讨论 它们相互之间关系时，可以不考 虑频率的影响，因此定义正弦相 量时删去了,j,+1,o,因子。,(5)已知正弦量可直接写出相量，反之亦然。,则,又已知,其=314rad/s,例如：,则其相量为:,或,三、相量图 已知正弦量可写出其相量，并能画出相量图。,+1,0,+j,注：在相量图上可做同频率正弦量的加减（乘除）运算。,作相量图：相量的模为相量的长度, 幅角为初相。,或,例如:,4.3.3 电容元件和电感元件 一、电容元件 电容元件符号如图示：,1.定义：由q-u平面的一条曲线确定的二端元件。表为：,f（q, u）=0,2.分类：,与电阻元件类似,3. 线性电容元件（线性时不变） 定义：元件上电荷正比于电压，该元件称为线性电容。,q=Cu,其中： q：正极板上的电荷。C u：电容电压（参考方向如图示）。V C：电容系数，简称电容（线性电容为常数）。F,可表为,q-u 特性,u,C,q,O,电容的单位换算：,4. 线性电容元件电压电流关系,得,表示：电容电流正比于电压对时间的变化率。该式还可表为：,若u(0)=0，则,即：电容电压在 t 时刻的值等于从0t电流对时间的积分。,单位：uV iA CF ts,u、i 取关联参考方向时，将q=Cu代入,5.电场能量 u、i 取关联参考方向时：,若u(0)=0，则,能量的单位为：焦耳（J） WC0，表示吸收能量，WC 0，表示发出能量。,6. C 的特点 （1）C元件为贮能元件； （2）C元件有隔直通交作用； （3）C元件为无源元件。C本身不产生能量。,例4-3,，求电容,电容元件及其电压电流参考方向如图所示，已知,，电容储存能量最大值为,时的电流。,的值及,的最大值为,解：电压,，所以,时,此时电流的实际方向与参考方向相同，而电压的实际方向与参考方向相反，电容器此时在释放能量。,1.定义：由 -i 平面的一条曲线确定的二端元件。表为：,二、电感元件 电感元件符号如图示。,f（, i）=0,2.分类：与电阻元件相类似。 即分为： 线性时变电感元件 线性时不变电感元件 非线性时变电感元件 非线性时不变电感元件,3.线性电感元件（线性时不变）,L,i,0, =Li,定义：元件上磁链正比于电流，该元件称为线性电感元件。 当与i 参考方向满足右螺旋定则时，有,：磁链 =N。Wb i： 流过L的电流。A L：电感系数，简称电感（线性电感 为常数）。H 换算关系：,线性电感的 i 特性,4.线性电感元件电压电流关系,e,i,y,e,i,y,e,e,由电磁感应定律：,当e与i 取一致参考方向时，称e与 满足右螺旋定则，如图示。,此时有：,分析,实际方向,实际方向,参考方向,当u、i、e 取一致方向时，如图示。,e,此时有：,将=Li 代入上式，得：,上式表示：线性电感元件的电压正比于电流对时间的变化率。 注意：u与i 取关联参考方向。否则,电感元件电压电流关系的另一形式：,若i(0)=0，,即：电感电流在 t 时刻的值等于从0t电压对时间的积分。,单位：uV iA LH tS,则,单位： WLJ iA LH,5.磁场能量,u、i 取关联参考方向时：,若i(0)=0，,则,6. 电感元件的特点 （1）电感元件为贮能元件； （2）电感元件对直流有短接作用； （3）电感元件为无源元件。,例4-4,解：,时的磁场能量（,电感电流,，,，求其电压表达式、,时的电感电压和,参考方向,一致）。,参考方向一致时,小结：,1. 正弦量相量是一个旋转相量。 2. 线性无源二端元件电感和电容的定义式为：,3. 在电压电流取关联参考方向的条件下，电感和电容元件的电压电流关系（VCR)分别为：,注意：使用以上各公式中，各物理量的单位。,4.3.4 电路定律的相量形式 一、基尔霍夫定律的相量形式 KCL： 时域内有：,例如：,设各电流为同频率正弦量。则,注： KVL、KCL的相量形式的使用方法与时域内该定律的使用方法相同。,其一般情况的相量形式为,得,推广至一般情况有KCL的相量形式为,同理KVL： 时域内有：,二、电路元件电压、电流关系的相量形式 1. 电阻元件R,在时域内，设,由定律:,则,相量形式为,相量模型图如右。,电压电流同相。,+1,o,+j,uR ,iR,o,uR,iR,w t,结论: 电阻元件电压电流的大小关系:,相位关系：,将,代入可得:,2. 电感元件L ： 在时域内设,由欧拉公式有,相量形式:,或, 感抗。单位：,令:,或,相量模型图如右。,结论： 电感 元件电压电流的大小关系为,o,+1,+j,uL ,iL,o,uL,iL,或,相位关系：,超前,90o。,讨论： 感抗,o,w,L呈现短路。,对低频L呈现低阻力。利用该原理制作了高频扼流圈。 直流稳态时, f=0 ，,对高频 L，呈现高阻力,频率特性：,(2) ,具有电阻量纲,(1) ,(3) 感纳,单位： S,3. 电容元件 C,设:,相量形式：,或,令,相量模型图如右。,结论: 电容元件电压电流的大小关系:,uC ,iC,o,uC,iC,o,+1,+j,相位关系:,超前,90o,或：,讨论: 容抗,0,（2）频率特性,即XC对高频率信号呈现低阻力,对低频率信号呈现高阻力。如：电子线路中的旁路电容。 直流稳态时, f=0,C元件呈现为开路。,（1）,（3）容纳 BC ：,单位:S,例4-5 RL串联电路。已知 R=50, L=25H ,解：画出相量模型电路。其中:,R=50,KVL:,而,代入上式,得,求i，并画出相量图。,26.6,+1,相量图:,例4-6 RC并联电路,已知R=5,C=0.1F,求i，并画出相量图。,解: 画出相量模型电路。,其中:,R=5,KCL:,45,相量图：,而,小结: 电路基本定律的相量形式为：,KCL:,R元件：,L 元件:,C元件：,KVL:,4.3.5 阻抗与导纳 一、阻抗的定义:,设一无源二端网络，在正弦激励下， 输入电压、电流用相量表示，则（复） 阻抗定义为:,说明: 1. 由定义式，阻抗又可表为:,其中:,实部R电阻分量 ,虚部X电抗分量 ,Z和Z的单位：,无源网络可等效为:,2. 一般情况下,3. 单一元件的阻抗：,与有关。,R元件：,L 元件:,C元件：,设一无源二端网络,在正弦激励下,端口电流相量与电压相量的比值称为此网络的（复）导纳。即,二、导纳的定义:,说明： 1. 复导纳又可表为,其中:,单位:S 。,这样无源网络可等效为:,实部G电导分量（S) 虚部 B电纳分量 (S),2. 一般情况下,与有关。,3.单一元件的导纳：,R元件:,L元件:,C元件:,三、阻抗与导纳的关系,由二者关系式可得,2. 代数形式时,和,即,1. 极坐标时,由阻抗和导纳的定义可知,或,四、RLC串联电路,KVL,相量为:,设外加交流电源，有,而:,原电路可等效为:,即,则,令,电抗(),代入电压方程得:,1.讨论复阻抗Z:,结论: 阻抗的模等于,阻抗角等于,表示u与i的相位差 。,或,;,2.讨论 Z 的不同性质,j, 不同频率时Z的大小性质也不同。,(1),超前,角。Z呈现电感性。,此时称电路为感性电路。,画相量图。,设,为参考相量。,画相量图,=,(2),同相，Z呈现电阻性，Z=R，称为串联谐振电路。,画相量图,j,(3),Z呈电容性。此时称电路为容性电路。,例4-7 RLC串联电路,R=10k,L=5mH,C=0.001F，交流 电压源振幅10V, =106rad/s 。求电流和各电压并画相量图。, 电路为感性。,解:,则,设:,各电流电压表达式:,j,五、阻抗(或导纳)的串联和并联 引入相量、阻抗(导纳)概念后，分析方法与直流电阻电路相同。 1. n个阻抗串联,其等效阻抗,两阻抗串联的分压公式:,2. n个阻抗(导纳)并联:,注：以上各公式推导方法与电阻电路中各相关公式推导方法和使用条件均相同。,分流公式:,两个阻抗的并联公式:,或,小结: 1. 无源二端网络可以等效为一个阻抗或一个导纳。端口 电压电流取关联参考方向时，,二者的关系为,2. 阻抗（导纳）及其对应的电路的性质有三种：感性、容性和电阻性。依频率的不同而不同。 3. 用于无源网络等效变换的所有公式，在引入阻抗和导纳的概念后，与电阻电路中的使用方法类似。,4.3.6 正弦交流电路的相量图法求解 在交流电路中，一些串、并或混联电路用相量图分析起来比较直观,简捷。下面进行讨论。 一、用相量图分析正弦稳态电路的主要依据: 1. R 、 L 、 C元件电压和电流的相量关系； 2. 基尔霍夫KCL、 KVL相量形式。,二、参考相量的选择: 画相量图时，首先选择参考相量，即人为设一相量，其幅角为0。,1. 串联电路：选电流为参考相量。如RLC串联电路。 2. 并联电路：选电压为参考相量。如RLC并联电路。 3. 混联电路：选择较灵活,一般选某一部分电压或某支路 电流为参考相量。,选择不当可能画不出相量图。,等。,如设：,三、举例 1. 应用相量图求各电表读数。,解: (a),j,感性,(b),j,感性,(c)由电路:,纯电感性,画相量图，,有,(d)由电路,j,感性,由相量图,(e) 由电路图,纯电感性,由相量图,2.一线圈与电容器串联,接,j,画相量图,解：设,求R和L。,测得,已知：,电源上。,由相量图可得:,代入数据,解得 UR=132.993V UL=149.375V,3.定性画出RLC并联电路相量图。,j,j,解：画相量图。,设,注: （1）从感性和容性情况的相量图可导出电流，如图示。,其中IX=IL-IC 称为无功电流。 （2）电流的各条边除以电压U 以后， 可以得到导纳。,4. 定性画出图示电路的相量图。,解：根据电路有,j,等,画相量图，设,注： 该相量图只画出,的情况，其他情况同学们可根据 以上方法自行画出。 5. 电路相量模型如图示,已知I1=10A,I2=20A,U=220V,R2=5,与,同相,求 I 、R 、 X2 、XC 。,解:设,分析:,根据相量图计算:,大小不变。说明原理。,解：设,f=200Hz, R2=4,C2=0.01F, R2=30k时,的相位差改变, 且,6. 图中为移相电路,当改变R2时,a,o,（1）,（2）,（3）,（4）,（5）,画,画,(6) 调节R2 ,I2变为图中虚线所示I2，再画一遍各电量。,因为Uab不变,所以以Uab为半径画半圆。,+,+,_,_,_,+,_,计算:,等腰三角形外角,因为U ab和UR1是同一圆的半径，,所以,所以，R2改变， 即改变，但Uab不变。,小结: 1. 用相量图的方法求解电路是工程上常用的一种分析方法，它适用于简单交流电路的分析。 2. 相量图法的使用，首先要选择合适的参考相量，其次要根据电路基本定律及元件的电压电流关系画出各相量，最后利用平面几何知识及电路中常用的公式求出未知量。,4.3.7 正弦交流电路中的功率,设：一无源N网络,一、瞬时功率,定义,代入三角公式整理后得,讨论: 1. p以 2变化(u 、i以变化)； 2. u0，i0 时, p0，N 吸收功率； 3. u0，i0 时, p0，N 发出功率；,t,p,u ,i,p(t),i,u,0,原因：分析单一元件瞬时功率情况。,结论：R消耗功率，L、C与电源之间周期性地交换能量。,C元件与L相同，只是在交换功率的方向上二者反相。,C:,L元件有时发出功率,有时吸收功率，L与电源间存在功率交换。,L:,R元件只吸收功率。,R:,二、平均功率(有功功率) 定义：瞬时功率在一周内的平均值。,功率因数角, 功率因数,其中,P的单位：W , kW,讨论: 1. 单一元件平均功率：,而,得导纳 。,3.将N等效为,而,得阻抗 。,2. 将N等效为,(含 n个R), 对电路进行P计算时可只求PR , 则,三、无功功率,3.由导纳：,2.由阻抗：,而电阻元件无功功率为零。,公式计算。, 计算电路Q时可用,讨论: 1. 单一元件无功功率：,Q的单位：var (乏）, kvar（千乏）,定义：,四、复功率,满足能量守恒。,3. 电路中,已知N ：,关系：,与Z、Y,2.,关系:,与,讨论:,的单位为： VA 或 KVA,定义：,1.,已知Y ：,五、视在功率 定义：,可得功率 ，,六、S、P、Q 关系,S的单位为： VA 或 kVA,其中,不满足能量守恒。,功率因数的含义,例4-8 电路相量模型如图示。,解:,。求电路的P、 Q、S。,已知,方法一：,方法三：,P=40 W Q=-40 var S=56.4 VA,方法二：,例4-9 在50Hz,380V电路中,一感性负载吸收功率为,并联电容以前:,解：设,求在负载端口上并接电容器的电容值。,若要使,并联电容以后:,C,P=20 kW,讨论： 1. 提高功率因数的意义： 由功率可知,在一定的P下，负载的,越小,Q越大，S 。为满足用电，则供电线路的变压器容量加大, 投资 ,而设备利用率 , 网损 。一般规定高压用户的,设备S=Se时，用户,发电设备利用率。,越大,P 出力提高。,网损：, ,U 。, 利用调相机向系统发出容性无功功率。 采用电力电容补偿装置： a.串联补偿：将C串入高压输电线，改善输电参数。 b.并联补偿：将C并入负载两端，一般常用于用电企业。,（原理：QC 、QL互补）,的主要方法：,2.