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第四章第四章 数字滤波器的原理和设计方法课后习题答案数字滤波器的原理和设计方法课后习题答案 4.1 一个离散时间系统由下列差分方程表示： 311 ( )(1)(2)( )(1) 483 y ny ny nx nx n+=+ 画出实现该系统的方框图。 (1) 画出该系统的信号流程图。 解 图 4.1（a）和（b）所示的分别是该系统的方框图和流程图。 ( )x n ( )y n 3/4 1/8 + （a） ( )x n ( )y n 1 z 3/4 1 z -1/8 (b) 4.2 试求出图 P4.2 所示的两个网络的系统函数，并证明它们具有相同的极点。 ( )x n ( )y n 1 z 2 cosr 2 r 1 z 网络 1 z 1 z ( )x n cosr 1 z sinr sinr ( )y n cosr 1 z 网络 解 网络：根据信号流程图写出差分方程 2 ( )2 cos(1)(2)( )y nry nr y nx n=+ 由差分方程得系统函数 1 121 ( )1 ( ) ( )1 2 cos Y z H z X zrzrz = + 11 1 ()( jj rzerze ) = 由上式求出极点： 1 j zre = 和 2 j zre = 网络： 由图所示的原网络写出以下方程 11 ( )( )( sin )( )( cos )( )W zX zrz Y zrz W z =+ 1 ( )( sin )( )( cos )( )Y zrz W zrz Y z =+ 1 由式得 1 1 ( )( sin )( ) ( ) 1 ( cos ) X zrz Y z W z rz = 将代入式，得 1222 1 1 ( sin )( )(sin)( ) ( )( cos )( ) 1 ( cos ) rz X zrz Y z Y zrz Y z rz =+ 由上式得系统函数 1 122 ( )( sin ) ( ) ( )1 2( cos ) Y zrz H z X zrzr z = + 1 11 ( sin ) ()( jj rz rzerze ) = 极点 1 j zre = 和 2 j zre = 可见网络和网络具有相同极点。 4.3 一个因果线性离散系统由下列差分方程描述： y(n)- 3 4 y(n-1)+ 1 8 y(n-2)=x(n)+ 1 3 x(n-1) 试画出下列形式的信号流程图，对于级联和并联形式只用一阶节。 (1) 直接型； (2) 直接型； (3) 级联型； (4) 并联型。 解 （1）直接型 ( )x n ( )y n 1 z 1 z 1/3 3/4 1 z -1/8 （2）直接型 ( )x n ( )y n 1 z 3/4 1/3 1 z -1/8 （3）级联型 ( )y n( )x n 1 z 1 z 1/4 1/3 1/2 将系统函数写成 1 11 1 1 1 3 ( ) 11 11 42 z H z zz + = （4）并联型 ( )x n -7/3 ( )y n 1 z 1/4 10/3 1 z 1/2 将系统函数写成部分分式形式 11 7/310/3 ( ) 11 11 42 H z zz =+ 4.4 用直接型和直接型结构实现以下系统函数； (1) H(z)= 12 12 520.5 1 33 zz zzz + + 3 (2) H(x)=0.8 32 32 322 432 zzz zzz + + 5 解 (1)根据系统函数写出差分方程 ( )3 (1)3 (2)(3) 5 ( )2 (1)0.5 (2) y ny ny ny n x nx nx n + = + 直接型结构可根据系统函数或差分方程得到，如图所示 ( )x n - 5 ( )y n 1 z 1 z 2 -3 1 z 1 z -0.5 -3 1 z -1 将直接型结构中两个级联系统的位置互换， 并省去前向网络的两个单位延迟器， 便得到下 图所示的直接型结构。 ( )x n -5 ( )y n 1 z -3 2 1 z -3 -0.5 1 z -1 （2）由系统函数写出差分方程 2 ( )3 (1)4 (2)(3) 4 ( ) 1.6 (1) 1.6 (2)2.4 (3) y ny ny ny n x nx nx nx n + =+ 或 ( ) 1.5 (1)2 (2)0.5 (3) 2 ( )0.8 (1)0.8 (2) 1.2 (3) y ny ny ny n x nx nx nx n + =+ 根据系统函数或差分方程得到下图所示的直接型结构的信号流程图。 ( )x n 2 ( )y n 1 z 1 z 0.8 -1.5 1 z 1 z 0.8 -2 1 z 1 z 1.2 -0.5 交换直接型结构中两个级联系统的次序，并让 3 个延时器共用，便得到下图所示的直接 型结构的信号流程图。 ( )x n 2 ( )y n 1 z -1.5 0.8 1 z -2 0.8 1 z -0.5 1.2 4.5 用级联型和并联型结构实现以下系统函数，每个二阶节都采用直接型结构。 H(z)= 11 11 5(1)(1 1.4412) (1 0.5)(1 1.27280.81) zzz zz + + 2 2 z / 解 （1）级联结构 根据的表示式可直接画出级联型结构的信号流程图，如下图所示。 ( )H z ( )x n 5 ( )y n 1 z 1 z 0.5 -1 1.2728 -1.4412 1 z -0.81 1 （2）并联型结构 将用部分分式表示为 ( )H z 1 112 3.9783.5664.858 ( )12.346 1 0.51 1.27280.81 z H z zzz =+ + 按上式可画出并联型结构的信号流程图，如下图所示。 12.346 ( )x n ( )y n -3.978 1 z 0.5 -1 -3.566 1 z 1.2728 -4.858 1 z -0.81 4.6 试证明当 FIR 滤波器的冲激响应具有奇对称性质，即 h(n)=-h(N-1-n)时，其相位具有 分段线性的性质，即 1 ( )() 22 N = + 具有 (1) 当 N 为奇数时，滤波器的幅度响应为 (1)/2 1 ( )( )sin() N n Hc nn = = 其中， 1 ( )2 () 2 N c nhn =,n=1,2, (1 2 N) 。 (2) 当 N 为偶数时，滤波器的幅度响应为 /2 1 1 ( )( )sin () 2 N n Hd nn = = 其中，( )2 () 2 N d nhn=,n=1,2, 2 N 。 对于以上两种情况，幅度响应和相位响应曲线如图 P4.6 所示。 ( )h n n N-1 ( )h n 0 N-1 0 n ( )H ( )H 0 2 0 2 /2 0 2 3 () 2 N 图 P4.6 解 （1）因滤波器的冲激响应具有反对称性质，即 ( )(1)h nh Nn= 故当 N 为奇数时，有 11 ()() 22 NN hh0 = = 因此 3 1 2 2 0 3 1 2 22 0 1 ()2 ( )sin() 2 1 2 ( )sin() ) 2 N N j j n N N jj n N H eej h nn N eh nn ) = + = = = 上式中 n 用 1 2 N n 置换，得 1 1 2 () 22 1 1 ()2 ()sin( 2 N N j j n N H eehnn ) + = = 由于滤波器的频率响应为 () ()( ) jj H eHe = 所以 () ()( ) jj H eHe = 令 1 ( )2 (), 2 N c nhN = n=1,2, 1 2 N 得滤波器的幅度响应 (1)/2 1 ( )( )sin() N n Hc nn = = （2） 1 1 2 0 2 ()( )( ) N N jj n N n n H eh n eh n e j n = = =+ 1 1 2 0 2 ( )(1) N N j nj n N n n h n eh Nn e = = = 11 22 (1) 00 ( )( ) NN j njNn nn h n eh n e = = 1 2 (1) 0 ( )() N j njNn n h n ee = = 1 1 2 (1)() 22 0 1 ( )() 2 N N jNjn j n N eh n ene = = 1 2 (1) 2 0 1 2 ( )sin () 2 N jN n N ej h n = = n 1 2 (1) 22 0 1 2 ( )sin () 2 N jN n N eh n = = n 用 2 N n置换 n，得 2 (1) 22 1 1 ()2 ()sin () 22 N jN j n N H eehnn = = 滤波器的频率响应表示为 () ()( ) jj H eHe = 所以 1 ( ) 22 N = + 2 1 1 ( )( )sin () 2 N n Hd nn = = 其中 ( )2 (), 2 N d nhn= n=1,2, 2 N 4.7 已知一模拟滤波器的传递函数为 2 32 ( ) 23 a s H s ss1 + = + 试分别用冲激响应不变法和双线性变换法将它转换成数字滤波器的系统函数，设 。 ( )H z 0.5T = 解 （1）冲激响应不变法 将展开成部分分式 ( ) a Hs 2 3232 ( ) 231(21)(1 a ss Hs ssss + = + ) 12 211 AA ss =+ + 其中 1 2 32 1 1 1 2 32 1 121 s A ss s A ss + = += + = = + 因此 11 ( ) 211 s Hs ss =+ + 对式求逆拉氏变换，得 0.5 ( )(0.5) ( ) tt a h teeu t =+ 上式中令 t=nT，得 0.5 ( )()(0.5) ( ) nTnT a h nh nTeeu n =+ 对上式求 h(n)的 Z 变换，得 0.51 0 ( )( )(0.5) nnT nN H zh n zeez = =+ nT 0.51 0.51 11 TT ezez =+ z 将 T=0.5 代入上式得 0.510.51 0.51 ( ) 11 T H z ezez =+ （2）双线性变换法 将 11 11 2 11 4 11 zz s Tzz = + 代入题给的公式，得 ( ) a Hs 1 1 11 2 11 1 122 1 ( ) 11 32()121 11 z z H z zz zz + + = + + 11 1 2111 2 (14 10)(1) 32(1)12(1)(1)(1) zz zzz + = + z 12 12 14410 456221 zz zz + = + 4.8 设表示一模拟滤波器的冲激响应 ( ) a h t ( ) a h t = 0.9 ,0 0,0 t et t ，即极点不可能在 单位圆内。这就是说，不满足线性移不变系统稳定的充分和必要条件。所以该数字滤波器不 是稳定的。 令 j ze =。由系统函数得滤波器的频率特性 0.9 1 () 1 j Tj H e ee = 因此，滤波器的幅度响应为 ) 0.9 1 ( 1 j Tj H e ee = 因在（0-）区间，随着的增加，() j H e 将下降，故该滤波器为低通滤波器。 4.9 已知一模拟系统的转移函数为 22 ( ) () a sa Hs sab + = + 试根据这个系统求满足下列两条件的离散系统的系统函数 H（z） 。 （1） 冲激不变条件，也就是 ( )() a h nh nT= （2） 阶跃不变条件，也就是 ( )() a s ns nT= 其中 ( )() a s ns nT=( )( ) t aa s thd = 解 （1） 将展开成部分分式 ( ) a Hs 12 22 ( ) ()()( a AAsa Hs sabsajbsajb + =+ +) 其中 1 2 0.5 ()() 0.5 ()() sa A sajbsajb sa A sajbsajb + = = + + = = + 所以 0.50.5 ( ) ()( a Hs sajbsajb =+ +) t t 求逆拉氏变换，得 ()() ( ) 0.5 ( ) ajb tajb t a t heeu + =+ 上式中令 t=nT，得 ()() ( ) 0.5 ( ) ajb tajb t a t heeu + =+ 对上式求 Z 变换，得系统函数 0 ( )( ) n n H zh n z = = 11 1 122 11 0.5 11 1(cos) 12(cos) aTjbTaTjbT aT aTaT eezeez ebT z ebT zez =+ + = + (2) 模拟滤波器的阶跃响应与冲激响应有以下关系 ( ) a s t( ) a h t ( )( ) t aa s thd = 阶跃响应的拉氏变换与冲激响应的拉氏变换即传输函数之间有以 下关系 ( ) a s t( ) a S t( ) a h t( ) a Hs 1 ( )( ) aa SsHs s = 因此 22 1 ( ) () a sa Ss s s sab + = + 将展开成部分分式 ( ) a Ss 22 1 ( ) () a sa Ss s s sab + = + 012 ()( AAA ssajbsajb =+ +) 其中 0 2222 1 22 2 22 0() 1 ()()2()2() 1 ()()2()2() saa A ssabab saajb A sajbs sajbajbab saajb A sajbs sajbajbab + = =+ + = = + + = = + + = = 所以 222222 11 ( )()()() 2()()2()() a aajbajb Ss absabsajbabsajb + =+ + 1 求拉氏变换，得 ()() 222222 ( )()()() 2()2() ajb tajb t a aajbajb s tee ababab + + =+ + 上式中令 t=nT，得阶跃响应的取样值序列 ( ) a s t ( )() a s ns nT= () 2222 () 22 ( )() ()() 2() () ( ) 2() a ajb nT ajb nT s ns nT aajb e abab ajb eu n ab + = + =+ + + + 对上式求 Z 变换，得阶跃响应的取样值序列的 Z 变换 S（z）, ( ) a s t( )s n ( )( ) n n S zs n z = = () 2222 0 () 22 2212211 22122 1 ()() 2() () 2() 11 ()() 11 22 111 11 1 1 ()(1)()(1 2 ajb nT n ajb nTn aTjbTaTjbT aTjbTa aajv e abab ajb ez ab ajbajb a abzabeezeez a abzab ajbeezajbe + = + =+ + + + + =+ + =+ + + i 1 122 22122 11 122 1 22122 ) 1() 11 1 1 2()() 2 1() 11 cos()sin() 11 2cos TjbT aTjbTjbTaT aTjbTjbTaTjbTjbT aTjbTjbTaT aT ez eeezez a abzab aaeeezjbeeez eeezez aaabTbbT abzab + =+ + + + + =+ + i ez 122 () aTaT bT ezez + 由于阶跃响应的取样值序列的 Z 变换与冲激响应 h(n)的 Z 变换即系统函数 H（z）之间有以下关系 ( ) a s t( )s n( )S z 1 1 ( )( ) 1 S zH z z = 或 1 ( )(1) ( )H zzS z = 所以最后得系统函数 1 2222 1 ( ) az H z abab =+ + 1 122 cos()sin() 1 2cos() aT aTaT aabTbbT ez bT ezez + + i 4.10 一延迟为的理想限带微分器的频率响应为 , () 0, j r c a j e Hj = 其他 （1） 用冲激不变法，由此模拟滤波器求数字滤波器的频率响应() j d He ，假定 T 。 （2） 若( ) dhn是 =0 时由 （1） 确定的滤波器冲激响应， 对某些值，( ) d h n可用 的延迟表示，即 ( ) dhn ( )() dd h nh nn = 其中n为整数。确定这些值应满足的条件及延迟n的值。 解 (1)设理想限带模拟微分器的冲激响应是，用冲激响应不变法由它得到。设 的傅里叶变换用 ( ) a h t ( ) d hn ( ) d hn( j H e) 表示，则有 12 ()( )( jj n da nk H ehn eHjjk TTT ) = =+ 因为已知 ()0 a Hj = ,/ c T = 所以 11 ()()(), j j T ac k H eHjje TTTTT = = j 设数字微分器的单位取样响应是，则有 ( ) d h n ( )()( ) dad h nTh nTThn= 因此，数字微分器的频率响应为 ()( )( ) jj ddd nn Heh n eThn e = = , 0 jT c je TT = 其他 (2) 因为0=时数字微分器的频率响应为 , () 0, c j j eTT d H = 其他 所以由( )() d h nnn d h =知道 ()( )() jj n ddd nn Heh n eh nn e j n = = , () 0, j n j ncj d jeT eHeT = 其他 将式与式对照，得 n T = 因为n为整数，所以应取 T 的整数陪是值。 4.11 图 P4.11 表示一数字滤波器的频率响应。 （1） 假设它是用冲激响应不变法由一个模拟滤波器的频率响应映射得到的。试用作 图的方法求该模拟滤波器的频率响应特性。 （2） 假设它是用双线性变换得到的，重做（1） 。 () j H e 1 1/4 2/3/3 0 /3 2/3 图 P4.11 解 4.12 用冲激不变法设计一个数字巴特沃斯低通滤波器。这个滤波器的幅度响应在通带截止 频率0.2613 p =处的衰减不大于 0.75dB，在阻带截止频率0.4018 T =处的衰减不小 于 20dB。 解 (1)求滤波器的阶数 N 0.1 1 10.1 0.75 2 2 0.1 0.1 20 101 101 lg lg 101 101 0.2613 lg()lg() 0.4018 p T P T N = 1 2 0.1885 lg 1.3602 99 7.2777 lg0.65030.1863 = 取 N=8 （3） 求滤波器的 3dB 截止频率 c 11 0.10.1 22 101101 NN ppcTT 其中 11 0.10.1 0.75 22 1010.2613 1010.9111 N pp = 8 11 0.10.1 20 22 1010.4018 1010.9472 N TT = 8 因此 0.9111 0.9472 c 选取，准确满足通带指标要求，超过阻带指标要求。 0.9111 c = （3）求的极点 ( ) a Hs 9 ()( 22168 0.9111, k jj NN kc see + = = )k k= 0，1，15 其中，左半 s 平面的极点为 9 16 0 9 () 168 1 9 () 164 2 93 () 168 3 93 () * 168 43 0.91110.17780.8936 0.91110.50620.7575 0.91110.75750.5062 0.91110.89630.1778 0.91110.89360.1778 j j j j j sej sej sej sej ssej + + + + = + = + = + = + = 9 () * 164 52 9 () * 168 61 9 * 16 70 0.91110.75750.5062 0.91110.50620.7575 0.91110.17780.8963 j j j ssej ssej ssej + + = = = （4）求传输函数 ( ) a Hs 8 3 1 * 2 * 0 0 0.9111 ( ) ()( ()() N C a N kk kkk k Hs ssss ssss = = = ) 3 2* 0 0.4748 () kkkk k sssss s = = + * 2222 0.4748 (0.35560.83)(1.01240.83)(1.5150.83)(1.78720.83)ssssssss = + 8765432 0.4748 4.6710.90516.53617.713.7157.5152.6710.475ssssssss = + （5）用查表法求传输函数 ( ) a Hs 根据表得到 8 阶归一化巴特沃斯滤波器的传输函数 ( ) a Hs 876543 1 ( ) 5.1258 13.137121.846225.688421.84625.12581 a Hs ssssss = +s+ 将中 s 用 ( ) a Hs 0.9111 c ss = 取代，得 ( ) a Hs 8765432 0.4748 ( ) 4.67 10.90516.53617.713.7157.5152.6710.475 a Hs ssssssss = + 与（4）结果相同。 4.13 使用双线性变换法设计一个巴特沃斯低通滤波器。 假定取样频率1.5 s fkHz=处衰减不 小于 12dB。 解 将 p f.和 T f转换成数字频率 p 和 T 2210002000 pp f = 2215003000 TT f = 4 3 11 10 10 10 a T f = 4 4 1020000.2 1030000.3 pp TT T T = = = = （2）求滤波器的阶数 N 和巴特沃斯模拟低通滤波器的 3dB 截止频率 c 取 T=1，将数字频率 p 和 T 预畸变，得预畸变后的 p 和 T 20.2 tan2tan2tan(0.1 )0.649841 22 20.3 tan2tan2tan(0.15 )1.0190537 22 p p T T T T = = = = 因此，模拟低通滤波器的指标为 ) 20lg()20lg( 0.649841)1.8 20lg(20lg( 1.0190537)12 apa aTa HjHj HjHj = = 由巴特沃斯滤波器的幅度平方函数得 2 20lg()10lg 1 () N a c Hj = + 将式代入式，得 2 0.649841 20lg()10lg 1 ()1.8 N ap c Hj= + 2 1.0190537 20lg()10lg 1 ()12 N aT c Hj= + 联立求解式和式，得 10.1 1.8 2 0.1 12 101 lg 0.7305515 101 3.738942 0.649841 0.1953899 lg() 1.0190537 N = 取 N=4。将 N=4 分别代入式和式，得 1 0.1 1.8 2 4 1 1 0.1 12 2 4 2 0.649841(101)0.7063 1.0190537(101)0.7274 cc cc = = = = 取 12 1 ()0.7168 2 ccc = +=。 也可以直接引用公式来求 N 和 c ， 但应注意， 对双线性变换法来说， 公式中的和 都是预畸变后的值。 p T （3）求的极点 ( ) a Hs 5 ()( 2284 0.7168 k jj NN kc see + = = )k ， k=0,1,7 其中，左半 s 平面的极点为 5 8 0 5 () 84 1 * 21 * 30 0.71680.27430.6623 0.71680.66230.2743 0.66230.2743 0.27430.6623 j sej sej ssj ssj + = + = + = = （4）求传输函数 ( ) a Hs 4 1 2 * 0 0 0.7168 ( ) ()() ()() N c aN kk kkk k Hs ssss ssss = = = ? 1 2* 0 22 432 0.264 () 0.264 (0.54860.5139)(1.32460.5139) 0.264 1.87321.75450.96260.264 kkkk k sssss s ssss ssss = = + = + = + （5）用查表法求传输函数 ( ) a Hs 根据表得到 4 阶归一巴特沃斯滤波器的传输函数 ( ) a Hs 432 1 ( ) 2.61313.41422.61311 a Hs ssss = + 将中的 s 用 ( ) a Hs 0.7168 c ss = 取代，得 4 43223 ( ) 2.61313.41422.6131 c a ccc Hs ssss = + 4 c 43233 432 0.264 2.6131 0.71683.4142 0.71682.6231 0.71680.7168 0.264 1.87311.75420.96240.264 ssss ssss = + = + 4 与（4）的结果近似相等。 4.14 用双线性变换法设计一个数字切比雪夫低通滤波器，各指示与题 4.13 相同。 解 4.15 通过频率变换法设计一个数字切比雪夫高通滤波器，从模拟到数字的转换采用双线性 变换法，假设取样频率为，在频率160处衰减不大于 3dB，在处衰减不小 于 48dB。 2.4kHzHz40Hz 解 （1）将高通数字滤波器的频率指标 p f和 T f折合成数字频率 2 21602 240015 2240 240030 p pp s T TT s f T f f T f = = = = 设 T=2，按照双线性变换法，将高通数字滤波器的数字域频率转换为高通模拟滤波器的频率 212 tantan()0.2126 2215 21 tantan()0.0524 2230 p p T T T T = = 将高模拟滤波器的频率指标映射成模拟低同滤波器的频率指标 11 4.7040 0.2126 11 19.0840 0.0524 p p T T = = （2）根据模拟低同滤波器的指标求, c 和 N 20.10.1 3 1011010.9953 p = = = 或0.9977= 4.7040 cp = = 4.7040 0.2465 19.0840 p T k = 0.1 110.1 3 3 22 0.10.1 48 101 101 3.9717 10 101101 p T d = 3 11 3.9717 10 11 0.2465 archarch d N archarch k = 251.7814 2.9941 4.0568 arch arch = 取 N=3。 （3）求模拟低通滤波器的平方幅度函数 令 4.70400.2126 c x = = 2 2 ，将其代入 3 阶切比雪夫多项式的平方中 22264 3 ( ) (43)16249Vxxxxxx=+ 64 642 16(0.2126 )24(0.2126 )9(0.2126 ) 0.001480.0490.4068 =+ = + 因此，3 阶切比雪夫模拟低通滤波器的平方幅度函数为 2 22 3 1 () 1(/ a c Hj e V = + ) 64 1 1 0.9953(0.001480.0490.4068) = + + 2 64 1 0.001470.04880.40481 = + + 2 （4）求模拟低通滤波器的传输函数 将代入js = 2 () a Hj，得 2 ( )()() aaa Hs HsHj js = = 64 1 0.001470.04880.40481sss = 2 + 由上式求出的极点： ( )() aa Hs Hs 0 1 * 20 3 4 * 53 0.7014.2517 1.4047 0.7014.2517 0.7014.2514 1.4047 0.7014.2517 sj s ssj sj s ssj = + = = = = =+ 其中，和是左半 s 平面的 3 个极点，由他们构成一个稳定的 3 阶切比雪夫模拟低通 滤波器，其传输函数为 0 s 1 s 2 s 10 ( ) ()()( a B Hs ssssss = 2) * 100 2* 1000 0 2 ()()() ()() (1.4047)1.40218.5684 B ssssss B sssssss s B sss = = + = + 因 N=3 为奇数，所以，因此 (0)1 a H= (0) 1.4047 18.568426.083 a BH= 最后得 2 26.083 ( ) (1.4047)1.40218.5684 a Hs sss = + 32 26.083 2.806720.538526.083sss = + 注意，模拟低通滤波器的传输函数在左半 s 平面的 3 个极点也可以用下式求出： sin()cos() 22 kcc sakbk NNNN = + + ，k=0,1,2N-1 其中常量 a 和 b 用下列公式计算 12 1a =+ 12 0.99770.997712.4182 =+ = 111 ) 33 1 ()0.5(2.41822.4182 2 NN aaa = 1 0.5(1.34220.7451)0.2986= 11 1 ()0.5(1.34220.7451)1.0437 2 NN baa =+=+= 0.2986 4.70401.4046 1.0437 4.70404.9096 c c a a = = 将和的值代入计算极点的公式，得左半 s 平面的极点如下： c a c b 0 1.4046sin()4.9096cos() 2 32 3 sj = + 0.70234.2518j= + 1 1.4046sin()4.9096cos()1.4046 2 332 33 sj = += * 20 0.70234.2518ssj= 这里的结果与前面的数值基本相同。 （5）将模拟低通滤波器转换成模拟高通滤波器 用 1/s 代换模拟低通滤波器的传输函数中的 s，得到模拟高通滤波器的传输函数 2 23 23.083 ( ) 12.806720.538526.083 a s Hs ss = +s （6）用双线性变换法将模拟高通滤波器映射成数字高通滤波器 设 T=2。将 1 1 1 1 z s z = + 代入模拟高通滤波器的传输函数，得 1 3 1 11 23 11 1 26.083() 1 ( ) 111 12.806720.5385()26.083() 111 z z H z zz zz + = + + 1 1 z z + 123 12 0.5172(1 33) 1 1.02931.14820.1458 zzz zz + = + 3 z 4.16 设是一个偶对称序列，N=8，见图 P4.16（a） 。是的四点循环移位， 即 1( ) h n 2( ) h n 1( ) h n 216 ( )(4)( ) s h nhnR n=i （1） 求出 1( ) h n的 DFT 与 2( ) h n的 DFT 之间的关系，即确定模 1( ) H k与 2( ) Hk及相位 1( ) k与 2( ) k之间的关系。 （2） 由 1( ) h n和 2( ) h n可以构成两个 FIR 数字滤波器， 试问它们都属于线性相位数字滤波 器吗？为什么？时延为多少？ （3） 如果 1( ) h n对应一个截止频率为 2 的低通滤波器，如图 P4.16（b）所示，那么认为 2( ) h n也对应一个截止频率为 2 的低通滤波器合理吗？为什么？ 1( ) h n n 0 1 2 3 4 5 6 7 /2 0 /2 图 P4.16 解 (1)因为和 11 ( )(1)h nh Nn= 22 ( )(1)h nh Nn= ，所以当 N=8 时，有 22 137 88 1111 004 ( )( )( )( ) N jnkjnk nk N nnn H kh nh n eh n e = =+ 22 37 88 11 04 22 3 (7) 88 1 0 22 3 (1) 88 1 0 ( )(7) ( ) ( ) jnkjnk nn jnkjn k n jnkjnk n h n ehn e h n ee h n ee = = + = =+ =+ =+ 22 3 (1) 88 22 0 ( )( ) jnkjnk n Hkh n ee + = =+ 由于， n=0，1，2，3 12 (