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第二节 二重积分的计算法,一 问题的提出 二 直角坐标计算二重积分利用 三 利用极坐标计算二重积分 四 小结,按定义:二重积分是一个特定乘积和式极限,然而,用定义来计算二重积分,一般情况 下是非常麻烦的.,那么,有没有简便的计算方法呢?这就是我 们今天所要研究的课题。下面介绍:,一、问题的提出,二、利用直角坐标计算二重积分,二重积分仅与被积函数及积分域有 关,为此, 先介绍: 1、积分域 D:,如果积分区域为:,X型,X型区域的特点:a、平行于y轴且穿过区域的直线与区域边界的交点不多于两个; b、,(1)X-型域,(2)Y-型域:,Y型,Y型区域的特点:a、穿过区域且平行于x轴的直线与区域边界的交点不多于两个。b、,2、X-型域下二重积分的计算: 由几何意义,若,此为平行截面面积为已知的立体的体积.截面为曲边梯形面积为:,(曲顶柱体的体积),则,注: 若 (x,y)0 仍然适用。,注意: 1)上式说明: 二重积分可化为二次定积分计算;,2)积分次序: X-型域 先Y后X;,3)积分限确定法: 域中一线插, 内限定上下, 域边两线夹,外限依靠它。,为方便,上式也常记为:,3、Y-型域下二重积分的计算: 同理:,Y型域下,于是,1)积分次序: Y-型域 ,先x后Y;,2)积分限确定法: “域中一线插”, 须用平行于X轴的射线 穿插区域 。,注意:,注意:二重积分转化为二次定积分时,关键在于正确确定积分限,一定要做到熟练、准确。,4、利用直系计算二重积分的步骤,(1)画出积分区域的图形,求出边界曲线交点坐标;,(3)确定积分限,化为二次定积分;,(2)根据积分域类型, 确定积分次序;,(4)计算两次定积分,即可得出结果.,解:,X型,Y型,例2,解:,X-型,例3,解: (如图)将D作Y型,5、若区域为组合域,如图则:,6、如果积分区域既是X型, 又是Y型, 则有,解:,积分区域如图,原式,解:,原式,例6,解:,先去掉绝对值符号,如图,解,二重积分在直角坐标下的计算公式,(在积分中要正确选择 积分次序),Y型,X型,7.小结,三 利用极坐标系计算二重积分,当一些二重积分的积分区域D用极坐标表示比 较简单,或者一些函数它们的二重积分在直角坐标 系下根本无法计算时,我们可以在极坐标系下考虑 其计算问题。,1 直系与极系下的二重积分关系(如图),(1)面积元素变换为极系下:,(2)二重积分转换公式:,(3)注意:将直角坐标系的二重积分化为极坐标系下 的二重积分需要进行“三换”:,2 极系下的二重积分化为二次积分,用两条过极点的射线夹平面区域, 由两射线的倾角得到其上下限,任意作过极点的半射线与平面区域相交, 由穿进点,穿出点的极径得到其上下限。,将直系下的二重积分化为极系后,极系下的二重积分仍然需要化为二次积分来计算。,(1)区域如图1,具体地(如图),图1,(2)区域如图2,图2,(3)区域如图3,图3,(4)区域如图4,图4,解,解,解,解,在极系下:,(如图),解,计算二重积分应该注意以下几点:,其次,化二重积分为二次积分。,根据区域形状和类型确
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