控制工程基础-燕山大学-孔祥东-答案与解答3.pdf

第三章 3-2假设温度计可用 1/（Ts+1）传递函数描述其特性。现用该温度计测量某容 器中的水温，发现经 1min 后才能指示出实际水温的 96%，问： （1）. 该温度计的指示从实际水温的 10%变化到 90%所需的时间是多少？ （2）. 如果给该容器加热，使容器内水温以 0.1/s 的速度均匀上升，当定义误 差 e(t)=r(t)-c(t)时，温度计的稳态指示误差有多大？ 解： （1）. 设实际水温为 Tr，温度计原来处于 T0=0 度，当温度计放入水中时，相当 于输入一阶跃值为 Tr -T0=Tr的阶跃函数，温度计的时间响应函数为： T t r eTTtc1 0 T t rr e T tc TT tc 1 0 根据题意可得： T e 60 196. 0 即可得：T=18.64(s)， T t r e T tc 1 10%所需的时间为 64.18 1 11 . 0 t e ， st96. 1 1 。 90%所需的时间为 64.18 1 19 . 0 t e ， st92.42 2 。 所以可得该温度计的指示从实际水温的 10%变化到 90%所需的时间 （上升时 间）是 stttr96.40 12 （2）. 由题可知系统为一阶系统，故系统稳定，为求当 r(t)=0.1t 时的稳态误 差，由一阶系统的时间响应分析可知，单位斜坡响应的稳态误差为 T，所以 稳态指示误差： CTte t 864. 11 . 0lim （将 1/（Ts+1）转化为开环传递函数为 1/（Ts）时的单位反馈系统，则可见 此时系统的误差为 e(t)=r(t)-c(t)。根据 系统为 I 型，可得稳态速度误差系数 为 Kv=K=1/T ， 得 当 输 入 信 号 为 r(t)=0.1t 时的稳态误差为 CT K e v ssv 864. 11 . 0 1 1 . 0） 3-5 某控制系统如图 3-24 所示， 已知 K=125， 试求： （1）. 系统阶次，类型。 + - R(s) C(s) 44ss K 2 . 0 E(s) 图 3-24 题 3-5 图 + - R(s) C(s) s64.18 1 E(s) 题 3-2（2）图 批注批注 x1: 1没有考虑温度计原来的环境温 度。 温度的相对变化量给出的是实际 温度的百分比， 而不是水温与温度计 所处的环境温度差值的百分比。 因此 只能假定温度计原来的环境温度为 0 度。 批注批注 x2: 采用终值定理或误差系数 进行计算时，必须进行稳定性判定， 采用时间响应方法则不必。 批注批注 x3: 假定开始温度计和水温相 同（系统处于平衡状态） ，也可假定 在加温时，温度计突然放入，此时除 有速度信号外还有阶跃信号， 但对一 型系统，它的稳态误差为 0. 批注批注 x4: 类型 （2）. 开环传递函数，开环放大倍数。 （3）. 闭环传递函数，闭环零点、极点。 （4）. 自然振荡频率n，阻尼比，阻尼振荡频率d。 （5）. 调整时间 ts(=2%)，最大超调量p%。 （6）. 输入信号 r(t)=5 时，系统的输出终值 c()、输出最大值 cmax。 （7）. 系统的单位脉冲响应。 【系统的单位阶跃响应】 （8）. 系统的单位斜坡响应。 【讨论系统单位阶跃响应出现超调、衰减振荡、无 超调三种情况下的 K 值】 （9）. 静态误差系数 Kp、Kv、Ka。 （10）. 系统对输入为 r(t)=5+2t+t2时的稳态误差。 解： （1）. 系统的开环传递函数： 125. 0 5625. 1 125. 0 0125. 0 44 2 . 0 ssss K ss K sHsG， 可见系统阶次为二阶，类型为 I 型。 （2）. 开环传递函数 125. 0 5625. 1 ss sHsG，开环放大倍数为 1.5625 （3）. 闭环传递函数为： 22 2 2 5 . 25 . 28 . 02 5 . 25 5625. 125. 0 8125. 7 1 sssssHsG sG s， 闭环没有 闭环零点，闭环极点为：js5 . 12 2, 1 （4）. 5 . 2 n ，8 . 0，5 . 11 2 nd （5）. 2 4 n s t ，015. 0% 2 1 e p （6）. 因为标准型二阶系统单位阶跃信号的稳态输出为 1，最大值为 1+Mp=1+ p%=1.015，由于线性系统符合叠加原理，所以可得： 5c*5=25， cmax=5*5*1.015=25.375 （7）. 由于标准型欠阻尼二阶系统的单位阶跃响应为： 2 2 1 arctansin 1 1 1tetc d t n 所以系统单位阶跃响应为： 6435. 05 . 1sin 3 5 15 2 tetc t 利用线性系统的重要特征即可得单位脉冲响应： 批注批注 x5: 1.开环传递函数概念 2.标准形式 3.开环放大倍数概念 批注批注 x6: 1.标准形式 2.没有零点应予以说明 批注批注 x7: 1.应用终值定理时应说明极限存在的 依据 2.闭环增益不为 1 及输入不是单位阶 跃时的响应 批注批注 XXL8: 红色部分为两个印刷 批次的不同处 批注批注 x9: 1.可以采用拉氏反变换，也可采用线 性系统的重要特征求 2.进行积分时应注意积分常数 批注批注 x10: 1.稳定性判断或极限存在说明； 2.单位加速度信号的系数； 3.误差可以采用误差系数计算，也可 采用误差定义计算， 但一般在已经求 得误差系数时采用误差系数计算； 4.误差无穷大时并不说明系统是不稳 定的只能说明系统跟踪能力很差， 无 法跟随输入信号的变化， 系统不稳定 时则不存在误差或在任何输入信号 作用下误差均为无穷大。 te te tete dt tdc tc t t tt 5 . 1sin833.20 5 . 1sin 6 125 6435. 05 . 1cos5 . 26435. 05 . 1sin 3 10 5 2 2 22 【由于标准型欠阻尼二阶系统的单位阶跃响应为： 2 2 1 arctansin 1 1 1tetc d t n 所以系统单位阶跃响应为： 6435. 05 . 1sin 3 5 15 2 tetc t 】 （8）. 同理可得单位斜坡响应： Ctet Ctetet Ctetet dttedttctc t tt tt t v 287. 15 . 1sin 3 10 5 5 . 1cos 5 16 5 . 1sin 15 14 5 6435. 05 . 1cos26435. 05 . 1sin 3 8 5 6435. 05 . 1sin 3 5 15 2 22 22 2 积分常数 C 由初始状态为零的条件而得，即 0 2 287. 15 . 1sin 3 10 500 t t v Ctetc 可得 C=-3.2，所以单位斜坡响应为： 2 . 3287. 15 . 1sin 3 10 5 2 . 35 . 1cos 5 16 5 . 1sin 15 14 5 2 22 tet tetettc t tt v 【闭环传递函数为 Kss K Kss K s 05. 04 25. 0 2 . 044 2 可得 K05. 0 2 超调：10，得80K 衰减振荡：10，得80K 无超调：1，得80K，又系统稳定0K，所以800 K】 （9）. 由于系统为 I 型，所以其静态误差系数分别为： Kp= Kv=1. 5625 Ka=0 （10）. 系统对输入为 r(t)=5+2t+t2时的稳态误差为： 系统是二阶系统，开环传递函数中的系数均大于零（或由闭环传递函数中可 知极点的实部小于零） ，所以系统稳定 avp ss KKK e 1 2 1 2 1 1 5 3-16已知开环系统的传递函数如下（K0） ，试用罗斯判据判别其闭环稳定性， 并说明系统在 s 右半平面的根数及虚根数。 （1）. 32 1 sss sK sHsG （6）. 248 22 sss K sHsG 解： （1）. 特征方程为065 23 KsKss K K K K s s s s 0 5 4 6 5 61 0 1 2 3 当 K0 时，则第一列的符号全部大于零，所以闭环稳定，系统在 s 右半平面的 根数及虚根数均为 0。 （6）. 特征方程为0248 234 Ksss K K K K s s s s s 3 24 08 241 0 1 2 3 4 当 K0 时，第一列有一个数小于零，所以闭环不稳定；第一列符号变化了两次， 系统在 s 右半平面的根数为 2；第一列没有等于 0 的数，虚根数为 0。 3-19单位反馈系统的开环传递函数为 32 10 sss as sHsG，试求： 批注批注 x11: 1.特征方程应从闭环传递函数获得； 2.特征方程中有系数项为 0，并不一 定系统不稳定，也可能是临界稳定， 此时数学上的定义是稳定的； 3.只有第一列上出现 0 时，才采用设 无穷小正数的方法； 4.左平面的复数根并不是虚数根。 5.当前向传递函数的分母和反馈传递 函数的分子中有相同的因子时， 特征 方程中将包含有前向传递函数的分 母因子， 此时此因子应该具有左半平 面的根，否则系统不稳定，这种情况 在实际中是不会存在的。 （1）. 系统稳定的 a 值； （2）. 系统所有特征根的实部均小于-1 之 a 值。 （3）. 有根在（-1，0）时之 a 值。 解： 闭环传递函数为 asss as s 10165 10 23 （1）. 用罗斯判据可得： a a a s s s s 10 216 105 161 0 1 2 3 系统稳定，则应： 010 0216 a a ，即 a 值应为：80 a 注：当 a=0 时，则： 0 16 5 161 0 1 2 3 s s s s ，此时有 s=0 的根。 当 a=8 时， 则： 0 805 161 0 1 2 3 s s s s ， 得辅助方程 5s2+80=0， 求导得： 10s=0， 80 10 805 161 0 1 2 3 s s s s ， 此时有两个虚根：s=4j。 （2）. 令 1 1 ss ，即 1 1 ss ，此时当 0Re 1 s时，则 1Res。对闭环传 递函数进行变换得： 121092 110 1 2 1 3 1 1 11 asss as s 1210 515 12102 91 0 1 1 1 2 1 3 1 a a a s s s s 系统稳定，则应： 01210 0515 a a ，此时 0Re 1 s， 1Res。即 a 值应为： 32 . 1 a （3）. 由（1）和（2）可得，此时 a 应在（0，1.2）和(3,8)之间。 3-27已知系统的结构如图 3-34 所示。 (1). 要求系统动态性能指标p%=16.3%，ts=1s 【tp=1s】 ，试确定参数 K1、K2 批注批注 x12: 1.（2） 采用方程代数分析方法时需注 意 s 是复数域内的，需要按复变函数 的概念进行 批注批注 XXL13: 2.由于临界稳定在数 学上是稳定的，因此应包含临界值。 批注批注 XXL14: 因为是求小于-1 的 a 值，因此不包含边界值 批注批注 XXL15: 调整时间缺少误差范 围 批注批注 XXL16: 红色部分为两个印刷 批次的不同处 的值。 (2). 在上述 K1、K2之值下计算系统在 r(t)=t 作用下的稳态误差。 解： 系统的开环传递函数为： 1 110 1 110 10 110 10 2 2 1 2 1 s K s K K Kss K sG 系统的闭环传递函数为： 12 2 1 10110 10 KsKs K s 1 2 1 102 110 10 K K K n （1）. %3 .16% 2 1 e p 得： 1 2 102 110 5 . 0 K K 5%时：1 110 6 102 110 10 33 2 1 2 1 K K K K t n s 得：5 . 0 2 K，则：6 . 3 1 K，由系统传递函数可知，系统稳定 K1应 大于零，所以6 . 3 1 K 此时： 5 . 0 /6 srad n + - R(s) C(s) 1 10 ss + - sK2 1 K E(s) 图 3-34 题 3-27 图 批注批注 x17: 1.计算误差时，注意开环传递函数和 闭环传递函数 2.稳定性判断 2%时：1 110 8 102 110 10 44 2 1 2 1 K K K K t n s 得：7 . 0 2 K，则：4 . 6 1 K，由系统传递函数可知，系统稳定 K1应 大于零，所以4 . 6 1 K 此时： 5 . 0 /8 srad n 【1 1 2 n p t 得srad n /63. 3 5 . 011 22 所以： 32.1 10 2 1 K 263. 0 10 15 . 063. 32 10 12 2 n K】 （2）. 系统的开环传递函数为： 1 110 1 110 10 2 2 1 s K s K K sG