A3(第十二章第1、2、3、4节(1).ppt

1 对弧长的曲线积分,（又称第一类曲线积分）,第十二章 曲线积分与曲面积分,一、对弧长的曲线积分的概念与性质,1. 引例：求曲线形构件的质量。,设一曲线形构件位于xoy平面上的一段 曲线弧 L 上, 线密度 (x, y)为 L 上的连续函 数，求该曲线形构件的质量 M。,光滑曲线,- 具有连续转动切线的曲线。,A,B,思想方法：,(1) 分割：,插入分点：,设,每一小弧段长,(2) 取近似：,则小弧段质量：,(3) 求和：,(4) 取极限:,2、定义,设L为xoy平面内的一条光滑曲线弧段，,M1, M2, , Mn-1 把 L 分成,若和式的极限,则称此极限值为,f (x, y)在曲线弧L上对弧长的曲线积分。,函数 f (x, y) 在L上有界，,用L上的任意点,也称为第一类曲线积分。记作,L 积分弧段（积分路径）,ds 弧元素,说明:,(1) f (x, y) 在 L 上连续, 则曲线积分必存在。,(2) f(x, y)虽为二元函数,但点(x, y)被限制在L上,变量 x, y 不独立, 须满足曲线 L 的方程。,(3)若L是光滑闭曲线, 常记成,(4)推广到空间曲线, 有,3. 性质,(与定积分性质相仿),(3) 若L是分段光滑的曲线段，即,(4) 设在 L 上，,则,(5) (积分中值定理),设 f (x, y) 在 L 上连续，,则必存在,使得,其中 l 为 L 的长度。,第一类曲线积分的对称性,(1) 如曲线 L 关于 y 轴对称，L1 是 L 的 部分，,(2) 若交换 x, y 两变量时，L的方程不变，则,- 轮换对称性,二、对弧长的曲线积分的计算法,定理:,且,L 的参数方程为：,则曲线积分,存在，,且,说明:,ds 弧元素 (弧微分),(1),(2),(3),(4),(5),上述所有计算公式中，等式右边的定积分,的积分下限都必须小于上限。,一段弧(如图).,例1:,A,B,A (0, a),解：,法一：,选 x 为积分变量，,L：,a,一段弧(如图).,法二：,选 y 为积分变量，,L：,A,B,a,一段弧 (如图).,法三：,L 用参数方程表示:,A,B,a,1,2,2,例2：,A,B,解：,o,例3：,解：,L,利用极坐标。,a,例4：,解：,因为 L 关于 x 轴对称，,2xy 关于 y 是奇函数，,三、几何与物理意义,密度在 L 上连续，,设平面曲线形的物件所占的平面曲线 弧段为L，,且它的线密度为,则：,它的质量,它的质心坐标,(3),若线,例5.,的质心坐标。,a,2a,解：,由对称性，,.,课 外 作 业,习题12 1 (A),1(3), 2,习题12 1 (B),1(1, 4),2. 对坐标的曲线积分 (第二类曲线积分),一、对坐标的曲线积分的概念与性质,1. 引例: 求变力沿曲线所作的功。,常力作功:,变力作功,力 f (x) 的方向与运动方向一致,思想方法: (元素法),A,B,(1)插入分点 M1(x1, y1) , ,Mn-1(xn-1, yn-1),n个有向小弧段,M1,Mn-1,Mi-1,Mi,将L任意分成,设一质点在xoy面内沿光滑曲线弧L从A移动到,的作用，其中P, Q在,B。移动过程中，这质点受到变力,L上连续。现计算在上述移动过程中变力所作的功。,A,B,Mi-1,Mi,(2),则由常力:,近似代替,则,(3),(4),取极限,2、定义,设 L 为 xoy 平面上从点A到B的一条有向,光滑曲线, 函数 P(x, y) 、Q(x, y) 在 L 上有界。,分成 n个有向小弧段,则称此极限值,把 L,为函数 P(x, y) 在有向曲线弧 L 上对坐标 x,的曲线积分, 记作,同理,则称此极限值为函数 Q(x, y) 在有向曲线弧,常用其组合形式：,统称为第二类曲线积分。,L上对坐标 y 的曲线积分, 记作,说明：,1),P(x, y), Q(x, y) 中的 x, y 受 L 的限制而相互有关。,2),对坐标的曲线积分与积分路径的方向有关。,3),前述变力作功,(有向弧元素),变号,4),对空间曲线 L, 有,5),在 L 上连续,则此曲线积分必存在。,3、性质,(1),设有向曲线 L , L 与 L 方向相反,则有:,(2),其余性质类似于对弧长的曲线积分。,注：第一类曲线积分没有这一性质。,第二类曲线积分的对称性,如曲线 L 关于 y 轴对称，L1 是 L 的 部分，,方向不变，,二、对坐标的曲线积分的计算法,设曲线L由参数方程,一阶连续导数, 且,又函数 P(x, y), Q(x, y) 在L上连续,L 的起点 A,终点 B,描出有向曲线 LAB ,起点 A (x = a), 终点 B (x = b),f (x) 在 a, b 或 b, a 上有连续导数, 则,特例：,起点 A (y = c), 终点 B (y = d),g(y) 在 c, d 或 d, c 上有连续导数, 则,空间曲线:,起点 A,终点 B,例1.,(1) L: 圆心为原点,半径为1, 按逆时针方向绕行,的上半圆周。,A,B,1,-1,解：,(2) L: 直线 AB.,A,B,1,-1,解：,= 0 .,(3) L: 折线 ACB.,A,B,C,1,-1,解：,1,0,0,-1,路径不同, 值不同。,例2.,(1),(2),A,0,1,0,1,= 1 .,A,B,(3),0,1,0,1,路径不同, 值却相同。,例3.,: 由点 (1, 1, 1) 到点 (2, 3, 4) 的直线段。,解：,求 的方程。, 的方向向量：, 的方程：,其参数式：,(t +1),d(t +1),+ (2t +1),d(2t +1),+ (t +1),+ (2t +1),- 1d(3t +1),0,1,2,3,dt,= 13 .,例4. 计算,其中 由平面 y = z 截球面,解:,故,原式 =,从 z 轴正向看沿逆时针方向.,因在 上有,三、两类曲线积分之间的联系,设有向线段 L:,一阶连续导数, 且,又函数 P(x, y), Q(x, y) 在 L 上连续,类似，,切线向量的方向余弦。,则可证明:,例：,解：,曲线上点 (x, y) 的切线的方向余弦：,二者夹角为 ,例: 设,曲线段 L 的长度为 s, 证明,证:,设,在 L 上连续,课 外 作 业,习题12 2 (B),1(1, 3), 2, 4, 5,3. 格林公式及其应用,一、格林公式,( Green 1793 1841 英 ),在一元函数积分学中, 牛顿 莱布尼茨公式：,表示：,f (x) 在区间a, b上的积分可以用它的原函数,现在要介绍的格林公式，,上的二重积分也可以用沿闭区域 D的边界曲线,F(x) 在这个区间端点上的函数值来表达。,表示在平面闭区域 D,L上的曲线积分来表达。,设D为平面区域, 如果D内任一闭曲线所围成 的部分都属于D, 则称D为平面单连通区域, 否则称为复连通区域.,复连通区域,单连通区域,平面区域的连通性：,边界曲线L的正向: 当观察者沿边界行走时, 区域D内在他附近的那一部分总在他的左边, 则他行走的方向就是边界曲线L的正向。,定理1,格林公式,证明 (1) 先证明D是单连通区域的情形。,若区域 D 既是 X型又是Y 型.,L3,L4,C,E,c,d,类似，把 D 看成 X 型，有,两式相加得,D,F,E,证明 (2),此时D可看作由分段光滑的曲线,若区域 D 是一个复连通区域(如图)，,则添加辅助线 AB，,G,H,围成的单连通区域，,则由(1)知，,例1.,D,由格林公式：,解：,A,B,D,解:,作辅助线:,C,用格林公式？,非闭曲线。,A,B,D,C,例3. 质点M 沿着以AB为直径的半圆, 从 A(1,2) 运动到,点B(3,4),到原点的距离,解:,故所求功为,锐角,其方向垂直于OM, 且与y 轴正向夹角为,由图知,格林公式的简单应用:,例4：利用曲线积分，求下列曲线所围的图形的,星形线,解：,面积 A =,面积：,二、 四个等价命题,定理2.,设函数 P(x, y), Q(x, y) 在单连通域 G 内,(1),(2),的值与路径无关，只与起点 A 与终点 B 有关。,(3),(4),具有一阶连续偏导数, 则下列四命题等价:,证明：,设G内闭曲线 L由,A,B,L1,L2,G,即曲线积分与路径无关，只与 A, B 点有关。,积分与路径无关，仅与起点,.,.,P, Q 有一阶连续偏导数，,对 G 内任一条闭曲线 L，其所围区域,由格林公式：,说明：,(1),常用 (4),来判定 (1)、(2)、(3) 的成立。,(2),.,.,(3),四个等价命题只适用于单连通域，,不适用于多连通域。,例：,在闭区域 D 上，,多连通域,x,o,y,D,。,在此 D 上四个命题不再等价.,例 题,例1：,证明：,与路径无关，并求,证：,积分与路径无关。,.(1, -1),.(1, 1),例2：,计算,积分与路径无关。,解：,例3：,是某个函数的全微分，并求出它的一切原函数。,证：,例4：,其中：(1) C1不包围也不通过原点的任意,无重点闭曲线。,(2) C2以原点为中心的正向单位圆。,(3) C3包围原点的任意无重点正向闭曲线。,解：,除原点外，,(1) C1 不包围也不通过原点的任意无重点闭曲线,即所围闭区域 D1为单连通域，,在 D1 上, 都有,(2) C2 以原点为中心的正向单位圆,D1,D2,1,C1,C2,在(0,0)点,P, Q 无一阶连续偏导数，,不可用等价命题！,由定义求：,D3,C2,C3,(3) C3 包围原点的任意无重点正向闭曲线。,D3 中含有 P, Q 的不连续点(原点),为排除原点，,为边界曲线的平面区域,上, 恒有,C2 为圆周(取如图方向)。,加辅助线 C2，,课 外 作 业,习题12 3(A),3(2), 4(1, 2), 5(2), 6(2),1(2, 3), 3, 5,习题12 3(B),4. 对面积的曲面积分,（又称第一类曲面积分）,一、对面积的曲面积分的概念与性质,1. 引例,求曲面型构件的质量。,设有一张曲面, 其边界曲线是分段光 滑的闭曲线, 且曲面光滑, 面密度 (x, y, z) 在上连续，求曲面的质量。,x,y,z,0,(1) 任分为 n 块小曲面,(2) 任取一点,则小曲面的质量：,(3),(4),.,2. 定义,(1),(2),(3),(4),则称此极限值为f (x, y, z)在曲面上,对面积的曲面积分。,若,记作, 积分曲面,dS 曲面面积元素,可见，曲面形构件的质量：,又称为第一类曲面积分，,说明：,(1),f (x, y, z) 虽为三元函数，但点(x, y, z)被,限制在曲面上, 变量 x, y, z 不相互独立，,而依赖于曲面的方程。,(2),(3),若 f (x, y, z) 在光滑曲面 上连续，则,上述曲面积分存在。,(4),其性质与第一类曲线积分相仿。,特别，,若是闭曲面, 则记作,二、对面积的曲面积分的计算法,设曲面 ：z = z (x, y),(1),(2),(3),z = z(x, y) 在Dxy 上具有连续偏导数；,f (x, y, z) 在光滑曲面上连续；,同理：,例1：,内部的部分。,把1 投影到 xoy 平面