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从高考试题谈 _ 高一数学教学,江苏省运河中学 侯培勇,11 年 试 卷 总 体 情 况,必做题：均分 90.82；难度 0.57,填空题 均分 46.06，难度 0.66,四个层次： 14易，58较易 911中等，1214难 均分 17.84 16 10.02 2.02 难度 0.89 0.8 0.68 0.135,0.9 0.8 0.6 0.2,低于 08 年的均分 48.35，难度 0.69,15(三角) 均分: 11.01(满14分)，难度： 0.79. 16(立几) 均分: 11.15(满14分)，难度： 0.80. 17(函数、导数应用) 均分: 9.20 (满14分)，难度：0.66. 18(解几) 均分: 7.39 (满16分)，难度：0.46 19(数列) 均分：3.18 (满16分)，难度：0.20 20(函数) 均分：2.83 (满16分)，难度：0.18,解答题：均分 44.76；难度 0.497,21(选，平几) 均分：2.60，难度： 0.26 21(选，矩阵) 均分：8.90，难度：0.89 21(选，参数方程) 均分：9.04，难度：0.90 21(选，不等式) 均分：6.45，难度：0.65 22(必，空间向量) 均分：5.84，难度：0.58 23(必，计数原理 ) 均分：2.21，难度：0.22,附加题：均分 25.99；难度 0.65,说明 ：以上各题数据均是未除零,高考命题与阅卷的指导思想,高考命题的指导思想:,以人为本,考查学生学会了什么,而不是考查学生不会什么.,要让基础扎实,勤奋学习的学生在高考中取得理想的成绩,从高考中获取人生成功的体验,而不是失败的挫折.,为高校、为国家、为社会选拔不同层次的人才,大样本, 小区分. 以能力立意, 以知识为载体,高考阅卷的指导思想:,科学、高效. 力求科学性和可操作性的完美统一,公平公正, 科学严谨.,算理正确,逻辑严谨, 论证充分.关键步骤不可缺失,12 种方法,16. 如图, 在四棱锥 P ABC 中,平面 PAB 平面 ABCD , AB = AD, BAD = 600, E , F 分别是 AP, AD 的中点. 求证:,(1) 直线 EF/ 平面 PCD;,(2)平面 BEF 平面 PAD .,(1) E , F 分别是 AP, AD 的中点, EF / PD ., 3 分,(2) AB = AD, BAD = 600, AB = BD ,( 或ABD是正三角形),又 F 是 AD 的中点, BFAD ., 3 分, EF/ 平面 PCD, 3 分,平面 PAB 平面 ABCD , AD是交线 , 3 分,19.已知 a , b 是实数,函数 f (x) = x 3 + a x , g (x) = x 2 + b x , f (x) 和 g(x) 分别是f (x) 和g (x) 的导函数.若 f (x)g(x) 0在区间 I 上恒成立,则称 f (x) 和g (x) 在区间 I 上单调性一致。,(1) 设 a 0 .若f (x) 和g (x) 在区间 1, +)上单调性一致, 求 b 的取值范围;,在区间 1, +)上恒成立 ., 3 分, b 2 , 因此 b 的取值范围是 2, +)., 5 分,说明：以上 3 个至少要有一个.,有一个就行,从高考阅卷谈 _ 高一数学教学,试题难度： ( 填空题 ) 14易，58较易 911中等，1214难 均分 17.84 16 10.02 2.02 难度 0.89 0.8 0.68 0.135,18(解几) 均分: 7.39 (满16分)，难度：0.46 19(数列) 均分：3.18 (满16分)，难度：0.20 20(函数) 均分：2.83 (满16分)，难度：0.18,主要区分在 11 14 、 18 (3) 、 19 、20,11. 已知实数 a 0 , 函数,若 f ( 1 a ) = f ( 1 + a ), 则 a 的值为 _ .,此题很多考生的答案是 :,为什么 ?,没看懂题意,理解为 x = 1 是函数 f (x) 的对称轴,(1) 当 a 0 时,1 a 1 .,2 (1 a ) + a = (1 + a ) 2 a,(舍),(2) 当 a 0 时,1 a 1 , 1 + a 1 ., (1 a ) 2 a = 2 (1 + a ) + a,阅读理解是关键 ！,12. 在平面直角坐标系中, 已知 P 是函数 f ( x ) = e x ( x 0 ) 的图像上的动点,该图像在点 P 处的切线 l 交 y 轴于点 M . 过点 P 作 l 的垂线交 y 轴于点 N . 设线段 MN 的中点的从坐标为 t , 则 t 的最大值为 _ .,P(x ,ex),M(0,m),N(0,n),P,P1,P2,交于点 P 是什么 ?,点 P1是什么 ?,点 P2是什么 ?,线段 P1P2 的长是什么 ?,它们有什么联系 ?,还可以如何表示 ?,问题就转化为 :,已知 6 cos x = 5 tan x , 则 sin x = _ .,语言表达能力,13 . 设 1 = a1 a2 a7 , 其中 a1 , a3 , a5 , a7 成公比为 q 的等比数列, a2 , a4 , a6 成公差为 1 的等差数列, 则 q 的最小值是 _ .,a 1 , a 2 , a 3 , a 4 , a 5 , a 6 , a 7,1,a 21,q,a 2+ 1,q 2,a 2+ 2,q 3,1 a1 a2 a7,1,2,3,必要不充分,?,1,1,2,3,3,满足条件否 ?,若,集合 A 是 ?,集合 B 是 ?,m = 0,点 ( 2 , 0 ),m 0,圆盘,m 0,圆环,两条平行直线之间的区域,m 0,C,A,AC= 12 m,d,m 0, 0,19.已知 a , b 是实数,函数 f (x) = x 3 + a x , g (x) = x 2 + b x , f (x) 和 g(x) 分别是f (x) 和g (x) 的导函数.若 f (x)g(x) 0在区间 I 上恒成立,则称 f (x) 和g (x) 在区间 I 上单调性一致。,(1) 设 a 0 .若f (x) 和g (x) 在区间 1, +)上单调性一致, 求 b 的取值范围;,(2) 设 a 0 且 ab.若 f (x) 和 g (x) 在以 a , b为端点的开区间上单调性一致, 求 | a b | 的最大值。,知识层面: 函数的概念、性质及导数等基础知识,能力层面: 考查灵活运用数形结合、分类讨论的思想方法进行探索、分析与解决问题的综合能力,(1) 设 a 0 .若f (x) 和g (x) 在区间 1, +)上单调性一致, 求 b 的取值范围;, 1,画一张图,在“a 0”条件下,问题就转化为:,在区间 1, +)上恒成立,(1) 设 a 0 .若f (x) 和g (x) 在区间 1, +)上单调性一致, 求 b 的取值范围;,在区间 1, +)上恒成立 ., 3 分, b 2 , 因此 b 的取值范围是 2, +)., 5 分,说明：以上 3 个至少要有一个.,有一个就行,符号 “ ” 写成 “ ”、答案写成 ( 2, +) 都不扣分,(2) 设 a 0 且 ab.若 f (x) 和 g (x) 在以 a , b为端点的开区间上单调性一致, 求 | a b | 的最大值。,当 b 0 时？,解:当 b 0 时,f (x) 和 g (x) 在 ( a , b )上单调性不一致, 3 分,当 b 0 时？,(2) 设 a 0 且 ab.若 f (x) 和 g (x) 在以 a , b为端点的开区间上单调性一致, 求 | a b | 的最大值。,当 b 0 时？,当 b 0 时, 在 区间 上,由题意得 且, 2 分, 3 分, 2 分,因此 | a b |,验证,方法 2 : a 0,在以 a , b为端点的开区间上单调性一致,(1) 当 b 0 时, 为 ( a , b ),此时 b 0 a ,f (x) 和 g (x) 在 ( a , b )上单调性不一致, 3 分,(2) 当 b 0 时,开区间为 ( a , b ) ? ( b , a ) ?, 当 b a 0 时, 当 = a b 0 时,即 a 3 x 2 在 ( b , a ) 内恒成立.,| a b | = a b 3 b 2 b, 当 a b 0 时, 2 分,开区间为 ( a , b ),3 x 2+ a 0在 ( b , a ) 内恒成立., 3 分, 2 分,且当 时, 1 分,20 . 设 M 为部分正整数组成的集合,数列 an 的首项 a1 = 1 , 前 n 项和为 sn . 已知对任意的 k M , 当 n k 时, sn+k + snk = 2 ( sn + sk ) 都成立.,(1) 设 M = 1 ,a2 = 2 , 求 a5 的值;,(2) 设M = 3 , 4 , 求数列 an 的通项公式.,第(1) 小题是道什么问题 ?,(1) 数列 an 的首项 a1 = 1 , a2 = 2 ,前 n 项和为 sn , 当 n 1 时, sn+1 + sn1 = 2 ( sn + s1 ) 都成立.求 a5 的值.,sn+1 + sn1 = 2 ( sn + s1 ),解 : 当 n 2 时 ,Sn+1 sn = sn sn1 + 2,an+1 an = 2, 4 分,(2),(2) 数列 an 的首项 a1 = 1 , 前 n 项和为 sn , 当 n 3 时, sn+3 + sn3 = 2 ( sn + s3 ) 都成立,当 n 4 时, sn+4 + sn4 = 2 ( sn + s4 ) 都成立,求数列 an 的通项公式 .,sn+3 + sn3 = 2 ( sn + s3 ) ,sn+4 + sn4 = 2 ( sn + s4 ) ,当 n 3 时,当 n 4 时,sn+4 + sn2 = 2 ( sn+1 + s3 ) ,sn+5 + sn3 = 2 ( sn+1 + s4 ) , 得,an+4 an3 = 2 a4 ,得到 ?,隔 7 项成等差数列, 得, 得,an+4 an+1 = an+1 an2 ,an+5 an+1 = an+1 an3 ,以上 6 道试题考察了学生的生么能力 ?,数学阅读、语言转化、语言表达能力；,运算求解、空间想象、推理论证能力；,数学建模及解决实际问题的能力；,利用数形结合、分类讨论的思想方法进,行探索、分析与解决问题的综合能力.,学生如何才能获得这些能力?,发展以学生为主体的课堂教学,所有教学都归结为两个字:主动.学生主动学习是最终的目标.学生是自己活动中的主体,他们必须通过自主活动来认识事物、掌握知识,使自己的身心获得发展.教师必须为学生主动学习提供空间,教师就是为学生设计一个主动思维的舞台,创设主动建构的情境,而不只是提供主动获取知识的机会知识不是目标,而是通过知识的获得过程,使学生形成科学的思维方式.使学生获得研究方法.,回顾反思,问题情境,学生活动,意义建构,数学理论,数学运用,提出问题,体验数学,感知数学,建立数学,理解数学,应用数学,课堂教学内容组织的主要形式,每册教科书中的开篇都有完全相同的说明,问题情境：,包括实例、情景、问题、叙述等.,提出问题,学生活动：,包括观察、操作、归纳、猜想、验证、 推理、建立模型、提出方法等个体活动,也包括讨论、合作、交流、互动等小组活动.,体验数学,意义建构：,包括经历过程、感受意义、形成表象、自我表征等.,感知数学,数学理论：,包括概念定义、定理叙述、模型描述、算法程序等,建立数学,数学运用：包括辨别、解释、解决简单问题、解决复杂问题等,运用数学,回顾反思：包括回顾、总结、联系、整合、拓广、创新、凝缩 (由过程到对象 ) 等.,理解数学,教师要给学生提供的是学习资源、学习方法和学习氛围, 帮助学生搭建知识的“脚手架” ,让学生主动、积极地攀向知识的高峰，真正成为学习的主人！,使学生“学会学习”,自得知识、自觅规律、自悟原理.,目前课堂教学中普遍存在的几个现实：,1. 高一教学高三化,知识教学习题化,很多教师在课堂教学中轻概念、轻过程，重习题、重综合,高一教学高三化,知识教学习题化.师生深陷在题海中，苦不堪言。结果是: 学生概念不会表述,题意不能理解,解题没有思路,答题不知对错。,2. 重知识、重解题，学法指导跟不上,我们的课堂教学， 备课组、教研组的教研活动都是在围绕教学方法与解题方法的研究，缺失对学生学法指导的研究，忽视了提升成绩的关键是“学生要学会学习”。,3. 立足课本是空，以学生为主体是假,我们天天喊着要立足课本,立足以学生为主体的教学观.事实上,学生对课本中的概念都不能准确表述,更不用说深刻理解,大多数学生教材中很多习题从未做过,教师在课堂教学中对教材中的例题一带而过或束之高阁,总想选择能过瘾的“好题”.以学生为主体,大多体现在问答式教学上,学生的思维一旦出现错误或与教师的思维不对路,就终止其思维展示,课堂上师生的地位不平等,不能充分暴露学生的思维过程和运算过程,何谈以学生为主体？,4 . 都说时间不够，都怨学生太差,新教材使用 5 年来听到最多的是时间紧,新课标要求必修 1 5 每册书为36个学时,高一每周 4 学时, 9 周一册书, 时间正好,我们每周至少开6课时, 为何时间不够用？对新教材中对知识理解的循序渐进, 教学目标的螺旋上升理解不透, 学生还没学会走,我们就领着他去跑, 甚至逼着他去跨栏,跑不动、跨不过, 就说学生差, 到底是谁差？如此教下去学生又怎能不差？,必须对新课程标准下的数学教材对课堂教学的要求有深刻认识,1. 对新课程标准和考纲、考题的学习、研究与把握,新课程标准的理念是“使学生通过高中阶段的数学学习，能获得适应现代生活和未来发展所必须的数学素养，满足他们个人发展与社会进步的需要”，其核心就是学生要学会学习。,考纲中 C 级考点和 B 级考点是教材中统领各个模块整体贯通的主线知识，是最核心的概念与原理。,研究考题，我们才能准确把握高考需要学生的哪些能力，要在高考中获得满意的数学成绩，学生必须准确理解每一个概念，熟知教材中每一道习题的解法，要有很好的阅读能力、语言表达能力、语言转化能力、运算能力、分类讨论能力、探究拓展能力、数形结合能力。我们的教学才能做到目标明确，有的放矢。,2. 加强对新教材编写意图的研究， 确立建构主义教学观,新教材在课程标准的引领下，力图使学生在丰富的、现实的、与他们经验紧密联系的背景中去感受数学、建立数学、运用数学，做到“入口浅，寓意深”。通过创设恰当的问题情境，促进学生进行观察、操作、探究和运用等活动去感悟并获得数学知识与思想方法。在知识的发生、发展与运用过程中，培养学生的思维能力、创新意识、应用意识。,教材编写以每章的主背景引领本章内容，作为本章知识的生长点，每节在章的背景下给出节的分支背景，在入口较浅的实例中提出问题，引领学生通过对问题的研究，从体验数学 感知数学 建立数学 运用数学 理解数学，从问题开始到问题的成功解决和知识的运用。每册书开篇都有完全相同的说明，把教学流程写的非常清楚，一定要反复学习认真领会这一说明。,说明中的方法就是以学生为主体，在教师引导下通过学生自学质疑，互动探究，交流反馈去感知、建立数学知识，在通过对获得知识的运用去加深理解数学的教学方法。课堂教学一定要重知识、重过程，只有让学生自主感受数学、建立数学和运用数学，才能使学生真正领悟数学的本质，培养学生的理解能力、运用能力和探究能力。,自得知识、自觅规律、自悟原理.,3. 对课堂目标、节目标、章目标和总体目标的了解与细化,课堂教学要有准确的教学目标，教学要紧盯高考，但是，高考中考题要求的能力一定不能作为你的课堂目标。对知识的理解和能力的提升，是一个循序渐进的过程，要明确细化知识点的课堂目标、节目标、章目标和高中数学的整体目标，急功近利一定会事与愿违，一堂课解决不了所有问题，教学是一门科学，是一门艺术，“教之道在于度”，只有确立准确的课堂目标和阶段目标，才能较好的把握这个“度”。,例如函数部分整体目标是通过函数、三角函数、数列、导数等很多模块逐步达到的，函数单调性和最值的问题，只要能理解定义，会解决一些简单问题就足够了，困难的问题有导数来解决，在高一刚开始就把各类难题都拿给学生，只能起到淡化学生对概念本质的理解，使学生畏惧数学，厌倦数学，丧失信心，没有兴趣，快速把他们逼到数学差生的行列。,师生都要从题海中解放出来！,对高一数学课堂教学的建议,1. 要了解初中教学内容，研究学生的原有认知,要了解我们的教学对象会什么和不会什么，对学生的“元认知”不了解，如何确立课堂目标？首先是知识的不衔接，初中教材对因式分解只要求“提取公式法”和“公式法”没学十字相乘法，一元二次方程的根与系数关系，立方和与立方差公式，三元一次方程组，二元一次方程和二元二次方程组成的方程组等知识初中都不作要求。,这些知识高中教材没讲，但是多处使用，高考是要考的，要在恰当的时机给以补充。,初高中数学在学习方法上的差异更需要我们去关注和研究，初中数学教学是慢节奏、小容量、多反复，高中数学是时间紧、快节奏、大容量；初中数学重模仿，高中数学重创新；初中数学为定量的计算，高中数学是变量的运算。由于初高中学习方法的差异，学生的思维习惯和自学能力也不适应高中数学的学习。,高一年级数学教学，一定要低起点、小坡度，精讲精练，绝对不能使用题海战术。初中生未接触过含有字母的问题，分类讨论又是高考中重点考查的思想方法，一定要补，但是应该怎么补？必须有一个很好的规划，一定要由浅入深，循序渐进。,例如求解关于 x 的方程 a x + b = 0 ,高一新生几乎没人会做，二次含参问题就更不用说了，一开始一定要在例题中出现从最简单问题开始，讲明为什么要讨论和怎样讨论。,初中学生对数学概念仅达到感知的层面，没有建立数学理论，更谈不上对数学本质的理解，学生没有表述概念的习惯和能力，高一教学要把数学语言的形成作为重点工程，使学生从感知数学到会建立数学理论、运用数学、理解数学的本质。,一起步就大容量、高难度，一步到位。,学生苦不堪言！,2. 形成准确的数学语言，深刻理解每一个概念,到高三一轮复习时，没有几个学生能准确表述数学概念，责任不在学生，是教师的教学出了问题，形不成准确的数学语言，哪来的语言等价转换、阅读理解与审题能力？,高考区分学生的第一关不是在探究能力上，而是阅读理解能力。,教材中每一个数学概念、定义、公理、定理、公式的形成，都是通过章背景或节的分支背景，提出问题要求学生通过观察、操作、归纳、猜想、验证、推理等方法，在感知数学中，通过生生互动和师生互动去构建数学理论，教学中一定不可忽视这一环节，学生对数学概念的记忆、表述、理解一定要严格要求，要求学生准确理解、领会、表述每一个概念，掌握没一个概念的文字语言、符号语言、图形语言。,习题配置要以加深理解数学概念为首选目标，在 “看概念，演习题，演习题，悟概念” 的良性循环中去领悟数学的本质。,3. 确立“以学生为主体”的教学观和学习观,数学知识是不可以传递的,教师只能传递数学信息, 数学知识是学生“顿悟”的产物。学生对知识的记忆、理解、领会；数学思想和方法的融会贯通；数学语言、阅读理解、空间想像、抽象概括、推理论证、运算求解、数据处理等基本能力的提升都不是教师讲出来的，是靠学生自己领悟来的，必须立足以学生为主体的教学观念。,教材编写中内容的组织形式为： 问题情境 学生活动 意义建构 数学理论 数学运用 回顾反思 从提出问题 体验数学 感知数学 建立数学 运用数学 理解数学.非常适合课堂教学操作。课堂教学要在知识的发生、发展过程上留给学生足够的时间，通过问题设置、学生体验、互动探究去获取数学知识，领悟数学的本质，增长数学能力。,4. 立足课本，以学好教材为第一教学目标,课堂教学要充分使用好教材中的每一道例题，最好将例题和教材中重要习题编写到导学案中，解题回顾时要分析习题对概念的加深理解作用，要和例题比较解答的书写是否规范，规范答题是学生在高考中取得高分的必备环节，课后作业要确保覆盖教材中每一道习题，要求学生独立完成教材中每一道应用题。,高考命题的主要来源是课本，课本以外的难题学生能否打开思路的关键也是对教材中基本题型求解方法是否做到融会贯通和对数学概念的深刻理解，应用题是区分学生考分最关键的试题，应用题大多由教材中问题改编而得，培养学生求解应用题的最好手段就是做好教材中的每一道应用题，从高一抓起，从各章节抓起。,要充分挖掘教材中习题的功效,5. 低起点、严要求、抓规范,高一、高二的教学要紧紧盯住高考试卷的前100分，起点一定要低，教学和测试的重点要落在概念的掌握，最基本题型的解题思路要清晰，数学的规范性要严格要求，问题论证要紧扣概念，形成严谨的数学语言。例题和习题的选择坚决遵循以悟透概念，理解解题的通性通法为首要目的，严格控制难题数量和试题难度。,6. 严格按照课程标准和考纲进行教学，杜绝补充超纲内容,课标和考纲中没有的内容坚决不补充（初中缺失的部分知识必须补充），考纲以外的知识一定不会考，补充进来只能起到增加学生的负担，增加解题时打开思路的难度，在高考中百害而无一利。,7. 加强对学生学习方法的指导，细化对学生学习的管理,数学教学的主体是学生，学生的学习能力是提升教学绩效的关键，要对学生如何提前复习课本，如何进行回顾反思，如何提升运算能力等各方面及时进行学法指导，加大对学法指导的研究，上好学法指导课。加大对学生学习的调查、研究和管理，细化作业布置，认真实施作业检查和批改。众所周知，教学是三分教七分管，作业布置要细化到自学的知识，课后必须完成的习题，需要订正的试卷，作业坚持一课一布置，有布置，有检查，有批改，有讲评，用管理促效益，向管理要成绩。,附教学案例 - - - 余弦定理,1.2 余弦定理,江苏省运河中学 侯培勇,问题 1 : 三角形可以由哪些条件确定 ?,1 . 两角和两角的夹边,2 . 两边和两边的夹角,3 . 三条边,A,C,b,B,c,已知两角和两角的夹边如何求其它的边和角 ?,已知两边和两边的夹角如何求其它的边和角 ?,已知三条边如何求三个角 ?,问题 2 : 在ABC 中, 如何用 b , c , A 表示 a ?,即: 已知 b , c , A 如何求 a ?,请从特殊情形去试验、探索、猜想 ?,a2 = b2 + c2,a = b = c,a2 = 3b2 = 3c2,a2 = b2 + c2,a = b = c,a2 = 3b2 = 3c2,思考 : 能否概括出一个用 b , c , A 表示 a 的式子同时满足以上三个特例 ?,b = c,a2 = b2 + c2 + ?,a2 = b2 = c2,= b2 + c2 + ?,= b2 + c2 + ?,问题 2 : 在ABC 中, 如何用 b , c , A 表示 a ?,对 A = 90的直角三角形和顶角为特殊角的两个等腰三角形我们概括出上述等式,它是否为问题 2 的正确答案呢 ?,仅当 b = c 时是否成立 ?,a 2 = 2 b 2 ( 1