《平面向量的数量积》PPT课件.ppt

4.3 平面向量的数量积 基础知识 自主学习 要点梳理 1.平面向量的数量积 已知两个非零向量a和b，它们的夹角是，则 数量 叫做向量a和b的数量积 （或内积），记作 . 规定：零向量与任一向量的数量积为 . 两个非零向量a与b垂直的充要条件是 ， 两个非零向量a与b平行的充要条件是 .,|a|b|cos ,ab=|a|b|cos ,0,ab=0,ab=|a|b|,2.平面向量数量积的几何意义 数量积ab等于a的长度|a|与b在a方向上的投 影 的乘积. 3.平面向量数量积的重要性质 （1）ea=ae= ； （2）非零向量a，b，ab ； （3）当a与b同向时，ab= ； 当a与b反向时，ab= , aa= ，|a|= ; （4）cos = ； （5）|ab| |a|b|.,|b|cos ,a2,-|a|b|,|a|cos ,ab=0,|a|b|,4.平面向量数量积满足的运算律 （1）ab= （交换律）； （2）（a）b= = （为实数）； （3）（a+b）c= . 5.平面向量数量积有关性质的坐标表示 设向量a=（x1，y1），b=（x2，y2），则 ab= ，由此得到 （1）若a=（x，y），则|a|2=x2+y2或|a|= . （2）设A（x1，y1），B（x2，y2），则A、B两点 间的距离|AB|=|AB|= . （3）设a=（x1，y1），b=（x2，y2），则ab .,ba,ab,ab,ac+bc,x1x2+y1y2,x1x2+y1y2=0,基础自测 1.已知a=(2,3),b=(-4,7),则a在b方向上的投影为 . 解析 设a和b的夹角为，|a|cos 2.（2009常州市武进区四校高三联考）已知向 量a=(2,1),b=(3,) (0),若(2a-b)b,则 = .,3,3.(2008浙江理)已知a、b是平面内两个互相垂 直的单位向量，若向量c满足（a-c）（b-c） =0，则|c|的最大值是 . 解析 由于(a-c)(b-c)=0,并且ab=0; 所以cc=(a+b)c 即|c|2=(a+b)c=|c|a+b|cosa+b,c, 即|c|= cosa+b,c,当cosa+b,c=1 时,|c|取得最大值为 . 4.（2009全国改编）已知向量a=(2,1), ab =10,|a+b|=5 ，则|b|= . 解析 |a+b|2=a2+2ab+b2=5+20+b2=50, b2=25,|b|=5.,5,典型例题 深度剖析 【例1】（1）在RtABC中，C=90，AB=5， AC=4，求ABBC. （2）若a=(3,-4),b=(2,1),试求(a-2b) (2a+3b). 向量的数量积有两种计算方法，一是依 据长度与夹角来计算，二是依据坐标来计算.具 体应用时可根据已知条件的特征来选择，本题 （1）中两向量AB、BC的长度及夹角容易求得， 故可用公式ab=|a|b|cos 来求解.而（2） 中向量a、b的坐标已知，可求a2、b2、ab，也 可求a-2b与2a+3b的坐标，进而用（x1,y1） (x2,y2)=x1x2+y1y2来求解.,分析,解 （1）在ABC中，C=90，AB=5，AC=4，故BC=3，且cosABC= ,AB与BC的夹角=-ABC, ABBC=-|AB|BC|cosABC=-53 =-9. (2)a-2b=(3,-4)-2(2,1)=(-1,-6), 2a+3b=2(3,-4)+3(2,1)=(12,-5), (a-2b)(2a+3b)=(-1)12+(-6)(-5)=18.,跟踪练习1 已知向量a=(cos x,sin x), b=(cos , -sin )，且 （1）求ab及|a+b|; （2）若f(x)=ab-|a+b|,求f(x)的最大值和最小 值. 解 （1）ab=cos xcos -sin xsin =cos 2x, a+b=(cos +cos ,sin x-sin ) |a+b|= cos x0,|a+b|=2cos x.,(2)由（1）可得f(x)=cos 2x-2cos x=2cos2x- 2cos x-1=2（cos x- ）2- . cos x1， 当cos x= 时，f(x)取得最小值为- ； 当cos x=1时，f(x)取得最大值为-1.,【例2】已知a=(cos ,sin ),b=(cos , sin )(0). （1）求证：a+b与a-b互相垂直； （2）若ka+b与a-kb的模相等，求-.(其中k 为非零实数) （1）a+b,a-b可分别用坐标表示出来，要 证垂直，只需证(a+b)(a-b)=0. （2）由|ka+b|=|a-kb|得到cos(-)的值，再 由-的范围确定-的值. （1）证明 (a+b)(a-b)=a2-b2=|a|2-|b|2 =(cos2+sin2)-(cos2+sin2)=0, a+b与a-b互相垂直.,分析,（2）解 ka+b=(kcos +cos ,ksin + sin ), a-kb=(cos -kcos ,sin -ksin ), |ka+b|= |a-kb|= |ka+b|=|a-kb|, 2kcos(-)=-2kcos(-). 又k0,cos(-)=0. 而0,-= .,跟踪练习2 已知平面内A、B、C三点在同一条直 线上，OA=（-2，m），OB=（n，1），OC= （5，-1），且OAOB，求实数m,n的值. 解 由于A、B、C三点在同一条直线上，则 ACAB， AC=OC-OA=（7，-1-m）， AB=OB-OA=（n+2，1-m）， 7（1-m）-（-1-m）（n+2）=0， 即mn+n-5m+9=0, 又OAOB，-2n+m=0. m=6 m=3 n=3 n= .,或,联立，解得,【例3】（2009全国理改编）设a、b、c是单 位向量，且ab=0,则（a-c）（b-c）的最小 值为 . 解析 ab=0,且a,b,c均为单位向量， a+b= ,|c|=1. (a-c)（b-c）=ab-(a+b)c+c2. 设a+b与c的夹角为, 则（a-c）（b-c）=1-|a+b|c|cos =1- cos . 故(a-c)（b-c）的最小值为1- .,跟踪练习3 已知a= b= （1）求 的最值； （2）若|ka+b|= |a-kb| (kR),求k的取值范围. 解 （1）ab= |a+b|2=|a|2+|b|2+2ab=2+2cos 2 =4cos2. |a+b|=2cos . ,（2）由题设可得|ka+b|2=3|a-kb|2, （ka+b）2=3（a-kb）2 又|a|=|b|=1,ab=cos 2，cos 2=,【例4】（14分）设两个向量e1,e2满足|e1|=2, |e2|=1,e1与e2的夹角为式 ,若向量2te1+7e2与 e1+te2的夹角为钝角，求实数t的范围. 由公式cos = 可得若为钝角， 则cos 0,即ab0，从而可求出t的取值范 围，同时要注意共线反向，即=这一情况. 解题示范 解 由向量2te1+7e2与e1+te2的夹角为钝角， 即(2te1+7e2)(e1+te2)0,分析,化简即得2t2+15t+70, 解得-7t- , 6分 当夹角为时， 也有(2te1+7e2)(e1+te2)0, 但此时夹角不是钝角，2te1+7e2与e1+te2反向. 10分 设2te1+7e2=(e1+te2),0, 14分,跟踪练习4 设n和m是两个单位向量，其夹角是 60，求向量a=2m+n与b=2n-3m的夹角. 解 由|m|=1，|n|=1，夹角为60，得 mn= . 则有|a|=|2m+n|= |b|= 而ab=（2m+n）（2n-3m）=mn- 6m2+2n2=- 设a与b的夹角为， 则cos = 又0180, 故a与b的夹角为120.,思想方法 感悟提高 高考动态展望 新课标强调向量的工具性作用，尤其是数量积与三角函数的综合应用已经成为近几年高考的趋势，一般地，在向量与三角函数的综合题中，向量的作用是经过向量的坐标运算给出三角函数的等式或解析式，尤其是化归成y=Asin(x+)型的函数，考查其单调性、周期性、最值等性质.,方法规律总结 1.数量积ab中间的符号“”不能省略，也不 能用“”来替代. 2.要熟练类似 （a+b)(sa+tb)=sa2+(t+s)ab+tb2 的运算律（、s、tR）. 3.求向量模的常用方法：利用公式|a|2=a2,将模的 运算转化为向量的数量积的运算. 4.一般地，（ab）c(bc)a即乘法的结合律 不成立.因ab是一个数量，所以(ab)c表示 一个与c共线的向量，同理右边（bc）a表示 一个与a共线的向量，而a与c不一定共线，故一 般情况下（ab）c(bc)a.,定时检测 一、填空题 1.（2010常州模拟）向量a=(cos 15, sin 15),b=(-sin 15,-cos 15),则|a-b| 的值是 . 解析 由题设，|a|=1,|b|=1, ab=-sin(15+15)=- . |a-b|2=a2+b2-2ab=1+1-2（- ）=3. |a-b|= .,2.（2009浙江温州十校联考）在边长为1的正三 角形ABC中，设BC=a，AB=c，AC=b，则 ab+bc+ca= . 解析 如图所示，a+c=b， ab+bc+ca =b（a+c）+ac=b2+ac =1+|a|c|cosa，c =1+cos 120= .,3.（2010广东韶关一中模拟）若向量a,b满足 |a|=1,|b|=2,a与b的夹角为60,则ab+bb 的值为 . 解析 ab+bb=|a|b|cos 60+|b|2 =12 +4=5. 4.(2009重庆改编)已知|a|=1,|b|=6,a(b- a)=2，则向量a与b的夹角是 . 解析 a(b-a)=ab-a2=2,ab=2+a2=3 cosa，b= a与b的夹角为 .,5,5.（2009福建福州期末）若a与b-c都是非零向 量，则“ab=ac”是“a（b-c）”的 条件. 解析 若a（b-c），则a（b-c）=0 ab-ac=0ab=ac.,充要,6.（2010天津六校联考）点O是三角形ABC所在 平面内的一点，满足OAOB=OBOC=OC OA，则点O是ABC的 心. 解析 由OAOB=OBOC， 得OBOA-OBOC=0,即OB（OA-OC）=0, OBCA=0，OBCA. 同理可得OABC,OCAB. O是三角形三条高线的交点.,垂,7.（2008江西理，13）直角坐标平面内三点 A（1，2）、B（3，-2）、C（9，7），若E、 F为线段BC的三等分点，则AEAF= . 解析 BC=(6,9), BE= BC=(2,3),BF= BC=(4,6). 又AB=(2,-4), AE=AB+BE=(4,-1),AF=AB+BF=(6,2), AEAF=46+(-1)2=22.,22,8.（2009辽宁改编）平面向量a与b的夹角为 60，a=（2，0），|b|=1,则|a+2b|= . 解析 a=(2,0),故|a|=2，|a+2b|= = ab=|a|b|cos 60=1, |a+2b|=,9.（2009陕西改编）在ABC中，M是BC的中 点，AM=1，点P在AM上且满足AP=2PM，则 PA（PB+PC）= . 解析 M是BC的中点，则 PA（PB+PC）=PA2PM=PAAP=-（PA）2,二、解答题 10.（2010山东临沂一模）向量a=(cos 23, cos 67),向量b=(cos 68,cos 22). (1)求ab； （2）若向量b与向量m共线，u=a+m,求u的模的 最小值. 解 （1）ab=cos 23cos 68+ cos 67cos 22 =cos 23sin 22+sin 23cos 22 =sin 45=,（2）由向量b与向量m共线， 得m=b (R）， u=a+m=a+b =(cos 23+cos 68,cos 67+cos 22) =（cos 23+sin 22，sin 23+ cos 22）， |u|2=(cos 23+sin 22)2+(sin 23+ cos 22)2,11.（2010浙江台州月考）已知平面上三个向量 a、b、c的模均为1，它们相互之间的夹角均为 120. (1)求证：（a-b）c; (2)若|ka+b+c|1 (kR)，求k的取值范围. （1）证明 （a-b）c=ac-bc =|a|c|cos 120-|b|c| cos 120=0, （a-b）c.,（2）解 |ka+b+c|1|ka+b+c|21, k2a2+b2+c2+2kab+2kac+2bc1. |a|=|b|=|c|