2017-2018学年八年级数学勾股定理命题剖析考点突破含解析新版新人教版.docx

勾股定理命题剖析考点突破考点勾股定理的应用()命题角度【核心题型】求某条线段的具体长度1利用勾股定理解决折叠问题2利用勾股定理解决动点问题3利用勾股定理探索规律4利用勾股定理求三角形面积5利用勾股定理求点的坐标6利用勾股定理解决最短距离问题7利用勾股定理解决最值问题8【核心题型】1.(2017陕西中考)如图,将两个大小、形状完全相同的ABC和ABC拼在一起,其中点A与点A重合,点C落在边AB上,连接BC.若ACB=ACB=90,AC=BC=3,则BC的长为导学号42684159()A.3B.6C.3D.【解析】选A.ACB=ACB=90,AC=BC=3,AB=3,CAB=45,ABC和ABC大小、形状完全相同,CAB=CAB=45,AB=AB=3,CAB=90,BC=3.2.(2017扬州中考)如图,把等边ABC沿着DE折叠,使点A恰好落在BC边上的点P处,且DPBC,若BP=4cm,则EC=_cm.【解析】根据“30角所对的直角边等于斜边的一半”可求得BD=8,再由勾股定理求得DP=4cm.根据折叠的性质可以得到DPE=A=60,DP=DA=4cm,易得EPC=30,PEC=90,所以EC=PC=(8+4-4)=2+2(cm).答案:2+23.(2017泰州中考)如图,在平面内,线段AB=6,P为线段AB上的动点,三角形纸片CDE的边CD所在的直线与线段AB垂直相交于点P,且满足PC=PA,若点P沿AB方向从点A运动到点B,则点E运动的路径长为_.导学号42684160【解析】如图,E点运动的轨迹与C点运动的轨迹相同,C点运动的路程是=6.答案:6【变式训练】(2015黑龙江中考)在ABC中,AB=AC=5,BC=8,点P是BC边上的动点,过点P作PDAB于点D,PEAC于点E,则PD+PE的长是()A.4.8B.4.8或3.8C.3.8D.5【解析】选A.过A点作AFBC于点F,连接AP,在ABC中,AB=AC=5,BC=8,BF=4,AF=3,83=5PD+5PE,12=5(PD+PE),即PD+PE=4.8.4.(2017徐州中考)如图,已知OB=1,以OB为直角边作等腰直角三角形A1BO.再以OA1为直角边作等腰直角三角形A2A1O,如此下去,则线段OAn的长度为_.【解析】根据勾股定理,得OA1=,OA2=2,OA3=2,OA4=4,以此类推发现:OAn=()n.答案:()n【变式训练】(2016青海中考)如图,正方形ABCD的边长为2,其面积标记为S1,以CD为斜边作等腰直角三角形,以该等腰直角三角形的一条直角边向外作正方形,其面积标记为S2,按照此规律继续下去,则S9的值为()A.B.C.D.【解析】选A.在图中标上字母E,如图所示.正方形ABCD的边长为2,CDE为等腰直角三角形,DE2+CE2=CD2,DE=CE,S2+S2=S1.观察,发现规律:S1=22=4,S2=S1=2,S3=S2=1,S4=S3=,Sn=.当n=9时,S9=.5.(2016阿坝州中考)直角三角形斜边长是5,一直角边的长是3,则此直角三角形的面积为_.【解析】直角三角形斜边长是5,一直角边的长是3,另一直角边长为=4.该直角三角形的面积S=34=6.答案:66.(2015滨州中考)如图,在平面直角坐标系中,将矩形AOCD沿直线AE折叠(点E在边DC上),折叠后顶点D恰好落在边OC上的点F处.若点D的坐标为(10,8).则点E的坐标为_.导学号42684161【解析】点D的坐标为(10,8),OA=8,AD=OC=10.根据折叠的性质知,AF=AD=10,DE=EF.在RtAOF中,OF=6,CF=OC-OF=4.设CE=x,则DE=EF=8-x,则在RtCEF中,x2+42=(8-x)2,解得x=3,点E的坐标为(10,3).答案:(10,3)【变式训练】(2015台州中考)如图,这是台州市地图的一部分,分别以正东、正北方向为x轴、y轴的正方向建立直角坐标系,规定一个单位长度表示1km.甲、乙两人对着地图如下描述路桥区A处的位置.则淑江区B处的坐标是_.【解析】过B点作正东方向的垂线,垂足为H,根据直角三角形中,30所对的直角边是斜边的一半,求得AH=8,再根据勾股定理求得BH=8,所以B点的坐标为(10,8).答案:(10,8)7.(2017十堰中考)如图,已知圆柱的底面直径BC=,高AB=3,小虫在圆柱表面爬行,从C点爬到A点,然后再沿另一面爬回C点,则小虫爬行的最短路程为()A.3B.3C.6D.6【解析】选D.将已知圆柱展开得到如图所示矩形,小虫从C点爬到A点,然后再沿另一面爬回C点经过的路程为2AC,因为圆柱的底面直径BC=,所以此圆柱的底面周长为6,则展开图中AB的长为3,所以AC=3,所以小虫爬行的最短路程为6.8.(2015三明中考)如图,在ABC中,ACB=90,AB=5,BC=3,P是AB边上的动点(不与点B重合),将BCP沿CP所在的直线翻折,得到BCP,连接BA,则BA长度的最小值是_.导学号42684162【解题指南】首先由勾股定理求得AC的长度,由轴对称的性质可知BC=CB=3,当BA有最小值时,即AB+CB有最小值,由两点之间线段最短可知当A,B,C三点在一条直线上时,AB有最小值.【解析】在RtABC中,由勾股定理可知:AC=4,由轴对称的性质可知:BC=CB=3,CB长度固定不变,当AB+CB有最小值时,AB的长度有最小值.根据两点之间线段最短可知:A,B,C三点在一条直线上时,AB有最小值,AB=AC-BC=4-3=1.答案:1【答题指导】1.在求某条线段的具体长度时,常用的方法是把所要求线段放在直角三角形中,使其成为某条边,利用勾股定理求解.2.在直角三角形中,若已知两边的长度,可直接利用勾股定理求另一边的长度;若已知一边的长度,又知三边之间的数量关系或角的数量关系,从而能得出另外两边的数量关系时,可设未知数,利用勾股定理建立方程求解.3.解决最短路径问题的一般步骤是:画几何体的侧面展开图构建最短路径问题模型利用轴对称性质与勾股定理(或相似知识)计算求值.4.提醒:勾股定理是解直角三角形中体现边之间关系的重要部分,所以,当由边求边时,勾股定理是首选.考点勾股定理的验证及图形面积()命题角度【核心题型】图形面积与勾股定理1应用勾股定理求图形面积2应用勾股定理及图形面积求代数式的值3【核心题型】1.(2016株洲中考)如图,以直角三角形a,b,c为边,向外作等边三角形,半圆,等腰直角三角形和正方形,上述四种情况的面积关系满足S1+S2=S3的图形个数有()A.1B.2C.3D.4【解析】选D.(1)S1=a2,S2=b2,S3=c2,a2+b2=c2,a2+b2=c2,S1+S2=S3.(2)S1=a2,S2=b2,S3=c2,a2+b2=c2,a2+b2=c2,S1+S2=S3.(3)S1=a2,S2=b2,S3=c2.a2+b2=c2,a2+b2=c2,S1+S2=S3.(4)S1=a2,S2=b2,S3=c2,a2+b2=c2,S1+S2=S3.综上,可得面积关系满足S1+S2=S3的图形有4个.2.(2017襄阳中考)“赵爽弦图”巧妙地利用面积关系证明了勾股定理,是我国古代数学的骄傲,如图所示的“赵爽弦图”是由四个全等的直角三角形和一个小正方形拼成的一个大正方形,设直角三角形较长直角边长为a,较短直角边长为b,若(a+b)2=21,大正方形的面积为13,则小正方形的面积为()A.3B.4C.5D.6【解析】选C.(a+b)2=21,a2+2ab+b2=21,大正方形的面积为13,2ab=21-13=8,小正方形的面积为13-8=5.3.(2016黔东南州中考)2002年8月在北京召开的国际数学家大会会徽取材于我国古代数学家赵爽的弦图,它是由四个全等的直角三角形和中间的小正方形拼成的大正方形,如图所示,如果大正方形的面积是13,小正方形的面积为1,直角三角形的较短直角边长为a,较长直角边长为b,那么(a+b)2的值为()导学号42684163A.13B.19C.25D.169【解题指南】根据题意,结合图形求出2ab与a2+b2的值,原式利用完全平方公式化简后代入计算即可求出.【解析】选C.根据题意得:c2=a2+b2=13,4ab=13-1=12,即2ab=12,则(a+b)2=a2+2ab+b2=13+12=25.【答题指导】1.解答勾股弦图及面积的有关问题的关键是通过图形中的三个正方形与八个全等三角形面积之间的联系,建立等量关系.2.赵爽的“弦图”是2002年在北京召开的国际数学家大会的会标.它隐含了勾股定理的两种面积证法.赵爽的“弦图”是证明勾股定理的无字证明,充分体现了我国古代的数学文明和数学文化.这类问题通常是采用割补法,转化为特殊图形列出等式求解.3.提醒:注意通过割补法解答图形面积问题.考点勾股定理的逆定理及应用()命题角度【核心题型】利用勾股定理的逆定理判断直角三角形1利用勾股定理的逆定理判断钝角三角形2利用勾股定理的逆定理求线段的长3【核心题型】1.(2015来宾中考)下列各组线段中,能够组成直角三角形的一组是()A.1,2,3B.2,3,4C.4,5,6D.1,【解析】选D.1+2=3不能构成三角形,选项A错误,由22+3242,42+5262可判断B,C选项错误,因为12+()2=()2,所以1,能够组成直角三角形.2.(2016南京中考)下列长度的三条线段能组成钝角三角形的是()A.3,4,4B.3,4,5C.3,4,6D.3,4,7【解析】选C.由两边之和大于第三边,可排除D;由勾股定理得a2+b2=c2,当最长边比斜边c更长时,最大角为钝角,即满足a2+b2c2,故选C.3.(2017安顺中考)三角形三边长分别为3,4,5,那么最长边上的中线长等于_.导学号42684164【解析】32+42=25=52,该三角形是直角三角形,5=2.5.答案:2.5【答题指导】1.给出三条线段的长度,判定能否构成直角三角形的步骤:(1)分别计算三条线段的平方.(2)看是否满足较小两线段的平方和等于最长线段的平方.(3)得出结论.2.提醒:(1)判断三条线段能否围成一个直角三角形,判断两小边的平方和与最大边的平方是否相等即可.(2)此类问题容易出错的地方是不认真审题,不进行计算,看到,或6,7,8或2,3,4就进行选择.考点勾股定理的实际应用()命题角度【核心题型】利用勾股定理解决两点间距离问题1利用勾股定理解决高度问题2利用勾股定理解决噪音影响问题3【核心题型】1.(2016哈尔滨中考)如图,一艘轮船位于灯塔P的北偏东60方向,与灯塔P的距离为30海里的A处,轮船沿正南方向航行一段时间后,到达位于灯塔P的南偏东30方向上的B处,则此时轮船所在位置B处与灯塔P之间的距离为()A.60海里B.45海里C.20海里D.30海里【解题指南】根据题意得出:B=30,AP=30海里,APB=90,再利用勾股定理得出BP的长,求出答案.【解析】选D.由题意可得:B=30,AP=30海里,APB=90,故AB=2AP=60(海里),则此时轮船所在位置B处与灯塔P之间的距离为:BP=30(海里).2.(2017荆州中考)九章算术中的“折竹抵地”问题:今有竹高一丈,末折抵地,去根六尺.问折高者几何?意思是:一根竹子,原高一丈(一丈=10尺),一阵风将竹子折断,其竹稍恰好抵地,抵地处离竹子底部6尺远,问折断处离地面的高度是多少?设折断处离地面的高度为x尺,则可列方程为()A.x2-6=(10-x)2B.x2-62=(10-x)2C.x2+6=(10-x)2D.x2+62=(10-x)2【解析】选D.如图,由题得AC=x,则AB=10-x,BC=6,在RtABC中,AC2+BC2=AB2,即x2+62=(10-x)2.3.(2015上海中考)如图,MN表示一段笔直的高速道路,线段AB表示高速道路旁的一排居民楼.已知点A到MN的距离为15米,BA的延长线与MN相交于点D,且BDN=30,假设汽车在高速道路上行驶时,周围39米以内会受到噪音的影响.过点A作MN的垂线,垂足为点H.如果汽车沿着从M到N的方向在MN上行驶,当汽车到达点P处时,噪音开始影响这一排的居民楼,那么此时汽车