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3.3 积分变换法举例,积分变换的某些作用:,通过积分变换可将未知函数的常微分方程化成象 函数的代数方程,达到了消去对自变量求导数运算的 目的。,积分变换法也能用于解偏微分方程,在偏微分方程 两端对某个变量取变换就能消去未知函数对该自变 量求偏导数的运算,得到象函数的较为简单的微分方 程。,例1 无界杆上的热传导问题,解:归结为求解下列定解问题,其中,方程的特点:非齐次 ,求解的区域又是无界。,两个记号:,对方程(3.35)的两端取关于x的Fourier变换,由Fourier变换的微分性质:,得到,为导出方程(3.37)的定解条件,(3.37),对条件(3.36)式的两端也取x的Fourier变换:,(3.38),方程(3.37)是一阶线性常微分方程,它满足边界条件 (3.38)的解为,(3.39),由Fourier变换表可查得,再根据Fourier变换的卷积性质得,例2 半无限长的杆上的热传导问题,一条半无限长的杆,端点温度变化情况为已知,杆的 初始温度为0,求杆上温度的分布规律。,解:归结为求解下列定解问题,不能用Fourier变换,因为,用Laplace变换求解。,对x还是t取Laplace变换?,记号,对上式两端同时取关于t的Laplace变换,得,即,在对上式关于t取Laplace变换,得,即,通解为,从而,关于p取Laplace逆变换,由Laplace变换表查得,,再根据Laplace变换的微分性质得,最后由Laplace变换的卷积性质得,用积分变换法解定解问题的过程大体为:,一、根据自变量的变化范围以及定解条件的具体情况, 选取适当的积分变换。然后对方程的两端取变换,把 一个含有两个自变量的偏微分方程化为含一个产量的 常微分方程。,二、对定解条件取相应的变换,导出新方程的定解条件。,三、解所得的常微分方程,求得原定解问题解的变换式 (即象函数)。,四、对所得的变换式取逆变换,得到原定解问题的解。,取Laplace变换,必须在定解条件中给出该自变量等于零时的函数值及有关导数值。,定解条件中哪些需要取变换,那些不需要取变换。这个问题很容易解决,凡是
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