《直线及方程》PPT课件.ppt

第六节 空间直线及其方程,一、空间直线的一般方程 二、空间直线的对称式方程与参数方程 三、两直线的夹角 四、直线与平面的夹角 五、小结,定义,空间直线可看成两平面的交线,空间直线的一般方程,一、空间直线的一般方程,例如：z 轴可以看作 yoz 面与 xoz 面的交线,也可以看作 yoz 面与 平 面 x y = 0的交线,方向向量的定义：,如果一非零向量平行于一条已知直线，这个向量称为这条直线的方向向量,二、空间直线的对称式方程与参数方程,直线的对称式方程,直线的对称式方程,（1）当 m , n , p 中有一个为 0，如 m = 0, 而 n , p 0 时，则上述方程组应理解为,（2）当 m , n , p 中有两个为 0，如 m = n = 0, 而 p 0 时，则上述方程组应理解为,令,方向向量的方向余弦称为直线 L 的方向余弦，它是与方向向量同方向的单位向量。,直线的参数方程,直线的对称式方程,例1 用对称式方程及参数方程表示直线,解：,（1）在直线上任求一点,取,解得,点坐标,问题：如何化一般方程为对称式和参数方程,（2）求直线的一个方向向量,例1 用对称式方程及参数方程表示直线,解：,因所求直线与两平面的法向量都垂直,取,对称式 方程,参数方程,结论：若直线 L 的一般方程为,则直线 L 的一个方向向量可以取为,解,所求直线方程,上述方程组应理解为,定义,直线,直线,两直线的方向向量的夹角称之.（取锐角）,两直线的夹角公式,三、两直线的夹角,两直线的位置关系：,/,直线,直线,例如，,解：取,例3：求直线,与直线,的夹角。,解,设所求直线的方向向量为,根据题意知,取,所求直线的方程,定义,直线和它在平面上的投影直线的夹角 称为直线与平面的夹角,四、直线与平面的夹角,直线与平面的夹角公式,直线与平面的位置关系：,/,解,为所求夹角,1、求直线与平面的交点。,五、直线与平面其它问题,得直线的参数方程,代入平面方程，得参数 t ,再将 t 代入参数方程即得 x , y , z 。,解,所给直线的参数方程为：,代入平面方程得：,解得：,所以,所求交点为：M ( 1 , 2 , 2 ),解：分析,本题的关键是求出两垂直相交直线的交点。,思路：,例7：求过点 M( 2 , 1 , 3 ) 且与直线L：,垂直相交的直线方程。,将求两垂直相交直线的交点转化 为求直线与平面的交点,解,先作一过点M且与已知直线垂直的平面,再求已知直线与该平面的交点 P,令,由点法式方程得,依题意所求直线在平面内，且 通过点M 和 P,解,令,代入平面方程得,交点,所求直线的方向向量可取为,解,所求直线方程为,2、过直线的平面束方程。,作三元一次方程,所以方程（4）或（3）表示一个平面，且通过直线 L,反之，过直线 L 的任何一个平面（除平面（2）外） ，都包含在平面束（3）中。,称方程（3）或（4）为过定直线 L 的平面束方程, 为任意实数,例7,解,过已知直线的平面束方程为,由题设知,解,过已知直线的平面束方程为,由此解得,代回平面束方程为,例7,2、求已知直线在已知平面内的投影直线方程,直线 L 在 内的投影记为,过直线 L 作一与平面垂直的平面,设L与的夹角为,若记,则直线 的方程为,2、求已知直线在已知平面内的投影直线方程,作,则,又,因此,所求投影直线的方程。,解：（1）在 xoy 面上：,故在 xoy 面上投影直线方程为,解：（2）在 平面,故在 上投影直线方程为,例9,解：先求过 L 且与 垂直的平面方程,则投影直线即为该平面与已知平面 的交线，