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文档简介
2.2.1椭圆及其标准方程(一),东莞中学松山湖学校 刘建军,问题:,(1)平面内到定点的距离等于定长的点的轨迹是什么呢?,(2) 平面内到两定点的距离之和等于定长的点的轨迹又是 什么呢?,数 学 实 验,同学们一起观察以下操作: 在图板上,将一根无弹性细绳的两端用图钉固定,一支 铅笔的笔尖沿细绳运动,能得到什么图形?,反 思,(1)在画出一个椭圆的过程中,细绳的两端的位置是固定的还是运动的? (2)在画椭圆的过程中,绳子的长度变了没有?说明了什么? (3)在画椭圆的过程中,绳子长度与两定点距离大小有怎样的关系?,结合实验以及“圆的定义”,思考讨论一下应该 如何定义椭圆?它应该包含几个要素?,(1)在平面内,(2)到两定点F1,F2的距离等于定长2a,(3)定长2a|F1F2|,反思:,平面上到两个定点的距离的和(2a)等于定长(大于|F1F2 |)的点的轨迹叫椭圆。 定点F1、F2叫做椭圆的焦点。 两焦点之间的距离叫做焦距(2c)。,椭圆定义的文字表述:,椭圆定义的符号表述:,一、椭圆的定义,F1,F2,M,二、如何得到椭圆曲线的方程?,问题1:(1) 求曲线方程的基本步骤?,(2) 如何建立适当的坐标系?,O,x,y,方案一,O,x,y,方案二,(1)建系设点;,(2)写出点集;,(3)列出方程;,(4)化简方程;,(5)证明(可省略)。,(2) 如何建立适当的坐标系?,o,x,y,方 案 一,o,x,y,方 案 二,o,x,y,方 案 三,o,x,y,方 案 四,(1)建系设点:,(2)写出点集:,(3)列出方程:,(4)化简方程:,问题2:求曲线方程的步骤是什么?(以方案一为例),O,x,y,F1,F2,M,方案一,以F1F2所在直线为x轴,F1F2的中点为原点 建立平面直角坐标系,,设M(x,y)为所求轨迹上的任意一点,,则焦点F1、F2的坐标分别为(-c,0)、(c,0)。,O,x,y,F1,F2,M,如图所示:F1、F2为两定点,且 |F1F2|=2c,求平面内到两定点 F1、F2距离之和为定值2a(2a2c) 的动点M的轨迹方程。,解:以F1F2所在直线为x轴,F1F2的中点为原点建立平面 直角坐标系,则焦点F1、F2的坐标分别为(-c,0)、(c,0)。,(-c,0),(c,0),(x,y),设M(x,y)为所求轨迹上的任意一点,,则椭圆就是集合P=M|MF1|+ |MF2|=2a,如何化简?,O,x,y,F1,F2,M,(-c,0),(c,0),(x,y),即:(a2-c2)x2+a2y2=a2(a2-c2),因为2a2c0,即ac0,所以a2-c20,,(ab0),两边同除以a2(a2-c2)得:,P,那么式就是,O,x,y,F1,F2,M,O,x,y,F1,F2,M,椭圆的标准方程,焦点,焦点,Y,椭圆的标准方程的再认识:,(1)椭圆标准方程的形式:左边是两个分式的平方和,右边是1,(3)椭圆的标准方程中三个参数a、b、c满足a2=b2+c2。,(4)由椭圆的标准方程可以求出三个参数a、b、c的值。,(2)椭圆的标准方程中,x2与y2的分母哪一个大,则焦点在哪 一个轴上。,例1、填空: (1)已知椭圆的方程为: ,则a=_,b=_,c=_,焦点坐标为:_焦距等于_;若CD为过左焦点F1的弦,则F2CD的周长为_,三.例题精析,5,4,3,(3,0)、(-3,0),6,0,判断椭圆标准方程的焦点在哪个轴上的准则: 焦点在分母大的那个轴上。,|CF1|+|CF2|=2a,(2)已知椭圆的方程为: ,则 a=_,b=_,c=_, 焦点坐标为:_,焦距 等于_; 若曲线上一点P到左焦点F1的距离为3,则 点P到另一个焦点F2的距离等于_, 则F1PF2的周长为_,2,1,(0,-1)、(0,1),2,P,|PF1|+|PF2|=2a,例2、求满足下列条件的椭圆的标准方程:,(1)两焦点的坐标分别是(-4,0)、(4,0), 椭圆上一点P到两焦点距离之和等于10。,(2)两焦点的坐标分别是(-2,0)、(2,0), 且椭圆经过点P 。,(1)两焦点的坐标分别是(-4,0)、(4,0),椭圆上一点P到两焦点距离之和等于10。,解:因为椭圆的焦点在X轴上,所以可设它的方程 为:,2a=10,2c=8,即 a=5,c=4,故 b2=a2-c2=52-42=9,所以椭圆的标准方程为:,(2) 已知椭圆的两个焦点坐标分别是(-2,0), (2,0), 并且经过点 .,解法一:因为椭圆的焦点在x轴上,所以设它的标准方程为,由椭圆的定义知,所以,又因为 ,所以,因此, 所求椭圆的标准方程为,(2) 已知椭圆的两个焦点坐标分别是(-2,0), (2,0), 并且经过点 .,解法二:因为椭圆的焦点在x轴上,所以设它的标准方程为,联立,因此, 所求椭圆的标准方程为,求椭圆标准方程的解题步骤:,(1)确定焦点的位置;,(2)设出椭圆的标准方程;,(3)用待定系数法确定a、b的值, 写出椭圆的标准方程.,又焦点的坐标为,1.判定下列椭圆的焦点在哪个轴,并指明a2、b2,写出焦点坐标,答:在 X 轴。(-3,0)和(3,0),答:在 y 轴。(0,-5)和(0,5),答:在y 轴。(0,-1)和(0,1),判断椭圆标准方程的焦点在哪个轴上的准则: 焦点在分母大的那个轴上。,四.课堂练习,(2)求适合下列条件的椭圆的标准方程: a=4,b=1,焦点在x轴上; ,焦点在Y轴上; a+b=10, 。,2.(1)动点P到两个定点F1(- 4,0)、F2(4,0)的距离之和为8,则P点的轨迹为 ( )
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