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文档简介

5.1 非线性方程研究的例子与概念,5.1.1 例子,5.1.3 基本定义,5.1.2 自治微分方程与非自治微分方程、,动力系统,例5.1.1 早期研究生态问题的一个简单的,微分方程模型时Malthus模型,(5.1.1),其中 代表t时刻种群的数量, 为一个常数,(称为内禀增长率),模型的简单解释就是说 时刻,种群的数量的变化率和种群数量成正比,这时一个,线性模型,加上初始条件,可以容易地求得其解为,由解的形式可以得出当 时,这种描述明显的与实际问题不符。因为任何群的,数量都受生态环境的影响不会无限制的增长,,这就是线性化所引起的问题,它改变了实际现象,变化规律,这就导出了对其改进的 Logisitic模型,这里的 及 的意义同(5.1.1), 是一个,常数,通常称为环境容纳量这是一个非线性的,问题,不过由于方程简单也利用初等积分可以得,得到其解为:,当 时 ,从解的形式看出,(5.1.2)克服了(5.1.1)中种群数量无限增长的缺陷,在一定程度上能更好的刻画实际问题的变化规律,对(5.1.1)和(5.1.2)这样能求出其解的具体形,式的问题.当然可以用前面所学的知识来讨论其解,在 时的性态,而当我们求不出方程解时,又该如何研究 解的 性态呢?,事实上,对一些方程可从它的形式得到当,的性态。例若将方程(5.1.1)满足,初始值 的解记为 ,则从方程的形式可以看出,,当 时,则 , 单调减 ;,当 , 时,则 , 单调增 。,所以,当 时,且单调减 必有极限,再由(5.1.1)看出,于是, 。即当 时,(5.1.1)的解,满足 同理可以得到,当 时, 这样我们,没有求解方程,通过解的形式得出了当 时,,(5.1.1)所有的解满足,同理,当 时,对(5.1.2)的解,有:,当 时,,当 时,,当 时,,于是不同的 我们可以得到(5.1.2)解的性态如下:,例5.1.2 讨论当时下面方程组解的性态.,(5.1.3),解 由于(5.1.3)是一个非线性方程组,无法求出其,故我们用定性分析法来讨论(5.1.3)当,时解的性态.将(5.1.3)满足,的解记为,在时刻 ,该解在平面上的点为:,点随着时间t而变化, 点到坐标原点,由于,利用解满足的方程(5.1.3)得,于是, 随时间单调减少,再利用反证法可以,得到 。我们得结论是,即设有求解方程组(5.1.3),我们也成功地解决了,解的性态分析问题。,本章就是要给出通过方程的形式来分析解的,法。接下来先给出一些基本概念。,5.1.2 自治微分方程与非自治微分方程,动力系统,最一般的 阶非线性微分方程可以表示为 :,(5.1.4),且 关于的 隐函数是存在的,即(5.1.4)可以,表示为,如果做变换,则该方程可以表示为如下的一阶微分方程组:,因此,我们只要考虑如下更一般的 :,(5.1.5),方程组(5.1.5)可以记为向量形式,其中:,如果还有初始值条件 :,(5.1.7),(5.1.6)和(5.1.7)就是一个初始值问题。,我们称向量函数为初始值问题(5.1.6),(5.1.7)的,解。如果它满足:,和,关于初始值问题(5.1.6),(5.1.7)也有解的存在惟,一性定理,若 在开区域 中满足:,(1) 在 内连域,简记为:,(2) 关于 满足局部Lipschitz条件,即对于点,存在:,和依赖于 点的常数 使得对于任意的,不等式,成立其中 表示欧氏范数。,则初值问题(5.1.6),(5.1.7)在区间 上存,在唯一的解.这里:,微分方程(5.1.6)在 维空间,中确定了一个向量场,而满足(5.1.6),(5.1.7)的解,就是向量场中的一条积分曲线。,当(5.1.6)中的 函数满足解的存在惟一性条件,时,向量场中的任一点只有一条积分曲线经过。,如果把t理解为时间参量而只考虑空间变量,所在的空间,即 构成的,空间 称之为方程组(5.1.6)的相空间,积分曲线在,相空间的投影曲线称为方程组的轨线。,一般地方程组(5.1.6)中的函数 是与 相关的,这时的(5.1.6)就称为非自治微分方程组,如果 函,函数中不显含 ,即,(5.1.8),(5.1.8)就称为自治微分方程组。,可以从运动的观点来解释方程(5.1.6)或(5.1.8),即把 理解为时间(不管它在实际问题中是否确为,时间), 理解为维空间 中点的坐标.因而在任,意时刻 ,(5.1.6)在空间中定义了一个速度场,即为 时刻点,处的第 个速度分量,方程的解,即给出了质点的运动规律.因而称之为一个运动。,在以上的意义下,我们称方程(5.1.6)为一个动力系,统。相应的(5.1.6)称为非自治系统,(5.1.8)称为,自治系统。,这时 常记为 , 常记为 等。,5.1.3 基本定义,一般情况下方程(5.1.6)是无法用初等积分的方,法求解的,这当然为研究带了不便。但正因为这样,才使得非线性问题的研究更加丰富多彩。在许多应,场合没必要求出其精确解的具体形式。我们更感兴,趣的是方程(5.1.6)的解的定性性态,在应用中比较,重要的问题包括:,(1)是否存在常数值,使得 是(5.1.6)的解,(如方程(5.1.1)的常数,解 。(5.1.2)的常数解是,及 ),(2)设 是(5.1.6)的解, 是(5.1.6)的另一个,解, 与 很接近时,对于一切 是否有,有 与 都很接近?,这个问题就是后边涉及到的稳定性问题。,例如方程(5.1.2)中的常数解 ,若另有一解,不难计算只要 与 很接近,即 很小,,就有: 很小, 既是后边要定,义的稳定解。相应的(5.1.1)的解 ,无论 多么小, (5.1.1)的解,与 也不能保证对于一切 很接近,对于,(5.1.1), 既是后边要定义的稳定解。,(3) (5.1.6)是否有解 ,满足,此即后边要定义的周期为 的周期解。,(4)当 时(5.1.6)任一解 有何趋向?,它是否趋向于常数解或周期解?,本章将着重解决这些问题,下边是几个基本定义:,定义5.1 系统(5.1.6)的常数解 称为,系统的平衡点(奇点或驻点),常数解 满足:,例5.1. 求下列系统的平衡点:,解 由定义,令,解得,所以方程组有惟一的平衡点。,如果系统(5.1.6)的某个解 满足对一切,均有,其中 为一个常数,则称此解 为(5.1.6),的一个周期解。,例5.1.5 用Maple命令画出下边捕食被捕食系统的,方向场及一些轨线图,(图5.1),用Maple命令画出的图形见,从计算机的模拟看出系统有多个周期解。,下边我们给出系统(5.1.6)的解的稳定性的定义。,(图5.2)。,设(5.1.6)的右端函数 ,对于 和,连续,关于 满足李普希兹条件。且 (5.1.6),有一个解 定义于 及,使得对于(5.1.6)的任一满足 的解,只要:,(5.1.9),对于所有的 成立,则称方程(5.1.6)的解:,是李雅普诺夫意义下稳定的,简称稳定的。,如果(5.1.6)的解 不是稳定的,则称它是不,稳定的。,(5.1.6)零解稳定的几何意义是对任意给定的半,径总能在中 找到一个以原点为中心、半径为,的开球 ,使得(5.1.6)在时刻从出发的解曲线当,时总停留在半径为 的开球 内。,图5.3,如果方程(5.1.6)的解 是稳定的,而且,存在一个常数 ,使对于一切满足,(5.1.11),的解 ,都有,(5.1.12),则称解 是渐近稳定的。,如果(5.1.6)的解 是渐近稳定的,且存在,区域 ,只要 ,就有,稳定域或吸收域。,则称区域 为(5.1.6)的解 的渐近,如果解 的渐近稳定域是全空间,则,称此解是全局渐近稳定的。,例如前边的例5.1.1中的系统(5.1.2)中的,就是稳定的且是渐近稳定的,而解,就是不稳定的。,至于如何判断给定系统的某个特解的稳定性问,题,我们将在后边的5.3及5.5中介绍。,关于稳定性还有几点要注意的:,注1 上边的定义中是针对 或 ,,以有时把上边定义中的稳定性称为正向稳定的(不,稳定的,渐近稳定的等),如果把 的趋向改为,或 ,相应地可定义负向稳定的,(不稳定的,渐近稳定的等),以后如无特别声明我,们所说的稳定性均指正向稳定性。,注2 当定义中的 为系统

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