《高数总复习》PPT课件.ppt

微积分(下)总复习,1.二次曲面的特点(如旋转曲面方程的特点). 2.多元函数,偏导数和全微分,方向导数存在性及其之间的关系,计算方法. 3.一个方程所确定的隐函数的偏导数(含抽象函数的二阶偏导). 4.方向导数,梯度. 5.多元微分学的应用:几何应用,极值(含条件极值) 6.二重积分和三重积分(利用柱面坐标和球面坐标)的计算,交换积分次序,重积分的应用(体积等),7.曲线积分的计算,格林公式,曲线积分与路径无关的条件,全微分求积. 8.曲面积分的计算及高斯公式. 9.无穷级数的敛散性,绝对收敛,条件收敛. 10.幂级数的收敛域及和函数,函数展开成幂级数 11.傅立叶级数的收敛定理. 12.一阶微分方程(常见类型),二阶常系数线性微分方程求解.,期末答疑安排：,十八周周一-周五(6月23日-6月27日),时间：9：00-11：00，3：00-5：00,地点：新一教B座2楼教员休息室,向量的 线性运算,向量的 表示法,向量积,数量积,向量的积,向量概念,(一)向量代数,第七章、空间解析几何与向量代数,直 线,曲面,曲线,平 面,参数方程,旋转曲面,柱 面,二次曲面,一般方程,参数方程,一般方程,对称式方程,点法式方程,一般方程,空间直角坐标系,(二)空间解析几何,平面点集 和区域,多元函数 的极限,多元函数 连续的概念,极 限 运 算,多元连续函数 的性质,多元函数概念,第八章、多元函数,全微分 的应用,高阶偏导数,隐函数 求导法则,复合函数 求导法则,全微分形式 的不变性,微分法在 几何上的应用,方向导数,多元函数的极值,全微分 概念,偏导数 概念,定 义,几何意义,性 质,计算法,应 用,二重积分,第九章、二重积分,分割,加细,求极限,曲顶柱体体积,6条,化为二次积分,曲面面积,质心,惯量,定 义,几何意义,性 质,计算法,应 用,三重积分,第九章、三重积分,分割,加细,求极限,三维空间体的质量,6条,化为三次积分,质量,质心,惯量,引力,常数项级数,函数项级数,一 般 项 级 数,正 项 级 数,幂级数,收 敛 半 径 R,数或函数,函 数,数,任 意 项 级 数,泰勒展开式,泰勒级数,第十一章、无穷级数,基本概念,一阶方程,类 型 1.直接积分法 2.可分离变量 3.齐次方程 4.全微分方程 5.线性方程,6.伯努利方程,二阶常系数线性 方程解的结构,特征方程的根 及其对应项,f (x)的形式及其 特解形式,待定系数法,特征方程法,第十二章、微分方程,1.二次曲面的特点(如旋转曲面方程的特点).,球面,椭球面,椭圆抛物面,双曲抛物面(马鞍面),单叶双曲面,双叶双曲面,椭圆锥面,利用二次曲线得到旋转曲面或柱面,在微积分的微分法的几何应用中取到二次曲面,在重积分,曲线曲面积分中取到二次曲面,2.多元函数,偏导数和全微分,方向导数存在性及其之间的关系,计算方法.,例 练习册p.112 五题, 模拟题(一)二题3,3.一个方程所确定的隐函数的偏导数(含抽象函数的二阶偏导).,例 模拟题(一)三题1题,模拟题(二)三题1题, 06-07年试题三题3题.,两边对x求导,得,4.方向导数,梯度.,方向导数,三元函数 f(x,y,z),梯度,例 06-07年试题一题3题,5多元微分学的应用:几何应用,极值(含条件极值),空间曲线的切线与法平面,曲面的切平面与法线,空间向量的平行与垂直的判定,空间曲线用参数方程,一般方程表示时各自的切向量的表示法,空间曲面用隐式方程,显式方程表示时各自的法向量的表示法,模二二题2,五题1;06-07试题六题1,多元函数的极值,最值的求法,多元函数的条件极值,最值的求法,将所有驻点与边界上的驻点求出来,应用题: 分析条件,构造数学表达式,求解表达式, 回答原问题,模一四题1,模二五题1,06-07试题五题1,6.二重积分和三重积分(利用柱面坐标和球面坐标)的计算,交换积分次序,重积分的应用(体积等),直角坐标,首先画出积分区域D,然后正确选择积分次序.,Y-型,X-型,极坐标, 画出积分域, 确定积分序, 写出积分限, 计算要简便,积分域分块要少,二次积分好算为妙,图示法,不等式,(先积一条线,后扫积分域),充分利用对称性与奇偶性,计算步骤及注意事项,方法1.投影法(“先一后二”),方法2.截面法(“先二后一”),方法3.三次积分法,三重积分,柱面坐标的体积元素,球面坐标的体积元素,直角坐标,具体方法:画图, 确定各个边界在新坐标系下的表示,确定各个坐标量的取值范围(用直线或射线扫过被积区域),注意各类二次曲面的柱面坐标和球面坐标表达式,7.曲线积分的计算,格林公式,曲线积分与路径无关的条件,全微分求积.,格林公式,曲线积分与路径无关,模一三3,模二四1,06-07一4,一定是封闭曲面才能用高斯公式,设光滑曲面,取上侧,取下侧,高斯公式,8.曲面积分的计算及高斯公式.,例 模拟题(一)三题4,模拟题(一)四题2,9.无穷级数的敛散性,绝对收敛,条件收敛.,正 项 级 数,任意项级数,审 敛 法,1.,2.,4.充要条件,5.比较法,6.比值法,7.根值法,4.绝对收敛,5.交错级数 (莱布尼茨定理),3. 按基本性质;,模一五1,模二六1,06-07六2,10.幂级数的收敛域及和函数,函数展开成幂级数,利用常见展开式,通过变量代换, 四则运算,恒等变形,逐项求导,逐项积分等方法,求展开式.,间接法,11. 傅立叶级数的收敛定理: 非连续点上的级数的值,求收敛半径,几类基本幂级数,模一一4,模二一4,06-07二5,狄利克雷(Dirichlet)充分条件(收敛定理),设 f (x) 是周期为2的周期函数,并满足:,狄利克雷条件,1)在一个周期内连续或只有有限个第一类间断点;,2)在一个周期内只有有限个极值点,则 f (x) 的傅里叶级数收敛,且有,