[数学考点]解析几何中求参数取值范围的方法

数学考点解析几何中求参数取值范围的方法近几年来，与解析几何有关的参数取值范围的问题经常出现在高考考试中，这类问题不仅涉及知识面广，综合性大，应用性强，而且情景新颖，能很好地考查学生的创新能力和潜在的数学素质，是历年来高考命题的热点和重点。学生在处理这类问题时，往往抓不住问题关键，无法有效地解答，这类问题求解的关键在于根据题意，构造相关的不等式，然后求出不等式的解。那么，如何构造不等式呢？本文介绍几种常见的方法：一、利用曲线方程中变量的范围构造不等式曲线上的点的坐标往往有一定的变化范围,如椭圆 x2a2 + y2b2 = 1上的点P(x,y)满足-aa,-bb,因而可利用这些范围来构造不等式求解,另外,也常出现题中有多个变量,变量之间有一定的关系,往往需要将要求的参数去表示已知的变量或建立起适当的不等式,再来求解.这是解决变量取值范围常见的策略和方法.例1 已知椭圆 x2a2 + y2b2 = 1 (a0), A,B是椭圆上的两点,线段AB的垂直平分线与x轴相交于点P(x0 , 0)求证:-a2-b2a a2-b2a分析:先求线段AB的垂直平分线方程,求出x0与A,B横坐标的关系,再利用椭圆上的点A,B满足的范围求解.解: 设A,B坐标分别为(x1,y1) ,(x2,y2),(x1x2)代入椭圆方程,作差得: y2-y1x2-x1 =-b2a2 ?x2+x1 y2+y1又线段AB的垂直平分线方程为y- y1+y22 =- x2-x1 y2-y1 (x-x1+x22 )令y=0得 x0=x1+x22 ?a2-b2a2又A,B是椭圆x2a2 + y2b2 = 1 上的点-aa, -aa, x1x2 以及-ax1+x22 a-a2-b2a a2-b2a例2 如图,已知OFQ的面积为S,且OF?FQ=1,若 12 2 ,求向量OF与FQ的夹角的取值范围.分析:须通过题中条件建立夹角与变量S的关系,利用S的范围解题.解: 依题意有tan=2S12 2 1 tan4又04例3对于抛物线y2=4x上任一点Q,点P(a,0)都满足|PQ|a|,则a的取值范围是A a0 B a2 C 02 D 0 p分析:直接设Q点坐标,利用题中不等式|PQ|a| 求解.解: 设Q( y024 ,y0) 由|PQ| a得y02+( y024 -a)2a2 即y02(y02+16-8a) 0y020 (y02+16-8a) 0即a2+ y028 恒成立又 y020而 2+ y028 最小值为2 a2 选( B )二、利用判别式构造不等式在解析几何中,直线与曲线之间的位置关系,可以转化为一元二次方程的解的问题,因此可利用判别式来构造不等式求解.例4设抛物线y2 = 8x的准线与x轴交于点Q,若过点Q的直线L与抛物线有公共点,则直线L的斜率取值范围是A -12 ,12 B -2,2 C -1,1 D -4,4分析:由于直线l与抛物线有公共点,等价于一元二次方程有解,则判别式0解:依题意知Q坐标为(-2,0) , 则直线L的方程为y = k(x+2)由 得 k2x2+(4k2-8)x+4k2 = 0直线L与抛物线有公共点0 即k21 解得-11 故选 (C)例5 直线L: y = kx+1与双曲线C: 2x2-y2 = 1的右支交于不同的两点A、B，求实数k的取值范围.分析:利用直线方程和双曲线方程得到x的一元二次方程,由于直线与右支交于不同两点,则0,同时,还需考虑右支上点的横坐标的取值范围来建立关于k的不等式.解：由 得 (k2-2)x2 +2kx+2 = 0直线与双曲线的右支交于不同两点，则解得 -2 p三、利用点与圆锥曲线的位置关系构造不等式曲线把坐标平面分成三个区域，若点P(x0,y0)与曲线方程f(x,y)=0关系：若P在曲线上，则f(x0,y0)=0;若P在曲线内，则f(x0,y0)若P在曲线外，则f(x0,y0)可见，平面内曲线与点均满足一定的关系。故可用这些关系来构造不等式解题.例6已知椭圆2x2 + y2 = a2 (a0)与连结两点A(1,2)、B(2,3)的线段没有公共点，求实数a的取值范围.分析:结合点A,B及椭圆位置,可得当AB两点同时在椭圆内或同时在椭圆外时符合条件.解：依题意可知，当A、B同时在椭圆内或椭圆外时满足条件。当A、B同时在椭圆内，则解得a 17当A、B同时在椭圆外，则解得0 p综上所述，解得06 或a17例7若抛物线y2=4mx (m0)的焦点在圆(x-2m)2+(y-1)2=4的内部，求实数m的取值范围.分析:由于焦点(m,0)在圆内部,则把(m,0)代入可得.解：抛物线的焦点F(m,0)在圆的内部，(m-2m)2+(0-1)24 即m23又m0-3 0或0 p四、利用三角函数的有界性构造不等式曲线的参数方程与三角函数有关，因而可利用把曲线方程转化为含有三角函数的方程，后利用三角函数的有界性构造不等式求解。例8 若椭圆x2+4(y-a)2 = 4与抛物线x2=2y有公共点,求实数a的取值范围.分析: 利用椭圆的参数方程及抛物线方程,得到实数a与参数的关系,再利用三角函数的有界性确定a的取值情况.解：设椭圆的参数方程为 (为参数)代入x2=2y 得4cos2= 2(a+sin)a = 2cos2-sin=-2(sin+ 14 )2+ 178又-1sin1，-1178例9 已知圆C：x2 +(y-1)2= 1上的点P(m,n)，使得不等式m+n+c0恒成立，求实数c的取值范围分析:把圆方程变为参数方程,利用三角函数的有界性,确定m+n的取值情况,再确定c的取值范围.解：点P在圆上，m = cos,n = 1+sin(为参数)m+n = cos+1+sin = 2 sin(4 )+1m+n最小值为1-2 ，-(m+n)最大值为2 -1又要使得不等式c-(m+n) 恒成立c2 -1五、利用离心率构造不等式我们知道，椭圆离心率e(0,1)，抛物线离心率e = 1，双曲线离心率e1，因而可利用这些特点来构造相关不等式求解.例10已知双曲线x2-3y2 = 3的右焦点为F，右准线为L，直线y=kx+3通过以F为焦点,L为相应准线的椭圆中心，求实数k的取值范围.分析:由于椭圆中心不在原点,故先设椭圆中心,再找出椭圆中各量的关系,再利用椭圆离心率01,建立相关不等式关系求解.解：依题意得F的坐标为(2,0)，L:x = 32设椭圆中心为(m,0)，则 m-2 =c和 m-32 = a2c两式相除得: m-2m-32 = c2a2 = e201，01,解得m2，又当椭圆中心(m,0)在直线y=kx+3上，0 = km+3 ,即m = - 3k ,死记硬背是一种传统的教学方式,在我国有悠久的历史。但随着素质教育的开展,死记硬背被作为一种僵化的、阻碍学生能力发展的教学方式,渐渐为人们所摒弃;而另一方面,老师们又为提高学生的语文素养煞费苦心。其实,只要应用得当,“死记硬背”与提高学生素质并不矛盾。相反,它恰是提高学生语文水平的重要前提和基础。- 3k 2，解得-32 p课本、报刊杂志中的成语、名言警句等俯首皆是,但学生写作文运用到文章中的甚少,即使运用也很难做到恰如其分。为什么?还是没有彻底“记死”的缘故。要解决这个问题,方法很简单,每天花3-5分钟左右的时间记一条成语、一则名言警句即可。可以写在后黑板的“积累专栏”上每日一换,可以在每天课前的3分钟让学生轮流讲解,也可让学生个人搜集,每天往笔记本上抄写,教师定期检查等等。这样,一年就可记300多条成语、300多则名言警句,日积月累,终究会成为一笔不小的财富。这些成语典故“贮藏”在学生脑中,自然会出口成章,写作时便会随心所欲地“提取”出来,使文章增色添辉。上面是处理解析几何中求参数取值范围问题的几种思路和求法，希望通过以上的介绍，能让同学们了解这类问题的常用求法，并能认真体会、理解掌握，在以后的学习过程中能够灵活运用。这个工作可让学生分组负责收