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文档简介
,一、推导:,13-7 单位载荷法-莫尔积分,方式一:,先加,再加,方式二:,同时加,同理:,二、莫尔积分的应用:,1、计算梁发生弯曲变形的位移:,2、计算小曲率曲梁发生弯曲变形的位移:,3、计算圆轴发生扭转变形的位移:,4、计算杆发生轴向拉压变形的位移:,5、计算桁架节点位移:,6、计算结构组合变形的位移:,三、莫尔积分的应用范围:,线弹性结构,四、,的符号的含义:,1、+:所求位移的实际方向与所加的单位载荷方向相同,2、-:所求位移的实际方向与所加的单位载荷方向相反,用莫尔积分计算的步骤:,1、写出结构在原载荷作用下引起的各段的各种内力方程,2、将结构单独取出,在结构上施加一与所求位移对应的单位载荷即:求位移时施加单位力;求相对位移时施加一对相反单位力。 求转角时施加单位力偶;求相对转角时施加一对相反单位力偶。,3、写出结构在单位载荷单独作用下引起的各段的各种内力方程,4、将同一段的同一种内力方程相乘积分,注意:在列原载荷和单位载荷引起的内力方程时,必须保证内力方程分段相同,并且每段自变量的基准点相同,求C点铅垂位移,思考:在分别写原载荷和单位载荷引起的弯矩方程时,应分几段?,组合变形时的莫尔积分:,所以:,其中:,为单位载荷引起的弯矩,,注意单位载荷一定要与所求位移:在种类和位置上对应。,六、莫尔积分的例题,1、计算梁发生弯曲变形的位移:,求:C点铅垂方向的位移 和B点转角,莫尔积分的应用范围: 线弹性结构,2)列原载荷引起的内力方程:,3)施加单位载荷:,4)列单位载荷引起的内力方程:,5) 同一段的同一种内力相乘积分,解: 求 1)求约束反力: 为此取AB 为研究对象,的正、负号的含义:,1、+:所求位移的实际方向与所加的单位载荷方向相同,2、:所求位移的实际方向与所加的单位载荷方向相反,求,例2:试求P力作用下,A点的竖直位移,分析:,因为力与轴线位于同一平面,所以在P力作用下,只考虑弯曲变形,即只考虑弯矩,解:,2、计算小曲率曲梁发生弯曲变形的位移:,1)列原载荷引起的内力方程:,2)施加单位载荷,列单位载荷引起的内力方程:,3)由莫尔积分求 :,3、计算桁架节点位移:,解:,1)列原载荷引起的内力方程:,例3:图示简单桁架,各杆 长度均为 ,且EA相同, 试求B、D两节点的相对位 移。,2)施加单位载荷:,3)列单位载荷引起的内力方程:,4)由莫尔积分求 :,4、计算结构组合变形的位移:,例4:图示刚架,各段刚度已标出,试A 点的铅垂位移与B点的转角,解:,1)列原载荷引起的内力方程:,2)列单位载荷引起的内力方程:,设,3) 同一段的同一种内力相乘积分,若横截面是边长为b的正方形, 时,上述比值为:,例5: 轴线为半圆形平面曲杆如图(a)所示,作用于A点的集中力P垂直于轴线所在平面,求P力作用点的垂直位移.,1)列原载荷引起的内力方程:,2)施加单位载荷:,4)积分计算位移,3)列单位载荷引起的内力方程:,2)列原载荷引起的内力方程:,3)列单位载荷引起的内力方程:,解: 1)求约束反力,例:变截面梁如图所示, 已知:P,a,EI1,EI2。求:D点的垂直位移.,3)列单位载荷引起的内力方程:,4) 同一段的同一种内力相乘积分,解: 1)由于对称,只计算一半,例:平面刚架如图所示, 已知:P,a,EI。求:AF两点的相对位移.,2)原载荷引起的内力方程:,3)单位载荷引起的内力方程:,2)原载荷引起的内力方程:,3)单位载荷引起的内力方程:,2)原载荷引起的内力方程:,3)单位载荷引起的内力方程:,分析:研究角度对应的截面的弯矩。先考虑内部弧段的合弯矩,计算均布外压小曲率曲梁弯曲变形的A点竖直位移yA:,2)A点施加向下的单位力,引起的内力方程:,3)由莫尔积分求yA,一、推导:,,若EI为常量,则公式可变形为:,13-8 计算莫尔积分的图乘法,(1)二次抛物线:,(2)二次抛物线:,为了计算方便,列出了比较常见图形的面积和形心坐标,三、应用图乘法的注意事项:,原载荷与单位载荷引起的内力图在轴的同侧,为正,原载荷与单位载荷引起的内力图在轴的异侧,为负,3、若梁的抗弯刚度EI在整个梁上呈阶梯变化,则图乘时也要分段,5、图乘时,只有对同一段梁上的同一种内力才能互乘,,注:综合来讲,决定图乘分段的因素有三个:,的折点;,图是否需要划分为若干简单图形;,(2) EI是否阶梯变化;,即:,例5:求,解:1、画原载荷引起的内力图,3、画单位载荷引起的内力图,4、图乘方法(1),5、图乘方法(2),M图,图,注:当原载荷和单位载荷引起的内力图都是直线时,,是单位载荷引起内力图的面积,是单位载荷引起内力图的形心对应到原载荷引起的内力图的纵坐标,二、图乘法的应用:,1、计算梁发生弯曲变形的位移:,2、计算圆轴发生扭转变形的位移:,3、计算杆发生轴向拉压变形的位移:,4、计算结构组合变形的位移:,求:C点铅垂方向的位移 和B点转角,解:1、画原载荷引起的内力图:,3、画单位载荷引起的内力图,4、图乘:,例2:用图乘法求,解:1、画原载荷引起的内力图:,3、画单位载荷引起的内力图,4、图乘:,(图1),(图2),6、画单位载荷引起的内力图,7、图乘:,求:1. A 端的铅垂位移;,2. A端绕BC 轴线(X轴)的转角。,X,3、画单位载荷引起的内力图,2、求A 端的铅垂位移 施加单位载荷,解求 : 1、画原载荷引起的内力图,4、图乘:,2、求A点绕BC轴转角 施加单位载荷,3、画单位载荷引起的内力图,4、图乘:,解 求 : 1、画原载荷引起的内力图,例3: 轴线为半圆形平面曲杆如图所示,作用于A点的集中力P垂直于轴线所在平面,求P力作用点的垂直位移.,1)列原载荷引起的内力方程:,2)施加单位载荷:,4)积分计算位移,3)列单位载荷引起的内力方程:,例4:试求P力作用下,A点的竖直位移,分析:,因为力与轴线位于同一平面,所以在P力作用下,只有弯曲变形,即只考虑弯矩,解: 1)求约束反力画载荷引起的内力图,例:变截面梁如图所示, 已知:P,a,EI1,EI2。求:用图
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