概率与统计培训资料

第一章第一章 随机事件和概率随机事件和概率 第一节第一节 基本概念基本概念 1 1、排列组合初步、排列组合初步 （1 1）排列组合公式）排列组合公式 从 m 个人中挑出 n 个人进行排列的可能数。 )!( ! nm m P n m 从 m 个人中挑出 n 个人进行组合的可能数。 )!( ! ! nmn m C n m 例 11：方程的解是 xxx CCC 765 10 711 A 4 B 3 C 2 D 1 例 12：有 5 个队伍参加了甲 A 联赛，两两之间进行循环赛两场，试问总共的场次是多少？ (2)(2)加法原理（两种方法均能完成此事）：加法原理（两种方法均能完成此事）：m+nm+n 某件事由两种方法来完成，第一种方法可由 m 种方法完成，第二种方法可由 n 种方法来完 成，则这件事可由 m+n 种方法来完成。 (3)(3)乘法原理（两个步骤分别不能完成这件事）：乘法原理（两个步骤分别不能完成这件事）：mnmn 某件事由两个步骤来完成，第一个步骤可由 m 种方法完成，第二个步骤可由 n 种方法来完 成，则这件事可由 mn 种方法来完成。 例 13：从 5 位男同学和 4 位女同学中选出 4 位参加一个座谈会，要求与会成员中既有男 同学又有女同学，有几种不同的选法？ 例 14：6 张同排连号的电影票，分给 3 名男生和 3 名女生，如欲男女相间而坐，则不同 的分法数为多少？ 例 15：用五种不同的颜色涂在右图中四个区域里，每一区域涂上一种颜色，且相邻区域 的颜色必须不同，则共有不同的涂法 A120 种B140 种 C160 种D180 种 (4)(4)一些常见排列一些常见排列 特殊排列 相邻 彼此隔开 顺序一定和不可分辨 例 16：晚会上有 5 个不同的唱歌节目和 3 个不同的舞蹈节目，问：分别按以 下要求各可排出几种不同的节目单？ 3 个舞蹈节目排在一起； 3 个舞蹈节目彼此隔开； 3 个舞蹈节目先后顺序一定。 例 17：4 幅大小不同的画，要求两幅最大的排在一起，问有多少种排法？ 例 18：5 辆车排成 1 排，1 辆黄色，1 辆蓝色，3 辆红色，且 3 辆红车不可分 辨，问有多少种排法？ 重复排列和非重复排列（有序） 例 19：5 封不同的信，有 6 个信箱可供投递，共有多少种投信的方法？ 对立事件 例 110：七人并坐，甲不坐首位，乙不坐末位，有几种不同的坐法？ 例 111：15 人中取 5 人，有 3 个不能都取，有多少种取法？ 例 112：有 4 对人，组成一个 3 人小组，不能从任意一对中取 2 个，问有多 少种可能性？ 顺序问题 例 113：3 白球，2 黑球，先后取 2 球，放回，2 白的种数？（有序） 例 114：3 白球，2 黑球，先后取 2 球，不放回，2 白的种数？（有序） 例 115：3 白球，2 黑球，任取 2 球，2 白的种数？（无序） 2 2、随机试验、随机事件及其运算、随机试验、随机事件及其运算 （1 1）随机试验和随机事件）随机试验和随机事件 如果一个试验在相同条件下可以重复进行，而每次试验的可能结果不止一个，但在进行一 次试验之前却不能断言它出现哪个结果，则称这种试验为随机试验。试验的可能结果称为 随机事件。 例如：掷一枚硬币，出现正面及出现反面；掷一颗骰子，出现“1”点、 “5”点和出现 偶数点都是随机事件；电话接线员在上午 9 时到 10 时接到的电话呼唤次数（泊松分布） ；对某一目标发射一发炮弹，弹着点到目标的距离为 0.1 米、0.5 米及 1 米到 3 米之 间都是随机事件（正态分布） 。 在一个试验下，不管事件有多少个，总可以从其中找出这样一组事件，它具有如下性 质： （1）每进行一次试验，必须发生且只能发生这一组中的一个事件； （2）任何事件，都是由这一组中的部分事件组成的。 这样一组事件中的每一个事件称为基本事件，用来表示，例如（离散） 。 n , 21 基本事件的全体，称为试验的样本空间，用表示。 一个事件就是由中的部分点（基本事件）组成的集合。通常用大写字母 A，B，C，表示事件，它们是的子集。 如果某个是事件A的组成部分，即这个在事件A中出现，记为。如果在一A 次试验中所出现的有，则称在这次试验中事件A发生。A 如果不是事件A的组成部分，就记为。在一次试验中，所出现的有，AA 则称此次试验A没有发生。 为必然事件， 为不可能事件。 （2 2）事件的关系与运算）事件的关系与运算 关系： 如果事件 A 的组成部分也是事件B的组成部分， （A发生必有事件B发生）：BA 如果同时有，则称事件A与事件B等价，或称A等于B：A=B。BA AB A、B中至少有一个发生的事件：AB，或者A+B。 属于A而不属于B的部分所构成的事件，称为A 与 B的差，记为A-B，也可表示为A-AB 或者，它表示A发生而B不发生的事件。BA A、B同时发生：AB，或者AB。AB=，则表示 A 与 B 不可能同时发生，称事件 A 与 事件 B 互不相容或者互斥。基本事件是互不相容的。 -A 称为事件 A 的逆事件，或称 A 的对立事件，记为A。它表示 A 不发生的事件。互 斥未必对立。 运算： 结合率：A(BC)=(AB)C A(BC)=(AB)C 分配率：(AB)C=(AC)(BC) (AB)C=(AC)(BC) 德摩根率： 11i i i iAA ， BABABABA 例 116：一口袋中装有五只乒乓球，其中三只是白色的，两只是红色的。现从袋中取球 两次，每次一只，取出后不再放回。写出该试验的样本空间。若A表示取到的两只球是 白色的事件，表示取到的两只球是红色的事件，试用A、表示下列事件： （1）两只球是颜色相同的事件C， （2）两只球是颜色不同的事件D， （3）两只球中至少有一只白球的事件E。 例 117：硬币有正反两面，连续抛三次，若 Ai表示第 i 次正面朝上，用 Ai表示下列事件： （1）前两次正面朝上，第三次正面朝下的事件C， （2）至少有一次正面朝上的事件D， （3）前两次正面朝上的事件E。 3 3、概率的定义和性质、概率的定义和性质 （1 1）概率的公理化定义）概率的公理化定义 设为样本空间，A为事件，对每一个事件A都有一个实数 P(A)，若满足下列三个 条件： 1 0P(A)1， 2 P() =1 3 对于两两互不相容的事件1A，2A，有 11 )( i i i iAPAP 常称为可列（完全）可加性。 则称 P(A)为事件A的概率。 （2 2）古典概型（等可能概型）古典概型（等可能概型） 1 ， n 21, 2 。 n PPP n 1 )()()( 21 设任一事件A，它是由组成的，则有 m 21, P(A)= =)()()( 21m )()()( 21m PPP n m 基本事件总数 所包含的基本事件数A 例 118：集合 A 中有 100 个数，B 中有 50 个数，并且满足 A 中元素与 B 中元素关系 a+b=10 的有 20 对。问任意分别从 A 和 B 中各抽取一个，抽到满足 a+b=10 的 a,b 的概率。 例 119：5 双不同颜色的袜子，从中任取两只，是一对的概率为多少？ 例 120：在共有 10 个座位的小会议室内随机地坐上 6 名与会者，则指定的 4 个座位被坐 满的概率是 AB CD 14 1 13 1 12 1 11 1 例 121：3 白球，2 黑球，先后取 2 球，放回，2 白的概率？（有序） 例 122：3 白球，2 黑球，先后取 2 球，不放回，2 白的概率？（有序） 例 123：3 白球，2 黑球，任取 2 球，2 白的概率？（无序） 注意：事件的分解；放回与不放回；顺序问题。 4 4、五大公式（加法、减法、乘法、全概、贝叶斯）、五大公式（加法、减法、乘法、全概、贝叶斯） （1 1）加法公式）加法公式 P(A+B)=P(A)+P(B)-P(AB) 当 P(AB)0 时，P(A+B)=P(A)+P(B) 例 124：从 0，1，9 这十个数字中任意选出三个不同的数字，试求下列事件的概率： A“三个数字中不含 0 或者不含 5” 。 （2 2）减法公式）减法公式 P(A-B)=P(A)-P(AB) 当 BA 时，P(A-B)=P(A)-P(B) 当 A= 时，P()=1- P(B)B 例 125：若 P(A)=0.5,P(B)=0.4,P(A-B)=0.3，求 P(A+B)和 P(+).A B 例 126：对于任意两个互不相容的事件 A 与 B， 以下等式中只有一个不正确，它是： (A) P(A-B)=P(A) (B) P(A-B)=P(A) +P()-1AB (C) P(-B)= P()-P(B) (D)P(AB)(A-B)=P(A) AA (E)p=P(A) -P()BAAB （3 3）条件概率和乘法公式）条件概率和乘法公式 定义 设 A、B 是两个事件，且 P(A)0，则称为事件 A 发生条件下，事件 B 发生的 )( )( AP ABP 条件概率，记为。)/(ABP )( )( AP ABP 条件概率是概率的一种，所有概率的性质都适合于条件概率。 例如 P(/B)=1P(/A)=1-P(B/A)B 乘法公式：)/()()(ABPAPABP 更一般地，对事件 A1，A2，An，若 P(A1A2An-1)0，则有 21(AAP )nA)|()|()(213121AAAPAAPAP 21|(AAAPn )1nA 。 例 127：甲乙两班共有 70 名同学，其中女同学 40 名，设甲班有 30 名同学，而女生 15 名，问在碰到甲班同学时，正好碰到一名女同学的概率。 例 128：5 把钥匙，只有一把能打开，如果某次打不开就扔掉，问以下事件的概率？ 第一次打开；第二次打开；第三次打开。 （4 4）全概公式）全概公式 设事件 nBBB,21 满足 1 nBBB,21 两两互不相容， ), 2 , 1(0)(niBPi ， 2 n i iBA 1 ， 则有 )|()()|()()|()()(2211nnBAPBPBAPBPBAPBPAP 。 此公式即为全概率公式。 例 129：播种小麦时所用的种子中二等种子占 2，三等种子占 1.5，四等种子占 1，其他为一等种子。用一等、二等、三等、四等种子播种长出的穗含 50 颗以上麦粒的 概率分别为 0.5，0.15，0.1，0.05，试求种子所结的穗含有 50 颗以上麦粒的概率。 例 130：甲盒内有红球 4 只，黑球 2 只，白球 2 只；乙盒内有红球 5 只，黑球 3 只；丙 盒内有黑球 2 只，白球 2 只。从这三只盒子的任意一只中任取出一只球，它是红球的 概率是： A0.5625B0.5C0.45D0.375 E 0.225 例 131：100 个球，40 个白球，60 个红球，不放回先后取 2 次，第 2 次取出白球的概率？ 第 20 次取出白球的概率？ （5 5）贝叶斯公式）贝叶斯公式 设事件1B，2B， nB及A满足 1 1B，2B， nB两两互不相容， )(BiP 0， i 1，2，n， 2 n i iBA 1 ， 0)(AP ， 则 ，i=1，2，n。 n j jj ii i BAPBP BAPBP ABP 1 )/()( )/()( )/( 此公式即为贝叶斯公式。 ， （ 1i ，2，n） ，通常叫先验概率。， （ 1i ，2，n） ，通)( i BP)/(ABP i 常称为后验概率。如果我们把A当作观察的“结果” ，而1B，2B， nB理解为“原因” ， 则贝叶斯公式反映了“因果”的概率规律，并作出了“由果朔因”的推断。 例 132：假定用甲胎蛋白法诊断肝癌。设C表示被检验者的确患有肝癌的事件，A表示 诊断出被检验者患有肝癌的事件，已知，95 . 0 )/(CAP98 . 0 )/(CAP 。现有一人被检验法诊断为患有肝癌，求此人的确患有肝癌的概率004 . 0 )(CP )|(ACP 。 5 5、事件的独立性和伯努利试验、事件的独立性和伯努利试验 （1 1）两个事件的独立性）两个事件的独立性 设事件A、B满足 )()()(BPAPABP ，则称事件A、B是相互独立的（这个性质 不是想当然成立的） 。 若事件A、B相互独立，且 0)(AP ，则有 )( )( )()( )( )( )|(BP AP BPAP AP ABP ABP 所以这与我们所理解的独立性是一致的。 若事件A、B相互独立，则可得到A与B、A与B、A与B也都相互独立。 （证明） 由定义，我们可知必然事件和不可能事件 与任何事件都相互独立。 （证明） 同时， 与任何事件都互斥。 （2 2）多个事件的独立性）多个事件的独立性 设 ABC 是三个事件，如果满足两两独立的条件， P(AB)=P(A)P(B)；P(BC)=P(B)P(C)；P(CA)=P(C)P(A) 并且同时满足 P(ABC)=P(A)P(B)P(C) 那么 A、B、C 相互独立。 对于 n 个事件类似。 两两互斥互相互斥。 两两独立互相独立？ 例 133：已知，证明事件、相互独立。)/()/(ABPABPAB 例 134：A，B，C 相互独立的充分条件： （1）A，B，C 两两独立 （2）A 与 BC 独立 例 135：甲，乙两个射手彼此独立地射击同一目标各一次，甲射中的概率为 0.9，乙射中 的概率为 0.8，求目标没有被射中的概率。 （3 3）伯努利试验）伯努利试验 定义 我们作了n次试验，且满足 每次试验只有两种可能结果，A发生或A不发生； n次试验是重复进行的，即A发生的概率每次均一样； 每次试验是独立的，即每次试验A发生与否与其他次试验A发生与否是互不影响 的。 这种试验称为伯努利概型，或称为n重伯努利试验。 用 p表示每次试验A发生的概率，则A发生的概率为qp 1 ，用 )(kPn 表示n重伯努 利试验中A出现 )0(nkk 次的概率， knk k n nqpkP C )( ， nk, 2 , 1 , 0 。 例 136：袋中装有 个白球及 个黑球，从袋中任取 a+b 次球，每次放回，试求其中 含 a 个白球，b 个黑球的概率（a，b） 。 例 137：做一系列独立试验，每次试验成功的概率为 p，求在第 n 次成功之前恰失败 m 次 的概率。 第二节第二节 练习题练习题 1 1、事件的运算和概率的性质、事件的运算和概率的性质 例 138：化简 (A+B)(A+)(+B)BA 例 139：ABC=AB(CB) 成立的充分条件为： (1)ABC (2)BC 例 140：已知 P(A)=x，P(B)=2x，P(C)=3x，P(AB)=P(BC)，求 x 的最大值。 例 141：当事件 A 与 B 同时发生时，事件 C 必发生，则下列结论正确的是 （A）P（C）=P（AB） 。 （B）P（C）=P（AB） 。 （C）P（C）P（A）+P（B）-1 （D）P（C）P（A）+P（B）-1。 2 2、古典概型、古典概型 例 142：3 男生，3 女生，从中挑出 4 个，问男女相等的概率？ 例 143：电话号码由四个数字组成，每个数字可以是 0,1,2,9 中的任一个数，求电话号 码是由完全不同的数字组成的概率。 例 144：袋中有 6 只红球、4 只黑球，今从袋中随机取出 4 只球，设取到一只红球得 2 分， 取到一只黑球得 1 分，则得分不大于 6 分的概率是 AB CD 42 23 7 4 42 25 21 13 例 145：10 个盒子，每个装着标号为“16”的卡片。每个盒子任取一张，问 10 张中最 大数是 4 的概率？ 例 146：将 n 个人等可能地分到 N（nN）间房间中去，试求下列事件的概率。 A“某指定的 n 间房中各有 1 人” ； B“恰有 n 间房中各有 1 人” C“某指定的房中恰有 m（mn）人” 例 147：有 5 个白色珠子和 4 个黑色珠子，从中任取 3 个，问全是白色的概率？ 3 3、条件概率和乘法公式、条件概率和乘法公式 例 148：假设事件 A 和 B 满足 P（B | A）=1，则 （A） A 是必然事件。（B）。BA （C）。（D）。BA0)(BAP 例 149：设 A，B 为两个互斥事件，且 P（A）0, P(B)0，则结论正确的是 （A）P（B | A）0。 （B）P（A | B）=P（A） 。 （C）P（A | B）=0。 （D）P（AB）=P（A）P（B） 。 例 150：某种动物由出生而活到 20 岁的概率为 0.7，活到 25 岁的概率为 0.56，求现龄 为 20 岁的这种动物活到 25 岁的概率。 例 151：某人忘记三位号码锁（每位均有 09 十个数码）的最后一个数码，因此在正确 拨出前两个数码后，只能随机地试拨最后一个数码，每拨一次算作一次试开，则他在 第 4 次试开时才将锁打开的概率是 ABCD 4 1 6 1 5 2 10 1 例 152：在空战训练中，甲机先向乙机开火，击落乙机的概率为 0.2；若乙机未被击落， 就进行还击，击落甲机的概率是 0.3；若甲机未被击落，则再进攻乙机，击落乙机的概率 是 0.4，求在这几个回合中：甲机被击落的概率；乙机被击落的概率。 例 153：为防止意外事故，在矿井内同时安装两种报警系统 A 与 B，每种系统单独使用时， 其有效率 A 为 0.92，B 为 0.93，在 A 失灵条件下 B 有效概率为 0.85。求：（1）这两种警 报系统至少有一个有效的概率；（2）在 B 失灵条件下，A 有效的概率。 4 4、全概和贝叶斯公式、全概和贝叶斯公式 例 154：甲文具盒内有 2 支蓝色笔和 3 支黑色笔，乙文具盒内也有 2 支蓝色笔和 3 支黑 色笔现从甲文具盒中任取 2 支笔放入乙文具盒，然后再从乙文具盒中任取 2 支笔求最 后取出的 2 支笔都是黑色笔的概率。 例 155：三个箱子中，第一箱装有 4 个黑球 1 个白球，每二箱装有 3 个黑球 3 个白球， 第三箱装有 3 个黑球 5 个白球。现先任取一箱，再从该箱中任取一球，问：（1）取出的球 是白球的概率？（2）若取出的为白球，则该球属于第二箱的概率？ 例 156：袋中有 4 个白球、6 个红球，先从中任取出 4 个，然后再从剩下的 6 个球中任取 一个，则它恰为白球的概率是。 5 5、独立性和伯努利概型、独立性和伯努利概型 例 157：设 P(A)0,P(B)0，证明 （1）若 A 与 B 相互独立，则 A 与 B 不互斥； （2）若 A 与 B 互斥，则 A 与 B 不独立。 例 158：设两个随机事件 A，B 相互独立，已知仅有 A 发生的概率为，仅有 B 发生的概 4 1 率为，则 P（A）=，P（B）=。 4 1 例 159：若两事件 A 和 B 相互独立，且满足 P(AB)=P(), P(A)=0.4，求 P(B).A B 例 160：设两两相互独立的三事件A，B和C满足条件；ABC=，P（A）=P（B）=P（C） b。 )(xf , x e 0x , 0, 0x , )(xF ,1 x e 0x , , 0 xc)4 , 1 ( NX)2 . 75( XP)6 . 10( XP =2P(Xc)。 例 217：某人需乘车到机场搭乘飞机，现有两条路线可供选择。第一条路线较短，但交 通比较拥挤，到达机场所需时间 X（单位为分）服从正态分布 N（50，100） 。第二条路线较 长，但出现意外的阻塞较少，所需时间 X 服从正态分布 N（60，16） 。 （1）若有 70 分钟可 用，问应走哪一条路线？（2）若有 65 分钟可用，又应选择哪一条路线？ 3 3、随机变量函数的分布、随机变量函数的分布 随机变量是随机变量的函数，若的分布函数或密度函数YX)(XgY X)(xFX 知道，则如何求出的分布函数或密度函数。)(xfX)(XgY )(yFY)(yfY （1 1）是离散型随机变量是离散型随机变量X 已知的分布列为X ， , , )(21 21 n n ippp xxx xXP X 显然，的取值只可能是，若互不相等，则的)(XgY ),(,),(),(21nxgxgxg)(ixgY 分布列如下： ， , ),(,),(),( )( 21 21 n n i ppp xgxgxg yYP Y 若有某些相等，则应将对应的相加作为的概率。)(ixgiP)(ixg 例 218：已知随机变量的分布列为X ， 3 1 , 3 1 , 3 1 2, 1, 0 P X 求的分布列。 2 XY （2 2）是连续型随机变量是连续型随机变量X 先利用 X 的概率密度 fX(x)写出 Y 的分布函数 FY(y)，再利用变上下限积分的求导公式求出 fY(y)。 例 219：已知随机变量，求的密度函数 其他, 0 10),13( 5 2 )( xx xfXXYln 。)(yfY 第二节第二节 练习题练习题 1 1、常见分布、常见分布 例 220：一个袋中有 5 只球，编号为 1，2，3，4，5，在其中同时取 3 只，以 X 表示取 出的 3 个球中的最大号码，试求 X 的概率分布。 例 221：设非负随机变量的密度函数为 f(x)=A ，x0,则 A= 。 2 7 2 x ex 例 222： 是概率密度函数的充分条件是：)()( 21 xfxf （1）均为概率密度函数)(),( 21 xfxf （2）1)()(0 21 xfxf 例 223：一个不懂英语的人参加 GMAT 机考，假设考试有 5 个选择题，每题有 5 个选项 （单选） ，试求：此人答对 3 题或者 3 题以上（至少获得 600 分）的概率？ 例 224：设随机变量 XU（0，5） ，求方程有实根的概率。0244 2 XXxx 例 225：设随机变量 X 的概率密度为 其他, 0 6 , 3, 9 2 1 , 0, 3 1 )( x x xf 其使得，则 k 的取值范围是。 3 2 )( kXP 例 226：已知某种电子元件的寿命（单位：小时）服从指数分布，若它工作了 900 小 时而未损坏的概率是 ，则该种电子元件的平均寿命是 9 . 0 e A 990 小时 B 1000 小时 C 1010 小时 D 1020 小时 例 227：设随机变量X 的概率密度为：则其分布函数F(x)是)( , 2 1 )( | xex x （A） . 0 , 1 , 0, 2 1 )( x xe xF x （B） . 0 2 1 1 , 0, 2 1 )( xe xe xF x x （C） . 0 , 1 , 0, 2 1 1 )( x xe xF x （D） . 1 , 1 , 10, 2 1 1 , 0., 2 1 )( x xe xe xFx x 例 228：XN(1,4)，YN(2,9)，问 P(X-1)和 P(Y5)谁大？ 例 229：XN(,2)，0，0，且 P()=，则 ？ x 2 1 2 2、函数分布、函数分布 例 230：设随机变量 X 具有连续的分布函数 F(x)，求 Y=F（X）的分布函数 F（y） 。 （或证明题： 设 X 的分布函数 F(x)是连续函数，证明随机变量 Y=F（X）在区间（0，1）上服从均匀分 布。 ） 例 231：设随机变量 X 的分布函数为 F(x)，则 Y=-2lnF(X)的概率分布密度函数 fY(y)= . 例 232：设 XU，并且 y=tanx，求 Y 的分布密度函数 f(y)。 2 , 2 例 233：设随机变量 X 服从指数分布，则随机变量Y=minX, 2的分布函数 （A）是连续函数（B）至少有两个间断点 （C）是阶梯函数（D）恰好有一个间断点 第三章第三章 二维随机变量及其分布二维随机变量及其分布 第一节第一节 基本概念基本概念 1 1、二维随机变量的基本概念、二维随机变量的基本概念 （1 1）二维离散型随机变量联合概率分布及边缘分布）二维离散型随机变量联合概率分布及边缘分布 如果二维随机向量（X，Y）的所有可能取值为至多可列个有序对（x,y）时，则称为离 散型随机量。理解：（X=x,Y=y）（X=xY=y） 设=（X，Y）的所有可能取值为，且事件=的概), 2 , 1,)(,(jiyx ji ),( ji yx 率为pij,称 ), 2 , 1,(),(),(jipyxYXP ijji 为=（X，Y）的分布律或称为 X 和 Y 的联合分布律。联合分布有时也用下面的概率分布 表来表示： Y X y1y2yjpi x1p11p12p1jp1 x2p21p22p2jp2 xipi1pi pjp1p2pj1 这里pij具有下面两个性质： （1）pij0（i,j=1,2,） ； （2） . 1 ij ij p 对于随机向量（X，Y） ，称其分量 X（或 Y）的分布为（X，Y）的关于 X（或 Y）的边缘分布。 上表中的最后一列（或行）给出了 X 为离散型，并且其联合分布律为 ，), 2 , 1,(),(),(jipyxYXP ijji 则 X 的边缘分布为 ；), 2 , 1,()( jipxXPP ij j ii Y 的边缘分布为 。), 2 , 1,()( jipyYPP ij i ii 例 31：二维随机向量（X，Y）共有六个取正概率的点，它们是：（1，-1） ， （2，-1） ， （2，0） ，2，2） ， （3，1） ， （3，2） ，并且（X，Y）取得它们的概率相同，则（X，Y）的联 合分布及边缘分布为 Y X -1012p1 1 6 1 000 6 1 2 6 1 6 1 0 6 1 2 1 300 6 1 6 1 3 1 pj 3 1 6 1 6 1 3 1 1 （2 2）二维连续型随机向量联合分布密度及边缘分布）二维连续型随机向量联合分布密度及边缘分布 对于二维随机向量，如果存在非负函数，),(YX),)(,(yxyxf 使对任意一个其邻边分别平行于坐标轴的矩形区域 D，即 D=(X,Y)|ax1时，有 F（x2,y）F(x1,y);当 y2y1时，有 F(x,y2) F(x,y1); （3）F（x,y）分别对 x 和 y 是右连续的，即 );0,(),(), 0(),(yxFyxFyxFyxF （4） . 1 ),(, 0),(),(),(FxFyFF 2 2、随机变量的独立性、随机变量的独立性 （1 1）一般型随机变量）一般型随机变量 F(X,Y)=FX(x)FY(y) （2 2）离散型随机变量）离散型随机变量 jiij ppp 例 35：二维随机向量（X，Y）共有六个取正概率的点，它们是：（1，-1） ， （2，-1） ， （2，0） ，2，2） ， （3，1） ， （3，2） ，并且（X，Y）取得它们的概率相同，则（X，Y）的联 合分布及边缘分布为 Y X -1012p1 1 6 1 000 6 1 2 6 1 6 1 0 6 1 2 1 300 6 1 6 1 3 1 pj 3 1 6 1 6 1 3 1 1 （3 3）连续型随机变量）连续型随机变量 f(x,y)=fX(x)fY(y) 联合分布边缘分布f(x,y)=fX(x)fY(y) 直接判断，充要条件： 可分离变量 正概率密度区间为矩形 例 36：如图 3.1，f(x,y)=8xy, fX(x)=4x3, fY(y)=4y-4y3，不独立。 例 37：f(x,y)= 其他, 0 10 , 2 0 , 2 yxAxy （4 4）二维正态分布）二维正态分布 , 12 1 ),( 2 2 2 21 21 2 1 1 2 21 )(2 )1(2 1 2 yyxx eyxf =0 （5 5）随机变量函数的独立性）随机变量函数的独立性 若 X 与 Y 独立，h,g 为连续函数，则：h（X）和 g（Y）独立。 例如：若 X 与 Y 独立，则：3X+1 和 5Y-2 独立。 3 3、简单函数的分布、简单函数的分布 两个随机变量的和两个随机变量的和 Z=X+YZ=X+Y 离散型： 例 38：设（X，Y）的联合分布为 X Y012 0 12 1 6 1 12 1 1 3 1 6 1 6 1 求(i)Z1=X+Y; (ii)Z2=X-Y; (iii) Z3=XY 的分布列。 连续型 fZ(z)dxxzxf ),( 两个独立的正态分布的和仍为正态分布（） 。 2 2 2 121 , 例 39：设 X 和 Y 是两个相互独立的随机变量，且 XU（0，1） ，Ye（1） ，求 Z=X+Y 的 分布密度函数 fz(z)。 混合型 例 310：设随机变量 X 与 Y 独立，其中 X 的概率分布为 , 7 . 03 . 0 21 X 而 Y 的概率密度为 f(y)，求随机变量 U=X+Y 的概率密度 g(u)。 第二节第二节 练习题练习题 1 1、二维随机变量联合分布函数、二维随机变量联合分布函数 例 311：如下四个二元函数，哪个不能作为二维随机变量（X，Y）的分布函数？ （A） ., 0 , 0 , 0),1)(1 ( ),( 1 其他 yxee yxF yx （B）. 3 arctan 22 arctan 2 1 ),( 2 2 yx yxF （C） . 1 2, 0 , 12, 1 ),( 3 yx yx yxF （D） ., 0 , 0 , 0,2221 ),( 4 其他 yx yxF yxyx 例 312：设某班车起点站上车人数 X 服从参数为的泊松分布，每位乘客在中途)0( 下车的概率为 p(02|Y0) x e E(X)=， D(X)= 1 2 1 正态分布 XN(,2)， 2 2 2 )( 2 1 )( x exf E(X)= ， D(X)= 2 例 410：罐中有 5 颗围棋子，其中 2 颗为白子，另 3 颗为黑子，如果有放回地每次取 1 子，共取 3 次，求 3 次中取到的白子次数 X 的数学期望与方差。 例 411：在上例中，若将抽样方式改为不放回抽样，则结果又是如何？ 例 412：设随机变量 X 服从参数为 0 的泊松分布，且已知 E（X-1） （X-2）=1，求 。 例 413：设随机变量 X 服从参数为 1 的指数分布，求 E（X-3e-2x） 。 例 414：设（X，Y）服从区域 D=（x,y）|0x1, 0y1上的均匀分布，求 E（X+Y） ，E（X-Y） ，E（XY） ，D（X+Y） ，D（2X-3Y） 。 2 2、二维随机变量的数字特征、二维随机变量的数字特征 （1 1）协方差和相关系数）协方差和相关系数 对于随机变量 X 与 Y，称它们的二阶混合中心矩为 X 与 Y 的协方差或相关矩，记为 11 ，即),cov(YX XY或 ).()( 11 YEYXEXE XY 与记号相对应，X 与 Y 的方差 D（X）与 D（Y）也可分别记为与。 XY XX YY 协方差有下面几个性质： (i)cov (X, Y)=cov (Y, X); (ii)cov(aX,bY)=ab cov(X,Y); (iii)cov(X1+X2, Y)=cov(X1,Y)+cov(X2,Y); (iv)cov(X,Y)=E(XY)-(E(X)(E(Y). 对于随机变量 X 与 Y，如果 D（X）0, D(Y)0，则称 )()(YDXD XY 为 X 与 Y 的相关系数，记作（有时可简记为） 。 XY |1，当|=1 时，称 X 与 Y 安全相关： 完全相关 时，负相关，当 时，正相关，当 1 1 而当时，称 X 与 Y 不相关。0 与相关系数有关的几个重要结论 （i）若随机变量 X 与 Y 相互独立，则；反之不真。0 XY （ii）若（X，Y）N（） ，则 X 与 Y 相互独立的充要条件是，, 2 2 2 121 0 即 X 和 Y 不相关。 （iii）以下五个命题是等价的： ；0 XY cov(X,Y)=0; E(XY)=E(X)E(Y); D(X+Y)=D(X)+D(Y); D(X-Y)=D(X)+D(Y). 例 415：设 D（X）=25，D（Y）=36，。求 D（X+Y）及 D（X-Y） 。4 . 0 XY （2 2）二维随机变量函数的期望）二维随机变量函数的期望 为连续型。， 为离散型；， ),(),(),( ),(),( ),( YXdxdyyxfyxG YXpyxG YXGE ij ijji （3 3）原点矩和中心矩）原点矩和中心矩 对于正整数 k，称随机变量 X 的 k 次幂的数学期望为 X 的 k 阶原点矩，记为 vk,即 uk=E(Xk), k=1,2, . 于是，我们有 . ,)(续型时为连当 为离散型时，当 Xdxxpx Xpx u k i i k i k 对于正整数 k，称随机变量 X 与 E（X）差的 k 次幂的数学期望为 X 的 k 阶中心矩，记为 ，即 k ., 2 , 1,)(kXEXE k k 于是，我们有 . ,)()( )( 续型时为连当 为离散型时，当 XdxxpXEx XpXEx u k i i k i k 对于随机变量 X 与 Y，如果有存在，则称之为 X 与 Y 的k+l阶混合原点矩，记)( lkY XE 为，即 kl u ).()(YEYXEXEu k kl 第二节第二节 练习题练习题 1、一维随机变量及其函数的数字特征、一维随机变量及其函数的数字特征 例 416：设连续型随机变量 X 的概率密度函数是 其他0 10 )( 2 xcbxax xf 且已知 EX=0.5, DX=0.15，求系数 a, b, c。 例 417：将 10 封信放入到 9 个信箱中去，设每封信落入各个信箱是等可能的，求有信的 信箱数 X 的数学期望。 例 418：一辆送客汽车，载有 50 位乘客从起点站开出，沿途有 10 个车站可以下车，若 到达一个车站，没有乘客下车就不停车。设每位乘客在每一个车站下车是等可能的并且各 旅客是否下车相互独立。设 X 表示停车的次数。试求 E(X)和 D(X)。 例 419：设某一机器加工一种产品的次品率为 0.1，检验员每天检验 4 次，每次随机地抽 取 5 件产品检验，如果发现多于 1 件次品，就要调整机器。求一天中调整机器次数的概率 分布及数学期望。 例 420：地铁到达一站时间为每个整点的第 5 分、25 分、55 分钟，设一乘客在早 8 点9 点之间随机到达，求侯车时间的数学期望。 2 2、二维随机变量及其函数的数字特征、二维随机变量及其函数的数字特征 例 421：设 XN（1，2） ，YN（2，4）且 X，Y 相互独立，求 Z=2X+Y-3 的分布密度函数 f(z)。 例 422：设 X1，X2，Xn为独立同分布的随机变量，均服从，证明),( 2 N 服从分布。 n i i X n X 1 1 ),( 2 n N 例 423：设二维随机向量（X，Y）的联合分布密度函数 , 0 , 5, 102 ),( )5( 其他 yxxe yxf y 则 E（XY）=。 例 424：设（X，Y）服从在 A 上的均匀分布，其中 A 为 x 轴，y 轴及直线所围1 2 y x 成的三角形区域，求 X，Y，XY 的数学期望及方差。 例 425：设随机变量 X 和 Y 的联合分布在以点（0，1） ， （1，0） ， （1，1）为顶点的三角 形区域上服从均匀分布，试求随机变量 U=X+Y 的方差。 例 426：设 X,Y 是随机变量，均服从标准正态分布，相关系数，令 XY 2 1 Z1aX，Z2bX+cY，试确定 a,b,c 的值，使 D(Z1)D(Z2)1 且 Z1和 Z2不相关。 3 3、独立和不相关、独立和不相关 例 427：设随机变量 X 和 Y 的方差存在且不等于 0，则 D（X+Y）=D（X）+D（Y）是 X 和 Y （） 。 （A）不相关的充分条件，且不是必要条件； （B）独立的充分条件，但不是必要条件； （C）不相关的充分必要条件； （D）独立的充分必要条件。 例 428：已知（X,Y）的联合分布律为 XY-101 -11/81/81/8 01/801/8 11/81/81/8 试求（1）E(X)，E(Y)，D(X)，D(Y)；（2）Cov(X,Y)，；（3）判断 X,Y 是否相关？ XY 是否独立？ 例 429：已知随机变量 X 和 Y 分别服从正态分布 N（1，32）和 N（0，42） ，且 X 与 Y 的相 关系数，设 2 1 XY . 23 YX Z （1）求 Z 的数学期望 E（Z）和方差 D（Z） ；（2）求 X 与 Z 的相关系数；（3）问 X XY 与 Z 是否相互独立？为什么？ 例 430：设 A，B 是二随机事件，随机变量 , 1 , 1 否则 出现若A X ., 1 , 1 否则 出现若B Y 试证：“X,Y 不相关”与“A,B 独立”互为充分必要条件。 4 4、应用题、应用题 例 431：设某产品每周需求量为 Q，Q 等可能地取 1，2，3，4，5。生产每件产品的成本 是 3 元，每件产品的售价为 9 元，没有售出的产品以每件 1 元的费用存入仓库。问生产者 每周生产多少件产品可使利润的期望最大？ 例 432：设某种商品每周的需求量 X 服从区间10，30上的均匀分布的随机变量，而经 销商店进货数量为区间10，30中的某一整数，商店每销售一单位商品可获利 500 元；若 供大于求则削价处理，每处理 1 单位商品亏损 100 元；若供不应求，则可从外部调剂供应， 此时每 1 单位商品仅获利 300 元，为使商店所获利润期望值不少于 9280 元，试确定最少进 货量。 第五章第五章 大数定律和中心极限定理大数定律和中心极限定理 第一节第一节 基本概念基本概念 1 1、切比雪夫不等式、切比雪夫不等式 设随机变量 X 具有数学期望 E（X）=，方差 D（X）=2，则对于任意正数 ，有下列切 比雪夫不等式 2 2 )( XP 切比雪夫不等式给出了在未知 X 的分布的情况下，对概率 )(XP 的一种估计，它在理论上有重要意义。 例 51：设随机变量 X 的方差为 2，则根据切比雪夫不等式估计 2)(XEXP 。 2 2、大数定律、大数定律 （1 1）切比雪夫大数定律）切比雪夫大数定律 （要求方差有界） 设随机变量 X1，X2，相互独立，均具有有限方差，且被同一常数 C 所界：D（Xi） 2) 2n n （3 3）F F 分布分布 设，且 X 与 Y 独立，可以证明：的概率密度函数为)(),( 2 2 1 2 nYnX 2 1 / / nY nX F . 0 , 0 , 0,1 22 2 )( 2 2 1 1 2 2 2 1 21 21 21 1 1 y yy n n y n n nn nn yf nn n n 我们称随机变量 F 服从第一个自由度为 n1，第二个自由度为 n2的 F 分布，记为 Ff(n1, n2). 正态分布， 1 ，)()( 1 ntnt ),( 1 ),( 12 211 nnF nnF 例 64：求证：若 X t(n)，则 X2 F(1