2017-2018学年高中数学三角函数1.2.2同角三角函数的基本关系学案新人教A版.docx

12.2同角三角函数的基本关系预习课本P1820，思考并完成以下问题(1)同角三角函数的基本关系式有哪两种？ (2)已知sin ，cos 和tan 其中的一个值，如何求其余两个值？ 同角三角函数的基本关系式(1)平方关系：sin2cos21.(2)商数关系：tan_.这就是说，同一个角的正弦、余弦的平方和等于1，商等于角的正切.点睛同角三角函数的基本关系式揭示了“同角不同名”的三角函数的运算规律，这里“同角”有两层含义：一是“角相同”，二是对“任意”一个角(在使函数有意义的前提下)关系式成立与角的表达形式无关，如sin23cos231.1判断下列命题是否正确(正确的打“”，错误的打“”)(1)对任意角，sin2cos21都成立()(2)对任意角，tan 2都成立()(3)若cos 0，则sin 1.()答案：(1)(2)(3)2已知，sin ，则cos ()ABC D答案：A3已知cos ，且是第四象限角，则sin ()A BC D答案：C4已知sin ，则tan _.答案：利用同角基本关系式求值典例(1)已知sin ，并且是第二象限角，求cos 和tan .(2)已知sin 2cos 0，求2sin cos cos2的值解(1)cos21sin2122，又是第二象限角，所以cos 0，cos ，tan .(2)由sin 2cos 0，得tan 2.所以2sin cos cos21.1求三角函数值的方法(1)已知sin (或cos )求tan 常用以下方式求解(2)已知tan 求sin (或cos )常用以下方式求解当角的范围不确定且涉及开方时，常因三角函数值的符号问题而对角分区间(象限)讨论2已知角的正切求关于sin ，cos 的齐次式的方法(1)关于sin ，cos 的齐次式就是式子中的每一项都是关于sin ，cos 的式子且它们的次数之和相同，设为n次，将分子、分母同除以cos 的n次幂，其式子可化为关于tan 的式子，再代入求值(2)若无分母时，把分母看作1，并将1用sin2cos2来代换，将分子、分母同除以cos2，可化为关于tan 的式子，再代入求值活学活用(1)已知cos ，求sin 和tan .(2)已知tan 2，试求的值解：(1)sin21cos2122，因为cos 0，cos 0，所以原式1.三角函数式的化简技巧(1)化切为弦，即把正切函数都化为正、余弦函数，从而减少函数名称，达到化繁为简的目的(2)对于含有根号的，常把根号里面的部分化成完全平方式，然后去根号达到化简的目的(3)对于化简含高次的三角函数式，往往借助于因式分解，或构造sin2cos21，以降低函数次数，达到化简的目的活学活用化简：(1) ；(2) .解：(1)原式 1.(2)原式1.证明简单的三角恒等式典例求证：.证明法一：左边右边，原等式成立法二：右边左边，原等式成立法三：左边，右边，左边右边，原等式成立法四：0，.法五：(tan sin )(tan sin )tan2sin2tan2tan2cos2tan2(1cos2)tan2sin2，.证明三角恒等式常用的方法(1)从一边开始，证得它等于另一边，一般是由比较复杂的一边开始化简到另一边，其依据是相等关系的传递性(2)左右归一法：即证明左右两边都等于同一个式子，其依据是等于同一个量的两个量相等(3)综合法：即由一个已知成立的等式(如公式等)恒等变形得到所要证明的等式，其依据是等价转化的思想(4)比较法：即证左边右边0或证1.活学活用求证：2(1sin )(1cos )(1sin cos )2.证明：法一：左边22sin 2cos 2sin cos 1sin2cos22sin cos 2(cos sin )12(cos sin )(cos sin )2(1sin cos )2右边法二：左边22sin 2cos 2sin cos ，右边1sin2cos22sin 2cos 2sin cos 22sin 2cos 2sin cos ，左边右边.sin cos 型求值典例已知sin cos (0)，求sin cos 和sin cos 的值解因为sin cos (00，所以sin cos .已知sin cos ，sin cos 求值问题，一般利用三角恒等式，采用整体代入的方法求解涉及的三角恒等式有：(sin cos )212sin cos ；(sin cos )212sin cos ；(sin cos )2(sin cos )22；(sin cos )2(sin cos )24sin cos .上述三角恒等式告诉我们，已知sin cos ，sin cos ，sin cos 中的任何一个，则另两个式子的值均可求出活学活用1已知0，且sin cos ，求sin cos ，tan 的值解：sin cos ，(sin cos )2.解得sin cos .00，sin 0，cos 0.sin cos .由得tan .2若0，sin cos ，求sin cos .解：0，sin cos 0，cos 0.sin cos .层级一学业水平达标1(福建高考)若sin ，且为第四象限角，则tan 的值等于()ABC D解析：选D因为sin ，且为第四象限角，所以cos ，所以tan ，故选D.2若为第三象限角，则的值为()A3 B3C1 D1解析：选B为第三象限角，原式3.3下列四个结论中可能成立的是()Asin 且cos Bsin 0且cos 1Ctan 1且cos 1D是第二象限角时，tan 解析：选B根据同角三角函数的基本关系进行验证，因为当时，sin 0且cos 1，故B成立，而A、C、D都不成立4已知sin ，则sin4cos4的值为()A BC D解析：选Asin4cos4(sin2cos2)(sin2cos2)sin2(1sin2)2sin21221.5若是三角形的最大内角，且sin cos ，则三角形是()A钝角三角形 B锐角三角形C直角三角形 D等腰三角形解析：选B将sin cos 两边平方，得12sin cos ，即2sin cos .又是三角形的内角，sin 0，cos 0，为锐角6若sin ，tan 0，则cos _.解析：由已知得是第三象限角，所以cos .答案：7化简：_.解析：原式 |cos 40sin 40|cos 40sin 40.答案：cos 40sin 408已知tan ，则_.解析：.答案：9化简：(1)；(2).解：(1)原式1.(2)原式cos .10已知sin cos ，求tan 及sin cos 的值解：将sin cos 两边平方，得sin cos .tan 3，(sin cos )212sin cos 1，sin cos .层级二应试能力达标1已知tan ，且，则sin 的值是()ABC D解析：选A，sin 0.由tan ，sin2cos21，得sin .2化简(1cos )的结果是()Asin Bcos C1sin D1cos 解析：选A(1cos )(1cos )(1cos )sin .3已知是第三象限角，且sin4cos4，则sin cos 的值为()A BC D解析：选A由sin4cos4，得(sin2cos2)22sin2cos2.sin2cos2.是第三象限角，sin 0，cos 0，sin cos .4已知2，则sin cos 的值是()A BC D解析：选C由条件得sin cos 2sin 2cos ，即3cos sin ，tan 3，sin cos .5已知sin cos ，且，则cos sin _.解析：因为，所以cos 0，sin 0.利用三角函数线，知cos sin ，所以cos sin 0，所以cos sin .答案：6若sin cos 1，则sinncosn(nZ)的值为_解析：sin cos 1，(sin cos )21，又sin2cos21，sin cos 0，sin 0或cos 0，当sin 0时，cos 1，此时有sinn