《电路理论基础》学习指导(李晓滨)第3章.ppt

第3章 线性电阻电路的一般分析法,3.1 内容提要 3.2 重点、难点 3.3 典型例题 3.4 习题解答,3.1 内容提要 1. KCL、KVL方程的独立性 图：点与线的集合。 电路的图：每一支路用一“线段”表示，每一节点用一“点”表示。 回路：一个路径的起点和终点为同一点。 平面电路：若一个电路可画在一个平面上，且在非节点处不相交，则称之为平面电路，否则为非平面电路。 网孔：内部不含其他支路的回路。,KCL方程的独立性：若电路有n个节点，则有n-1个独立的KCL方程。独立KCL方程对应的节点称为独立节点。 KVL方程的独立性: 若电路有n个节点，b条支路，则有 Lb-n+1个独立KVL方程。与独立KVL方程对应的回路称为独立回路。,2. 支路分析法 2b法：以支路电流和支路电压为变量列方程求解电路，若电路有b条支路，则共有2b个变量。其中，KCL独立方程n-1个，KVL独立方程b-n+1个，支路方程b个。 支路电流法：以支路电流为变量列方程求解电路的方法。 3. 节点分析法 节点电压：任意指定电路中某个节点为参考节点，则其余节点相对于参考节点的电压称为节点电压。 以节点电压为变量列方程求解电路的方法称为节点分析法。,4. 网孔分析法和回路分析法 沿网孔连续流动的假想电流称为网孔电流。 以网孔电流为变量列方程求解电路的方法称为网孔分析法。 以 L个独立回路电流为变量列方程求解电路的方法称为回路分析法。,3.2 重点、难点 1. 支路电流法 (1) 标好支路电流参考方向； (2) 选择n-1个独立节点列KCL方程； (3) 选择b-n+1个独立回路列KVL方程，方程中的电阻、电压用支路电流表示。 独立KVL回路的选择有三种方法。 方法一：每选一个回路，让该回路包含新的支路，选满L个为止。 方法二：对平面电路，L个网孔是一组独立回路。 方法三：选定一棵树，每一连支与若干树支可构成一个回路，称为基本回路(单连支回路)。L条连支对应的L个基本回路是独立的。,2. 节点分析法 若电路的节点数为n，则独立的节点数为n-1。只含电 阻和电流源的电路的节点方程为,含电压源、受控源电路节点电压方程的列写： (1) 当电路中含有理想电压源时，尽可能使电压源的一端成为参考节点，这样电压源的电压就可以作为节点电压，成为已知量，可以不用列该节点的节点方程； (2) 当电压源的电压不能成为节点电压时，设该电压源支路的电流为i， 再列一个该电压源支路的补充方程。 (3) 当电路中含有受控源时，将受控源当作独立源用上述(1)、(2)同样的方法列方程，然后列一个有关控制量的补充方程。,3. 网孔分析法 若电路的网孔数为l，则只含电阻和电流源的电路的网孔方程为,含电流源、受控源电路网孔电流方程的列写： (1) 当电路中含有理想电流源时，尽可能使电流源的电流成为网孔电流，这样，网孔电流就成为已知量，可以不用列该网孔的网孔方程； (2) 当电流源的电流不能成为网孔电流时，设该电流源的两端电压为u ， 再列一个该电流源支路的补充方程。 (3) 当电路中含有受控源时，将受控源当作独立源用上述(1)、(2)同样的方法列方程，然后列一个有关控制量的补充方程。,3.3 典型例题 【例3-1】 图3-1所示电路中，已知R1=R2=10，R3=R5=10, R6=4，us3=20 V，us6=40 V，用支路电流法求解电流i5。,图 3-1,解 按如图3-2所示各支路电流i1、i2、i3、i4、i5、i6，列出三个节点的KCL方程 再列出三个回路的KVL方程 代入各已知量，联立以上六个方程得 i5=-0.956 A,图 3-2,【解题指南与点评】 支路电流法以六条支路电流为基本变量，列出六个独立的KCL和KVL方程。六个变量，六个独立方程，因此可以求解。 【例3-2】 试用网孔电流法求解图3-3所示电路中的电流。,图 3-3,解 选取网孔电流im1、im2、im3， 列网孔电流方程: 代入已知量，解得 由此可得支路电流为 i6=im2=0.956 A,【解题指南与点评】 一般电路的网孔数远小于支路数，所以为了简化计算，用网孔电流法，选网孔电流作为变量，列回路独立的KVL方程求解。网孔电流是在一个网孔上连续流动的假想电流，而支路电流是流经某一支路的实际电流，所以支路电流可以通过流经它的网孔电流的叠加而得。本题中只有一个网孔电流im2流经R5支路，所以i5=im2。,例3-3 用回路电流求解图3-1所示电路中的电流i5。 解 取回路电流il1、il2、il3，如图3-4所示。列各回路的KVL方程：,代入已知量，得 求解可得 由此可得支路电流为 i5=il2=-0.956 A,图 3-4,【解题指南与点评】 一般电路的独立回路数小于支路数，采用回路电流法可以简化计算。回路电流法以回路电流作为变量，列独立回路的KVL方程求解。回路电流是在一个回路上连续流动的假想电流，而支路电流是流经某一支路的实际电流，所以支路电流可以通过流经它的回路电流的叠加而得。本题中只有一个电流il3流经R5支路，则有i5=il3。对于平面电路图，按自然网孔取回路电流，可以取到全部的独立回路电流，所以本题的回路电流法方程与上题的网孔电流法所有方程完全相似。当电路中仅含电阻与电压源时，运用电阻的概念列写回路电流方程很有规律，是一种常规的分析方法。,【例 3-4】 用回路电流法求解图3-5所示电路中的电压U0。,图 3-5,解 注意当电路中含理想电流源支路时，可以取一个回路经过该电流源，如图3-5所示，取Il3=3 A。 如图3-5所示，设回路电流为Il1、Il2、Il3，列各回路的KVL方程： 解方程得 Il1=8 A， Il2=6 A， Il3=3 A 所以支路电压U0为 U0=(Il1-Il2)40=80 V,【解题指南与点评】 当电路中某些支路含有无伴电流源，因其内电阻为无穷大，列写回路电流方程发生了困难时，需要进行特殊处理。如本例中，取回路3的回路电流经过该电流源，这表明Il3=3 A是已知量。 【例 3-5】 用回路电流法求解图3-6所示电路中的电压U。,图 3-6,解 取回路电流Il1、Il2、Il3，如图3-6所示。列写各回路的KVL方程： Il2=0.1I(附加方程) 解方程得 Il1=-5 A Il2=0.5 A Il3=-43.75 A 则支路电压U=276.25 V。,【解题指南与点评】 可以把受控源当作独立源来处理。图3-6所示电路中，受控源可以当作理想电流源处理，因此可以取回路2经过受控电流源；如果要列回路2的KVL方程，必须设受控源两端的电压为U。另外，必须补充回路电流与受控源的控制量之间的关系式作为附加方程。,【例 3-6】 列出图3-7(a)、(b)所示电路的节点电压方程。 解 (1) 在图3-7(a)中，任选一个节点为参考节点，其余则为独立节点，注明、，如图3-7(a)所示。三个节点的电压方程为,图 3-7,(2) 同理，在图3-7(b)中标明节点电压，则节点电压方程为 (补充的约束关系),【解题指南与点评】 (1) 图3-7(a)所示电路中只含有电导和电流源，可以直接套用节点电压方程的一般形式；(2) 在图3-7(b)中有电流源is1与电阻R1串联支路，R1对其他支路的电压、电流不起作用，该元件称为“虚元件”，不能列入节点电压方程内; (3) 图3-7(b)中因含有受控源，需补充控制量与节点电压之间的附加方程。,【例3-7】 列出图3-8所示电路的节点电压方程。 解 按图3-8所示标明各节点电压，则节点电压方程为 整理可得,图 3-8,【解题指南与点评】 应先把电压源与电阻串联支路等效变换为电流源与电导并联支路，然后套用节点电压方程的一般形式。 【例 3-8】 列出图3-9所示电路的节点电压方程，并求出两个独立电流源发出的功率。,图 3-9,解 列写各节点的节点电压方程如下： 解上述方程得 un1=-1.2 V， un2=0.8 V 因此，2 A电流源发出功率为 p发出=2(un1+22-un2)=4 W (实际发出4 W) 6 A电流源发出功率为 p发出=6(un2-un3)=-8.4 W (实际吸收8.4 W),【解题指南与点评】 在本题中，应注意两点：(1) 与2 A电流源串联的2 电阻是“虚元件” ，不能出现在节点电压方程中；(2) 题意指明求两个独立电流源的发出功率，所以最好取电流源两端的电压参考方向与电流的参考方向非关联，这样可给计算带来方便。计算结果为负，表明该电流源实际是吸收功率；若结果为正，表明实际是发出功率。2.2V的独立源一端接在参考节点，另一端接在节点上，则un3=2.2 V。,【例3-9】 假设要实现图3-10所示电路的输出u0为： -u0=3u1+0.2u2，并已知R3=10 k，求R1和R2。,图 3-10,解 在图3-10所示电路中标上节点电压un1、un2及支路电流i1、i2、i3。根据理想运放的两条规则：un1=un2=0(虚短)，i1+i2=i3(虚断)，可列出方程: 即 题目给定的已知条件为 -u0=3u1+0.2u2 比较上两式的系数，可得,【解题指南与点评】 分析含有理想运算放大器的电阻电路，一定会用到理想运放的两个规则：“虚短”与“虚断”；而其他独立方程的列写方法与电阻电路的分析方法一样。,【例3-10】 图3-11所示电路起着减法器的作用，求输出电压u0与输入电压u1、u2之间的关系。,图 3-11,解 令同相端的电压为u+，反相端的电压为u，如图 3-11所示。应用理想运放两条规则：虚断i=i+=0； 虚短u=u+，则列节点电压方程如下： 【解题指南与点评】 分析计算含有理想运算放大器的电阻电路时，应把“虚断”、“虚短” 概念巧妙地运用到节点电压方程与回路电流方程等直流电流的分析方法中去。从输出电压u0与输入电压u1、u2之间关系式可知，该电路起着减法器的作用。,【例3-11】 含有运放的电阻电路如图3-12所示，试求： (1) Rin=，A； (2) Rin=，A=(理想运放) 两种情况下的开路电压u0，从电压源us两端看进去的输入电阻Ri及输出电阻Rout。,图 3-12,解 (1) Rin=，A，为非理想运放。 求开路电压u0。因为Rin=，所以i=0，i+=0，i1=i2，在图3-13中的1-2-4-1回路应用KVL，得 可得 (1),图 3-13,在回路1-3-4-2-1中应用KVL，得 (2) 联立式(1)、式(2)可得 (3), 求输入电阻Ri。将式(3)代入式(1)可得 于是有, 求输出电阻Rout。把独立源置零，在输出端口加电流源(注意，只能加电流源，理由请看分析结果) 后的电路如图3-14所示。对回路3-4-2-1-3应用KVL： (4) 对节点1应用KCL，得 i1=i2， i=0 (5) 对回路1-2-4-1应用KVL，得 -ud+R1i1=0 i+=0 (6),联立式(4)、(5)、(6)，可得 在 的情况下，有u0=0，由此可得输出电阻为 上述结果就是输出口加电流源is的原因。,图 3-14,(2) Rin=，A=(理想运放)时。 求开路电压u0。因为Rin=，所以i=0，i+=0，i1=i2(虚断)。 又因为A=，ud=0，u2=u1(虚短)，由此可得 u0=-R2i2， us=R1i1 于是 式中的“-”号表示u0与us反相，且u0与us成正比例，因此称图 3-13为反相输入比例器电路。 求输入电阻Rin。由us=R1i1，可得Rin=us/is=0 求输出电阻Rout。由图3-14可得u0=-R2i2=-R2i1， 在回路1-2-4-1中，i1=0，所以u0=0。由此可得输出电阻为Rout=u0/is=0。,【解题指南与点评】 本题的第(1)小题是非理想运算放大器应用于电路中的情况，利用Rin=这一条件可以推导出i=0，i+=0，即“虚断”同样适用；由于A，因此不能利用“虚短”，输入与输出之间关系式必须利用u0=Aud求解。本题的第(2)小题是理想运算放大器的电阻电路分析。通过理想与非理想运放的具体应用分析，有助于提高读者的分析能力。,【例3-12】 含有理想运放的电阻电路如图3-15所示，试求u0与us的关系式。,图 3-15,解 应用理想运放的虚断概念，则i=0，i+=0， i1=iC；应用理想运放的虚短概念，节点与节点的电压相等，即 un1=un2=0， u0=-uC 式中 又因为 ，所以,对于初始储能为零的电容，uC(0)=0，由此可得 即响应u0是激励us的积分。这表明图示电路能实现积分运算。式中“-”号是反相输入的。 【解题指南与点评】 由于电容C的存在，由uC与iC之间的积分关系，建立起响应u0与激励us的积分关系，从而实现反相输入积分器功能。,3.4 习题解答 3-1 用支路法求图3-16电路中的电流iR。 解 选节点1为独立节点，网孔为独立回路，设i1，i2是两个支路电流，回路的绕行方向如图中所示。节点1的KCL方程为 i1=i2+iR (1) 网孔2的KVL方程为 40i2+8010iR=0 (2) 对于网孔1，有 i1=2 A (3),(1)、(2)、(3)联立 解得 iR=0,图 3-16,3-2 用支路法求图3-17电路中的电流i。,图 3-17,解 选节点1为独立节点，网孔为独立回路，网孔的绕行方向如图中所示。节点1的KCL方程为 i1+i=i2 (1) 网孔1的KVL方程为 10i1-5i1-5=0 (2) 网孔2的KVL方程为 10i-5i1-25=0 (3) (1)、(2)、(3)联立得 i1=1 A， i=3 A， i2=4 A,3-3 用支路电流法计算图3-18电路中的支路电流i1、i2和i3。,图 3-18,解 选节点1为独立节点，网孔为独立回路，网孔的绕行方向如图中所示。节点1的KCL方程为 i1=i2+i3 (1) 网孔1的KVL方程为 3i1+45i2+2i1=40 (2) 网孔2的KVL方程为 4i3+1.5i3-45i2=64 (3) (1)、(2)、(3)联立求解，得 i1=9.8 A， i2=-0.2 A， i3=10 A,3-4 用节点分析法求图3-19所示电路中的u1和u2。,图 3-19,解 选节点3为参考节点，列出节点方程为 (1) (2) (1)、(2)联立得 解得,3-5 用节点分析法求图3-20所示电路中的i1和i2。,图 3-20,解 先将原电路等效为如图3-21所示。选节点2为参考节点，列出节点方程为 (1) 解得un1=18 V，则,图 3-21,3-6 用节点分析法求图3-22所示电路中的u1、u2和u3。,图 3-22,解 选节点1为参考节点，则 un3=u3， un2=u2， u1=u3-u2 列出节点方程为 化简得 解得 u2=-4 V， u3=20 V， u1=24 V,3-7 图3-23所示电路中，如果元件x是一个上端为正极的4 V独立电压源， 用节点分析法求电压u。,图 3-23,解 选节点4为参考节点，列出节点方程为 un1=4 V (1) (2) (3) un3-un1=24 V (4) 因为要求u，而u=un3-un2，所以只需求出un3、un2即可。式(1)、(2)、(3)、(4)联立，可解得 un1=4 V， un3=28 V， un2=8 V 从而 u=20 V,3-8 在上题图中，如果元件x是一个上端为正极等于5i的受控电压源，求u。 解 若x为5i的受控电压源，仍选节点4为参考节点，列出节点方程为 un1=5i (1) (2) (3) un3-un1=24 (4),辅助方程为 (5) 式(1)、(2)、(3)、(4)、(5)联立解得 un1=40 V un2=32 V un3=24+un1=64 V u=un3-un2=64-32=32 V,3-9 用节点分析法求图3-24所示电路中的i。,图 3-24,解 选节点3为参考节点，列出节点方程为 (1) (2) 辅助方程为 (3) (4) 式(1)、(2)、(3)、(4)联立解得 un1=14 V， un2=32 V， i=8 A,3-10 用节点分析法求图3-25所示电路中的u和i。,图 3-25,解 原电路等效为如图3-26所示的电路。选节点3为参考节点，列出节点方程为 (1) (2) 辅助方程为 un2-un1=8 V (3) 式(1)、(2)、(3)联立解得 un1=2 V， un2=10 V 所以,图 3-26,3-11 用节点分析法求图3-27所示电路中的uo。,图 3-27,解 选节点4为参考节点，列出节点方程为 un1=50 V (1) (2) (3) 辅助方程为 un3-un2=-0.2u1 (4) u1=un1-un2 (5) 式(1)、(2)、(3)、(4)、(5)联立解得 un2=30 V， un1=50 V， un3=26 V 所以 uo=un3=26 V,3-12 电路如图3-28所示，(1) 用节点分析法求独立源产生的功率；(2) 通过计算其他元件吸收的总功率检验(1)中的结果。,图 3-28,解 (1) 原电路等效为如图3-29所示电路。选节点3作为参考节点，列出节点方程如下： (1) (2) 辅助方程为 (3),图 3-29,式(1)、(2)、(3)联立得 解得 因而，5 A电流源产生功率为,(2) 其他元件吸收功率,3-13 用节点分析法计算图3-30所示电路中的uo值。,图 3-30,解 选节点4为参考节点，列出节点方程为 un1=4 (1) (2) (3) 辅助方程为 ux=un3-un1 (4) 式(1)、(2)、(3)、(4)联立，整理得 解得 un2=1.5 V， un3=9 V 所以 uo=1.5 V,3-14 用网孔分析法或回路分析法求出图3-31所示电路中的ig。,图 3-31,解 选定两个网孔的电流方向都为顺时针，列出网孔方程为 (2+6+4)im1-(6+4)im2=125 (1) -(6+4)im1+(6+4+13+12+15)im2=0 (2) 解得 im1=12.5 A， im2=2.5 A 所以 ig=im1=12.5 A,3-15 用网孔分析法或回路分析法求图3-32所示电路中4 电阻上消耗的功率。,图 3-32,解 三个网孔电流如图中所示，列出网孔方程如下： (1) 2im2-2im3=u1 (2) -4im1-2im2+(4+2+20)im3=0 (3) 辅助方程为 im2-im1=7 (4) u1=(im2-im3)2 (5),式(1)、(2)、(3)、(4)、(5)联立得 解得 im1=2 A， im2=9 A， im3=1 A 所以4 电阻消耗的功率为 (im1-im3) 24=4 W,3-16 用回路法求图3-33中的电流iR。,图 3-33,解 选择如图中所示三个回路电流，列出回路方程： (1) (2) (3) 式(1)、(2)、(3)联立得 (4) (5) (6),整理得 解得 从而,3-17 图3-34所示电路：(1) R=4 ；(2) R=12 ，用网孔法分别求两种情况时的i1和u。,图 3-34,解 网孔电流如图中所示，列出网孔方程如下： 4im1=-3+3i1 (1) Rim2=3-9 (2) i1=im1-im2 (3) 当R=4 时，解得 im1=1.5 A， im2=-1.5 A， i1=3 A， u=4im1=6 V 当R=12 时，解得 im1=-1.5 A， im2=-0.5 A， i1=-1 A， u=im14=-6 V,3-18 用网孔法求出图3-35所示电路中产生功率的元件，并求所产生的总功率。,图 3-35,解 网孔电流如图中所示，列出网孔方程为 im1(17.5+2.5+5)-5im2-2.5im3=0 (1) -5im1+(5+7.5)im2-7.5im3=125-50 (2) im3=0.2u1 (3) 辅助方程为 u1=(im2-im1)5 (4),式(1)、(2)、(3)、(4)联立得 解得 im1=3.6 A， im2=13.2 A， im3=9.6 A 可见，125 V电压源是产生功率元件，产生功