专题2--序列算子与灰色序列生成.ppt

专题2： 序列算子与灰色序列生成,南京航空航天大学灰色系统研究所,2010, 南京,问题,什么是序列算子? 为什么要提出序列算子? 序列算子的构造原理是什么?已有哪些序列算子? 如何应用序列算子?,主要内容,灰色系统理论是通过对原始数据的整理来寻求其变化规律的,这是一种就数据寻找数据的现实规律的途径,称之为灰色序列生成 一切灰色序列都可以通过某种生成弱化其随机性,显现规律性. 序列算子是处理数据的一种方法。,引言,例 河南省长葛县乡镇企业产值数据（1983-1986年）为 X = (10155,12588,23480,35388) 其增长势头很猛，1983-1986年每年平均递增51.6%，尤其是1984-1986年，每年平均递增67.7%，参与该县发展规划编制工作的各阶层人士（包括领导层、专家层、群众层）普遍认为该县乡镇企业产值今后不可能一直保持这么高的发展速度。用现有数据直接建模预测，预测结果人们根本无法接受。经过认真分析和讨论，大家认识到增长速度高主要是由于基数低，而基数低的原因则是过去对有利于乡镇企业发展的政策没有用足、用活、用好。要弱化序列增长趋势，就需要将对乡镇企业发展比较有利的现行政策因素附加到过去的年份中，为此引入二阶弱化算子，得到二阶缓冲序列 XD2 = (27260 , 29547 , 32411 , 35388) 用XD2建模预测得，1986-2000年该县乡镇企业产值每年平均递增9.4%，这一结果是1987年得到的，与“八五”后半期和“九五”期间该县乡镇企业发展实际基本吻合。,引言,原始数据与XD2数据曲线比较,引言,第二节 冲击扰动系统与序列算子,强化缓冲算子,弱化缓冲算子,定义2.2.1 设 为系统真实行为序列,而观测到的系统行为数据序列为: 其中, 为冲击扰动项,则称X为冲击扰动序列. 下面的讨论围绕一个总目标:由 展开,2.1 冲击扰动系统预测陷阱,定义2.2.2 设系统行为数据序列为 ,若 (1) , 则称 为单调增长序列； (2) 1中不等号反过来成立，则称 为单调衰减序列； (3) 存在 有 则称 为随机振荡序列。设 称 为序列 的振幅。,2.2 缓冲算子公理,2.2 缓冲算子公理,2.2 缓冲算子公理,定义2.2.3 设 为系统行为数据系列， 为作用于 的算子，经过算子 作用后所得序列记为 称 为序列算子，称 为一阶算子作用序列。 序列算子的作用可以进行多次，相应的，若 皆为序列算子，我们称 为二阶算子，并称 为二阶算子作用序列。同理称 为三阶序列算子，并称 为三阶算子作用序列，以此类推。,2.2 缓冲算子公理,公理2.2.1（不动点公理） 设 为系统行为数据系列， 为序列算子，则满足 不动点公理限定在序列算子作用下，系统行为数据序列中的数据 保持不变，即运用序列算子对系统行为数据进行调整，不改变 这一即成事实。 根据定性分析的结论，亦可使 以前的若干个数据在序列算子作用下保持不变。例如，令 其中，,2.2 缓冲算子公理,公理2.2.2（信息充分利用公理） 系统行为数据序列 中的每一个数据 都应充分的参与算子作用的全过程。 信息充分利用公理限定任何序列算子都应以现有的序列中的信息为基础进行定义，不允许抛开原始数据另搞一套。 公理2.2.3（解析化、规范化公理）任意的 ,皆可由一个统一的 的初等解析式表达。,2.2 缓冲算子公理,定义2.2.4 称上述三个公理为缓冲算子三公理，满足缓冲算子三公理的序列算子称为缓冲算子，一阶，二阶，三阶缓冲算子作用序列称为一阶，二阶，三阶缓冲序列。 定义2.2.5 设 为原始数据序列， 为缓冲算子，当 分别为增长序列、衰减序列或振荡序列时： (1) 若缓冲序列 比原始序列 的增长速度（或衰减速度）减缓或振幅减小，我们称缓冲算子 为弱化算子； (2) 若缓冲序列 比原始序列 的增长速度（或衰减速度）加快或振幅增大，则称缓冲算子 为强化算子。,2.3 缓冲算子的性质,定理2.2.1 设 为单调增长序列， 为其缓冲序列，则有 (1) 为弱化算子 (2) 为强化算子 即单调增长序列在弱化算子作用下数据膨胀，在强化算子作用下数据萎缩。 证明：设 为原始数据序列 中 到 的增长率。 为缓冲序列 中 到 的增长率。,2.3 缓冲算子的性质,若 为弱化算子，则 ，即 ，于是 ，即 ，反之亦然。 若 为强化算子，则 ，即 ，于是 ，即 ，反之亦然。,2.3 缓冲算子的性质,定理2.2.2 设 为单调衰减序列， 为其缓冲序列，则有 (1) 为弱化算子 (2) 为强化算子 即单调衰减序列在弱化算子作用下数据萎缩，在强化算子作用下数据膨胀。 定理2.2.3 设 为振荡序列， 为其缓冲序列，则有 (1) 若 为弱化算子，则 (2) 若 为强化算子，则,2.4 实用缓冲算子的构造,定理 2.2.4 设原始数据序列和缓冲序列分别为 其中 则当 为单调增长序列、单调衰减序列或振荡序列时， 皆为弱化算子。并称 为平均弱化缓冲算子(AWBO) 。 推论2.2.1 对于定理2.2.4中定义的弱化算子 ，令 则对于单调增长、单调衰减或振荡序列， 皆为二阶弱化算子。,2.4 实用缓冲算子的构造,2.4 实用缓冲算子的构造,定理 2.2.5 设原始数据序列和缓冲序列分别为 其中 则当 为单调增长序列和单调衰减序列时， 皆为强化算子。 推论2.2.2 对于定理2.2.5中定义的强化算子 ，令 则对于单调增长、单调衰减序列， 皆为二阶强化算子。,2.4 实用缓冲算子的构造,定理2.2.6 设 ,令 其中 则 对单调增长序列为强化算子， 对单调衰减序列为强化算子。 推论2.2.3 对于定理2.2.6中定义的 ，则 ， 分别为单调增长、单调衰减序列的二阶强化算子。,2.4 实用缓冲算子的构造,定理 2.2.7 设原始数据序列和缓冲序列分别为 其中 则当 为单调增长序列、单调衰减序列或振荡序列时， 皆为弱化算子。并称 为加权平均弱化缓冲算子(WAWBO) 。 证明:这里只证明单调增长序列的情况，对单调衰减序列和振荡序列类似可以证明。 为单调增长序列，则 因此 ；所以， 为弱化算子。,2.4 实用缓冲算子的构造,定理 2.2.8 设原始数据序列和缓冲序列分别为 其中 则当 为单调增长序列、单调衰减序列或振荡序列时， 皆为弱化算子。并称 为几何平均弱化缓冲算子(GAWBO) 。 证明 容易验证， 满足缓冲算子三公理，因而 为缓冲算子。 (1) 当为单调增长序列时，因为 所以当 为单调增长序列时， 为弱化缓冲算子。 (2)同理，当 为单调衰减序列或振荡序列时， 皆为弱化算子。,2.4 实用缓冲算子的构造,例2.2.2 南京市农林牧渔总产值数据（19961999）为（亿元） 增长速度十分缓慢，平均每年的增长率仅为2.4%，这与整个国民经济快速增长的大环境是不相适应的，长期发展下去，必将导致产业结构发展不平衡，影响国民经济的可持续增长，因此，为了能够及时准确地把握经济发展趋势，对经济的发展作科学合理的预测，必须对缓慢增长的数据加以处理，使其符合今后的发展趋势，在此基础上进行合理的预测.对数据序列进行二阶强化，得出二阶缓冲序列数据为 建立GM(1,1)模型为 时间响应式为,2.4 实用缓冲算子的构造,根据上式，计算模拟结果并列拟合效果表和预测效果表如下。 由表2.2.1和表2.2.2可以看出，应用强化缓冲算子作用后的数据建模能够取得良好的模拟效果和预测效果.,第三节 均值生成算子,第三节 均值生成算子,在搜集数据时，常常出现空缺或者异常值。均值生成是常用的构造新数据、填补老序列空穴、生成新序列的方法。 定义2.3.1 设序列 与 为 的一对紧邻值， 称为前值， 称为后值，若 为新信息，则对任意 ， 称为老信息。 定义2.3.2 设序列 在 处有空穴，记为 ，即 则称 和 为 的界值， 为前界， 为后界，当 由 与 生成时，称生成值为 的内点,第三节 均值生成算子,定义2.3.3 设 和 为序列 中的一对紧邻值，若有 (1) 为老信息， 为新信息； (2) 则称 为由新信息和老信息在生成系数（权） 下的生成值，当 时，称 的生成是“重新信息、轻老信息”生成；当 时，称 的生成是“重老信息、轻新信息”生成；当 时，称 的生成是非偏生成。,第三节 均值生成算子,定义2.3.4 设序列 为在 处有空穴 的序列，而 为非紧邻均值生成数，用非紧邻均值生成数填补空穴所得的序列称为非紧邻均值生成序列。 当 为新信息时，非紧邻均值生成是新老信息等权生成。在信息缺乏难以衡量新老信息对 的影响程度时，采用等权生成。 定义2.3.5 设序列 ，若 则称 为紧邻均值生成数。由紧邻均值生成数构成的序列称为紧邻均值生成序列。,第四节 光滑比生成和级比生成,1. 光滑比生成 光滑比定义 准光滑序列,2.级比生成 级比定义,相互关系如何?,第四节 光滑比生成和级比生成,定义2.4.1 称 为序列 的光滑比。 光滑比从反映序列的光滑性，即用序列中第 个数据与其前 个数据之和 的比值 来考察序列 中数据变化是否平稳。 显然，序列 中的数据变化越平稳，其光滑比 越小。 定义2.4.2 若序列满足 (1) (2) (3) 则称为准光滑序列。,第四节 光滑比生成和级比生成,当序列的起点 和终点 为空穴，即 时，我们无法采用均值生成填补空缺，只有转而考虑别的方法。级比生成就是常用的填补序列端点空穴的方法。 定义2.4.3 设序列 ，则称 为序列 的级比。 定义2.4.4 设 为端点是空穴的序列： 若用 右邻的级比生成 ，用 左邻的级比生成 , 则称 和 为级比生成；按级比生成填补空穴所得的序列称为级比生成序列。,第四节 光滑比生成和级比生成,命题2.4.1 设 是端点为空穴的序列，若采取级比生成，则 命题2.4.2 级比 与前面定义的光滑比有下列关系 命题2.4.3 若 为递增序列，且有 (1)对于 (2)对于 即光滑比递减，则对指定的实数 ，当 时，必有,第四节 光滑比生成和级比生成,例 2.4.1 设序列 ,则对于 ,满足 。 对于 ,满足 当 时， ，,第五节 累加生成算子与累减生成算子,定义2.5.1设 为原始序列 , 为序列算子 ,其中 则称 为 的一次累加生成算子，称 阶算子 为 的 次累加生成算子，记为 ,习惯上，我们记 其中,第五节 累加生成算子与累减生成算子,定义2.5.2设 为原始序列 , 为序列算子 ,其中 则称 为 的一次累减生成算子。 阶算子 为 的 次累减生成算子。我们记 其中 定理2.5.1累减生成算子是累加生成算子的逆算子，即 鉴于累减过程与累加过程互逆，将累减生成算子记为 。,累加生成,累减生成,第五节 累加生成算子与累减生成算子,第六节 累加生成的灰指数律,一般的非负准光滑序列经过累加生成后，都会减少随机性，呈现出近似的指数增长规律。原始序列越光滑，生成后指数规律也越明显，如某市自行车销售量数据序列 和其一次累加生成序列 的曲线分别如图2.6.1和图2.6.2所示。,第六节 累加生成的灰指数律,定义2.6.1 设连续函数为 则当 (1) 时，称 为齐次指数函数； (2) 时，称 为非齐次指数函数。 定义2.6.2设序列 ，若对于 (1) ,则 称为齐次指数序列； (2) ,则称 为非齐次指数序列；,第六节 累加生成的灰指数律,定理2.6.1 为齐次指数序列的充分必要条件是，对于 恒有 成立。 证明 ：设对任意 ,则 ：再设对任意 , 则,第六节 累加生成的灰指数律,定义2.6.3设序列 ，若 (1) ，则称序列 具有负的灰指数规律； (2) ，则称序列 具有正的灰指数规律 (3) ，则称序列 具有绝对灰度为 的灰指数规律； (4) 时，称 具有准指数规律。 定理2.6.2设 为