向量代数与空间解析几何(19).ppt

1,第六章 向量代数与空间解析几何(一),典型例题,主要内容,堂上练习题,小结,2,一、主要内容,第1节 向量及其线性运算,一. 向量的基本概念,向量,既有,向量表示,模长为1的向量.,零向量,模长为0的向量.,向量的模,向量的大小.,单位向量,或,或,或,的量.,又有,大小,方向,以,为起点,为终点的,有向线段.,(module),3,二.向量的线性运算,加法,（平行四边形法则）,（平行四边形法则有时也称为三角形法则）,(1)加法定义,1. 向量的加减法,4,(2) 向量的加法符合下列运算规律,交换律,结合律,减法,(3) 减法定义,5,2. 向量与数的乘法 (简称数乘运算),向量,向量的“伸缩”,向量,的乘积,规定为,同向,反向,为向量.,与数,的乘积,6,(2) 数与向量的乘积符合下列运算规律,结合律,分配律,第一分配律,第二分配律,线性运算,由向量,常用数乘运算说明,两向量平行关系(两向量共线的充要条件):,定理1,平行,设向量,存在唯一的实数,同方向的单位向量.,记作,7,数轴:,给定一个点,一个向量及单位长度,或说,给定一个点,一个单位向量,于是,x为点P的坐标,三.数轴上的向量,8,横轴,纵轴,竖轴,定点,空间直角坐标系,三个坐标轴的,点O叫做坐标原点 (或原点),正方向符合右手系,即以右手握住 z 轴,当右手的四个手指,从正向x轴以,角度,转向正向y 轴时,大,拇指的指向就是z轴,的正向.,一.空间点的直角坐标,坐标系,或,坐标系.,第2节 空间直角坐标系,9,空间直角坐标系共有八个卦限,10,空间的点,有序数组,特殊点的表示:,坐标轴上的点,坐标面上的点,11,(3) 点M(2, -3, 1)关于y 轴的对称点是( ).,?,(1) 点M(2, -3, 1)关于坐标原点的对称点是( );,选择题,(2) 点M(2, -3, 1)关于xOy面的对称点是( ) ;,(A) (-2, 3, -1); (B) (-2, -3, -1); (C) (2, -3, -1); (D) (-2, 3, 1).,A,C,B,12,为空间两点.,在直角三角形,和,中,用勾股定理,二.空间两点间点的距离,空间两点间距离公式,13,若两点分别为,特殊地,向径,空间直角坐标系中任一点M与原点构成的向量.,常用,表示.,空间两点间距离公式,14,1. 两向量的夹角的概念,类似地,特殊地,可定义向量与一轴或空间两轴的夹角.,当两个向量中有一个零向量时, 规定,它们的夹角可在,之间任意取值.,向量,与向量,的夹角,三、利用坐标作向量的线性运算,15,空间一点在轴上的投影,过点A作轴u的垂直平面,即为点A在轴u上,的投影.,空间一向量在轴上的投影,2.向量在轴上的投影,轴u称为投影轴.,已知向量的起点A和终点B,在轴u上的投影点分别为,那么终点的投影点的坐标减去起点的投影点的坐标,称为向量在轴u上的,投影.,16,Projection,在轴u上的,向量,轴与向量的夹角的余弦：,向量,在轴u上的,投影,记为,投影性质1,投影等于向量的模乘以,投影有正、,负之分;,模只为正值.,17,（可推广到有限多个）,两个向量的和在轴上的投影等于两个向量,在该轴上的投影之和.,投影性质2,投影性质3,18,3. 向量在坐标轴上的分向量与向量的坐标,的投影,如 是与轴 u正向一致的单位向量,因此,可知:,上坐标分别为,19,起点,终点,向量在x轴上的投影,向量在y轴上的投影,向量在z轴上的投影,按基本单位向量的坐标分解式：,向量的坐标表达式：,坐标,坐标,坐标,20,4.利用坐标作向量的线性运算,21,由,按坐标表示式即为:,当分母为零理解为分子也为零.,也即向量 与 对应的坐标成比例:,22,非零向量与三条坐标轴的正向的夹角称之为,非零向量 的方向角：,四、向量的模、方向角,(direction angle ),23,由图分析可知,向量的方向余弦,方向余弦,向量模长的坐标表示式,(direction cosine ),通常用来表示向量的方向.,24,当 时，,向量方向余弦的坐标表示式,方向余弦的特征,特殊地,25,第3节 向量的数量积与向量积,1. 定义,向量,数量积,一、两向量的数量积,2、关于数量积的结论：,(1),此时也称,(2),与,正交.,26,3. 数量积符合下列运算规律,（1）交换律：,（2）分配律：,（3）若 为数：,若 、 为数：,4. 用坐标表示式计算数量积,则,设,数量积的坐标表达式：对应坐标乘积之和,27,两向量夹角余弦的坐标表示式,由此可知两向量垂直的充要条件为,5. 两向量的夹角 (数量积在几何中的应用),28,二、两向量的向量积,1. 定义,2. 关于向量积的结论：,/,向量积也称为“叉积”、,大小,“外积”.,向量,向量积,的方向既垂直于,又垂直于,指向符合右手系.,方向,29,3. 向量积符合下列运算规律,(2) 分配律,(3) 若 为数,(1) 反交换律,4. 用坐标表示式计算向量积,设,30,5. 向量积的几何意义,表示以,为邻边的平行四边形的面积.,31,1. 定义,设,混合积的坐标表达式,三、 *向量的混合积,设已知三个向量,、,数量,称为这个向量的,记为,混合积,32,向量混合积的几何意义,关于混合积的说明：,(1),(2),(3),向量的混合积,是这样的一个数,它的绝对值表示,以向量,为棱的平行六面体的体积.,33,上两式相减得：,例1 设 均为非零向量,其中任意两个向量 不共线, 但 与 共线, 与 共线. 证明：,证,为常数.,二、典型例题,34,解,设,为直线上的点,例2,已知两点,以及实数,在直线AB上求点M, 使,同理,得,35,例3 设 的模为2,它在,轴上的投影,分别为-1,1,求,轴夹角的余弦.,例4,已知,方向角,例5 已知,36,解,求向量,例6,x轴上的,投影及在y轴上的分向量.,在x轴上的投影为,在y轴上的分向量为,37,解,例7,两两垂直，,设,求,关键：利用,38,为单位向量，且,例8 设,求：,例9 设,其中,求：,39,解,例10,求与,都垂直的单位向量.,40,解,三角形ABC的面积为,例11,已知三角形的顶点,计算从顶点B到边AC的高的长度BD.,41,解,例12,已知,计算,42,三、堂上练习,1. 设,2. 设,3. 设,43,4. 已知,问系数,为何值时,向量,垂直?,5. 已知三点,计算:,(1) 以 为邻边的平行四边形的面积