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7(补充) 空间解析几何简介,上页,下页,首页,1. 空间直角坐标系,2. 空间曲面与方程,7(补充) 空间解析几何简介,1. 空间直角坐标系,通常规定x轴，y轴，z轴的正向要遵循右手法则.,横轴,纵轴,竖轴,坐标原点,上页,下页,首页,面,面,面,空间直角坐标系共有八个卦限.,7(补充) 空间解析几何简介,上页,下页,首页,空间的点,有序数组,特殊点的表示:,坐标轴上的点,坐标面上的点,7(补充) 空间解析几何简介,上页,下页,首页,空间两点的距离公式,长方体的对角线长的平方等于三条棱 长的平方和，则：,所以点,间的距离为,由图可知，该长方体的各棱长分别为：,7(补充) 空间解析几何简介,上页,下页,首页,2. 空间曲面与方程,如果曲面S上任意一点的坐标都满足方程F(x,y,z)=0,7(补充) 空间解析几何简介,定义,不在曲面S上的点的坐标都不满足F(x,y,z)=0,则称方程 F(x,y,z)=0为曲面S的方程,而曲面S称为方程F(x,y,z)=0的图 形.,上页,下页,首页,7(补充) 空间解析几何简介,上页,下页,首页,例1 求与两定点M(-1,0,2),N(3,1,1)距离相等的点的轨迹方程.,解,设动点坐标为P( x, y, z),空间平面的方程为：,其中A、B、C、D都是常数，且A、B、C不全为0.,7(补充) 空间解析几何简介,上页,下页,首页,例2 作z = d （d为常数）的图形.,解,例3 求球心在点,半径为R的球面方程.,解 设P(x,y,z)是球面上任意一点， 则根据两点间的距离公式，得,整理，得,特别地，当球心在原点O(0,0,0)时，球面方程为,7(补充) 空间解析几何简介,上页,下页,首页,7(补充) 空间解析几何简介,上页,下页,首页,例4,解,7(补充) 空间解析几何简介,上页,下页,首页,例5,解,7(补充) 空间解析几何简介,上页,下页,首页,如果方程 是三元二次方程，则它的图形是曲面，称为二次曲面.,（1）对称轴为z轴，底面半径为R的圆柱的方程为,对称轴为y轴，底面半径为R的圆柱的方程为,对称轴为x轴，底面半径为R的圆柱的方程为,7(补充) 空间解析几何简介,上页,下页,首页,（2）球心在原点，半径为R的上半球面的方程为,（3）圆锥曲面,7(补充) 空间解析几何简介,上页,下页,首页,（4）椭球面,7(补充) 空间解析几何简介,(5) 抛物面,上页,下页,首页,特殊地：当 时，方程变为,旋转抛物面,（由 面上的抛物线 绕它的轴旋转而成的）,与平面 的交线为圆.,当 变动时，这种圆的中心都在 轴上.,7(补充) 空间解析几何简介,上页,下页,首页,（ 与 同号）,（6）双曲抛物面（马鞍面）,7(补充) 空间解析几何简介,上页,下页,首页,第七章 多元函数微积分 7.1 多元函数 7.2 偏导数 7.3 全微分 7.4 复合函数的偏导数 7.5 偏导数的几何应用 7.6 多元函数的极值 7.7 二重积分 7.8 二重积分的应用,下页,7.1 多元函数,1. 多元函数的概念,2. 二元函数的极限,3. 二元函数的连续性,首页,上页,下页,7.1 多元函数,1. 多元函数的概念,圆锥的体积和它的底半径R，高H之间具有关系,例1,对于R、H在一定范围内取一对确定的值，V都有 惟一确定的值与之对应.,例2,设R是电阻R1,R2并联后的总电阻，由电学知道，它们之 间具有关系,对于R1,R2在一定范围内取一对确定的值，R都有惟一确定的值与之对应.,首页,上页,下页,定义1,设在某一变化过程中有三个变量x，y，z，如果对于,变量x，y在其变化范围内所取的每一对数值，,变量z按照某一,法则f，都有惟一确定的数值与之对应，则称z为x，y的二元,函数，记作z=f (x，y).,自变量x，y的取值范围叫做函数的定义域，通常记为D.,二元及二元以上的函数统称为多元函数.,7.1 多元函数,因变量,自变量,首页,上页,下页,7.1 多元函数,所谓平面区域，是指整个x , y 平面或x , y平面上由几条曲线所围成的部分. 围成平面区域的曲线称为区域的边界，包括边界在内的区域称为闭区域，不包含边界在内的区域称为开区域. 如果一个区域可以包含在一个以原点为圆心、半径适当大的圆内，则称该区域为有界区域，否则称为无界区域.,对于自变量x, y 的一组值，对应着xoy面上的一点P（x , y）因此，二元函数也可以看作是平面上点的函数，即Z = f（P）.,首页,上页,下页,例3,求下列函数的定义域并画出图形：,.,解,（1）由对数函数的定义可知，该函数的定义域是：,7.1 多元函数,首页,上页,下页,（2）要使Z有意义，必须,即,所以，所求函数的定义域是,7.1 多元函数,首页,上页,下页,7.1 多元函数,二元函数z = f (x , y )的图形,首页,上页,下页,例4,作二元函数,的图形.,解,由,两边平方，得,整理，得,7.1 多元函数,首页,上页,下页,2. 二元函数的极限,定义2,设函数z =f(x , y)在点,的某个领域内有定义,(点P0可以除外),如果当点P(x, y)沿任意路经趋于点,f（x, y）趋向于一个确定的常数A，则称A是函数,当P（x, y）趋于,时的极限，记作,上述二元函数的极限又叫做二重极限.,7.1 多元函数,邻域:,首页,上页,下页,例5,求极限,解,2.,例6,求极限,解,7.1 多元函数,首页,上页,下页,例7,讨论极限,是否存在？,解,因为当P（x , y ）沿直线y = 0趋于点（0，0）时，有,0,而当点P（x , y）沿直线y = x 趋于点（0，0）时，有,所以，极限,不存在.,7.1 多元函数,首页,上页,下页,3. 二元函数的连续性,定义3,设函数f（x ,y）在,的某个邻域内有定义，,如果极限,存在，且,则称二元函数f（x ,y）在点,处连续. 如果函数f（x ,y）,在区域D内,的每一点都连续，则称f（x ,y）在区域D内连续.,7.1 多元函数,二元初等函数在其定义区域（指包含在定义域内的区域）内是连续的.,首页,上页,下页,例8,求下列极限,解,（1）,（2）,（1）,（2）,7.1 多元函数,函数f（x ,y）不连续的点称为函数的间断点.,(0,0),首页,上页,下页,1. 偏导数的概念,7.2 偏导数,2. 高阶偏导数,3. 偏导数的经济意义,首页,上页,下页,1. 偏导数的概念,定义,设函数Z=f（x，y）在点(x0, y0)的某邻域内有定义，,当自变量y保持定值y0 ，而自变量x在,处有增量x时，,相应的函数有增量,如果极限,存在，则称此极限值为函数Z=f（x，y）在点 处,对x的偏导数，记作,7.2 偏导数,首页,上页,下页,即,类似地,如果极限,存在,那么称此,极限值为函数Z=f（x，y）在点 处对y的偏导数，记作,即,7.2 偏导数,首页,上页,下页,7.2 偏导数,如果函数Z= f（x，y）在区域D内每一点(x，y)处对x的,偏导数都存在，这个偏导数仍是x，y的函数，,则称这个函数为,Z= f（x，y）对自变量x的偏导函数，记作,即,类似地，z = f（x ,y）对自变量y的偏导函数记作,即,首页,上页,下页,例1,求 在(1,2)的偏导数.,解,7.2 偏导数,首页,上页,下页,例2,设,求,解,例3,求三元函数 u=2xy+3yz+5zx 的偏导数.,解,7.2 偏导数,首页,上页,下页,在点M 处的切线关于x轴和y轴的斜率.,根据一元函数导数的几何意义知，偏导数 和,在几何上，分别表示曲线,7.2 偏导数,首页,上页,下页,2. 高阶偏导数,设函数z=f（x，y）在区域D内具有偏导数,则它们仍然是x，y的函数. 如果这两个偏导函数对x和对y的偏导数也存在，,则称它们的偏导数是f（x，y）的二阶偏导数.,7.2 偏导数,（1）两次都对x求偏导数，即 ，记作,首页,上页,下页,7.2 偏导数,（2）第一次对x，第二次对y求偏导数，即 ，记作,（3）第一次对x，第二次对y求偏导数，即 ，记作,（4）两次都对y求偏导数，即 ，记作,二阶及二阶以上的偏导数统称为高阶偏导数.,二阶混合偏导数,二阶混合偏导数,首页,上页,下页,例4,设 求,解,7.2 偏导数,首页,上页,下页,定理,如果函数z=f（x，y）的两个二阶混合偏导数,及,在区域D内连续，则在该区域内这两个二阶混合偏导数,必相等.,定理说明，只要两个混合偏导数连续，则它们与求导次序无关. 类似地，对于二阶以上的高阶混合偏导数，在混合偏导数连续的条件下，也与求导次序无关.,7.2 偏导数,首页,上页,下页,例5,设,求,解,7.2 偏导数,首页,上页,下页,例6,验证函数,满足方程：,证,因此,7.2 偏导数,拉普拉斯方程,3. 偏导数的经济意义,当价格P2不变而P1发生变化时，需求量Q1和Q2将随P1变化而变化，需求量Q1和Q2对价格的弹性分别为,11称为甲商品需求量Q1对自身价格P1的直接价格偏弹性， 21称为甲商品需求量Q2对自身价格P1的交叉价格偏弹性.,类似地，可定义并解释,7.2 偏导数,首页,上页,下页,例7,已知某商品需求量Q1是该商品价格P1与另一相关商品价格 P2 的函数，且,Q1=120-2P1+15P2，,求当,时，需求的直接价格偏弹性11及交叉价格,偏弹性12.,解,当,时，,又,7.2 偏导数,首页,上页,下页,7.3 全微分,1. 全微分的概念,2. 全微分在近似计算中的应用,首页,上页,下页,7.3 全微分,1. 全微分的概念,f（x+x）f（x）f（x）x.,对x的偏增量,对x的偏微分,对y的偏增量,对y的偏微分,首页,上页,下页,设函数z=f（x，y）在点（x，y）的某个领域内有义，点（x+x，y+y）在该邻域内，如果函数z=f（x，y）在点（x，y）的全增量,定义,z=f（x+x，y+y） f（x，y）,可以表示为,z=Ax+By+,其中A、B是x，y的函数，与x，y无关，,是一个比高阶的无穷小，则称A x+B y是二元函数,Z= f（x,y）在点（x , y）处的全微分，记作dz，即,7.3 全微分,dz=Ax+By.,这时，也称二元函数Z= f（x,y）在点（x，y）处可微.,首页,上页,下页,如果函数z=f（x，y）在点（x，y）处可微分，则它在点（x，y）处连续.,定理1,7.3 全微分,证,首页,上页,下页,定理2,（可微的必要条件）如果函数z=f（x，y）在点（x，y）,可微， 则它在点（x，y）处的两个偏导数,必存在，且,7.3 全微分,证,首页,上页,下页,（可微的充分条件） 如果函数,在点,处的两个偏导数,都连续，则函数在该点可微.,例1,求函数 的全微分.,解,所以,dz=2xydx+x2dy.,定理 3,7.3 全微分,首页,上页,下页,例2,求函数 的全微分.,解,7.3 全微分,首页,上页,下页,例3,求函数 在点(2,1)处的全微分.,解,7.3 全微分,首页,上页,下页,2. 全微分在近似计算中的应用,7.3 全微分,首页,上页,下页,例4,当正圆锥体变形时，它的底面半径由30cm增大到30.1cm， 高由60cm减少到59.5cm，求正圆锥体体积变化的近似值.,解,将r=30，r=0.1，h=60，h=0.5代入上式，得,7.3 全微分,首页,上页,下页,例5,计算（0.99）2.02的近似值 .,解,设 f (x, y)=xy,取,x=0.01,y=2,y=0.02,则,f（1，2）=1,7.3 全微分,首页,上页,下页,7.4 复合函数的偏导数,1. 复合函数的偏导数,2. 隐函数的偏导数,首页,上页,下页,7.4 复合函数的偏导数,1. 复合函数的偏导数,设函数,是变量u、v的函数,而,又是x,y的函数，则,是x,y的复合函数.,中间变量,函数结构图,首页,上页,下页,7.4 复合函数的偏导数,定理,如果函数z=f(u，v)关于u，v有连续的一阶偏导数，,又函数u=u(x，y),v=v(x，y)在点(x，y)有偏导数,则复合函数,z=f(u(x，y)，v(x，y),在点(x，y)的偏导数存在，且,链式法则,首页,上页,下页,例1,解,设z=eucosv，而u=x+2y，v=x2-y2，求,7.4 复合函数的偏导数,首页,上页,下页,7.4 复合函数的偏导数,二元复合函数求导的链式法则对三元及三元以上的复合函数也是成立的.,首页,上页,下页,下面看链式法则的两种特殊情况.,（1）,（2）,全导数,7.4 复合函数的偏导数,首页,上页,下页,例2,设z=ln(3u+2v)，u=x2，v=cosx，求,7.4 复合函数的偏导数,解,首页,上页,下页,例3,设函数z=f(u，v)对u，v具有连续偏导数，求z=f(xy，x2+y2),的偏导数,及,解,7.4 复合函数的偏导数,首页,上页,下页,例4,设,求,解,7.4 复合函数的偏导数,首页,上页,下页,7.4 复合函数的偏导数,首页,上页,下页,2. 隐函数的偏导数,7.4 复合函数的偏导数,首页,上页,下页,例5,求由方程,所确定的隐函数,的导数,解,设,于是,7.4 复合函数的偏导数,首页,上页,下页,7.4 复合函数的偏导数,首页,上页,下页,例6,设 x3+y3+z3=3xyz. 求,解,设,F(x,y,z)= x3+y3+z3-3xyz, 则,于是,7.4 复合函数的偏导数,首页,上页,下页,例7,求,解,设,7.4 复合函数的偏导数,首页,上页,下页,7.5 偏导数的几何应用,1. 空间曲线的切线及法平面,2. 曲面的切平面与法线,首页,上页,下页,7.5 偏导数的几何应用,1. 空间曲线的切线及法平面,空间曲线在一点处的割线的极限位置定义为曲线在该点处的切线.,在空间，过切点且与切线垂直的法线所构成的平面，称为空间曲线的法平面.,首页,上页,下页,7.5 偏导数的几何应用,首页,上页,下页,曲线,在点,处的切线方程为,切向量,在点,处的法平面方程为,7.5 偏导数的几何应用,首页,上页,下页,例1,求曲线,在点,处的切线方程和,法平面方程.,解,因为点,对应的参数值为,，所以,所求切线方程为,法平面方程为,即,7.5 偏导数的几何应用,首页,上页,下页,例2,求曲线,在点,处的切线方程和,法平面方程.,7.5 偏导数的几何应用,解,所求切线方程为,法平面方程为,即,首页,上页,下页,2. 曲面的切平面与法线,7.5 偏导数的几何应用,首页,上页,下页,称为曲面S在点 处的切平面.,7.5 偏导数的几何应用,切平面的法向量为n，切平面的方程为,过,点的所有切线都在同一平面上，这个平面,过点,且垂直于切平面的直线称为曲面在该点的法线. 法线,方程为,首页,上页,下页,例1,求球面,在点,处的切平面方程及,法线方程.,解,设,，则,所求切平面的方程为,即,法线方程为,7.5 偏导数的几何应用,首页,上页,下页,例2,求旋转抛物面,在点,处的切平面,方程及法线方程.,解,7.5 偏导数的几何应用,所求切平面的方程为,即,法线方程为,首页,上页,下页,7.6 多元函数的极值,1. 极值及其求法,2. 最大值与最小值,3. 条件极值,拉格朗日乘数法,首页,上页,下页,7.6 多元函数的极值,1. 极值及其求法,定义,设函数数z=f (x，y)在点P0(x0，y0)的某一领域内有,定义. 如果对该邻域内任一异于P0的点P (x，y),都有,f (x，y)f (x0，y0),则称函数z=f (x，y)在点P0(x0，y0)处有极大值 f (x0，y0)；,如果都有,f (x，y)f(x0，y0),则称函数z= f (x,y)在点P0(x0，y0)处有极小值 f (x0，y0).,函数的极大值和极小值统称为极值，使得函数取极值的点 称为极值点.,首页,上页,下页,7.6 多元函数的极值,在点(0,0)处函数取得极大值1.,在点(0,0)处取得极小值0 .,首页,上页,下页,定理1,(极值的必要条件) 设函数z=f (x, y)在点,都存在，则必有,fx(x0，y0)=0，fy(x0，y0)=0.,满足方程组,的点(x0, y0)，称为函数z=f (x, y)的驻点.,P0(x0, y0),7.6 多元函数的极值,处的两个偏导数,首页,上页,下页,点(0,0)是函数 的驻点,不是函数的极值点.,7.6 多元函数的极值,只要函数z=f (x, y)的两个偏导数存在，那么，它的极值点一定是驻点. 但是函数的驻点不一定是极值点.,首页,上页,下页,定理2,(极值的充分条件) 设函数z=f (x, y)在点,的某一领域内有二阶连续偏导数,且,即f x(x0，y0)=0，f y(x0，y0)=0. 记,是函数的驻点，,f xx(x0，y0)=A，f xy(x0，y0)=B， f yy(x0，y0)=C，,（1）,时，函数z=f (x, y)在点,处有,极值,且当A0时,有极大值;当A0时,有极小值；,（2）,时,函数z=f (x, y)在点,处没有,极值;,（3）,时,函数z=f (x, y)在点,处可能,有极值,也可能没有极值.,7.6 多元函数的极值,首页,上页,下页,7.6 多元函数的极值,求具有二阶连续偏导数的函数z=f (x, y)极值的一般方法：,（1）求导数：,（2）找驻点：,（3）判极值：将驻点代入二阶导数中,依次求出A,B,C,并计算出 ,判定驻点是否为极值点,如果是极值点,则代入原函数中,求出极值.,首页,上页,下页,例1,求函数 的极值.,解,因此，函数有两个驻点(0,0)及(2,2).,在点(0,0)处,代入原函数，算得极大值为f (0,0)=3 .,7.6 多元函数的极值,首页,上页,下页,在(2,2)处,所以,函数在点(2,2)处没有极值.,7.6 多元函数的极值,首页,上页,下页,2. 最大值与最小值,例2,要做一个容积为32 的无盖长方体箱子,问长、宽、 高各为多少时,才能使所用材料最省？,解,设长方体箱子的长、宽、高分别为x (cm)，y (cm)， Z (cm)，表面积为A .,由上述两式消去z，得,7.6 多元函数的极值,首页,上页,下页,解之,得驻点为(4,4).,由问题的实际意义知,面积A在区域,内一定取得最小值,此时,箱子的高为2.,7.6 多元函数的极值,首页,上页,下页,例3,设某企业生产甲、乙两种产品，其销售单价分别为10元 和13元，生产x万件甲产品与y万件乙产品的总成本是,问当两种产品的产量各为多少时利润最大,最大利润是多少?,解,求得函数的驻点为(1,6).,L(1,6)=44 (万件).,7.6 多元函数的极值,最大利润为,首页,上页,下页,3. 条件极值,拉格朗日乘数法,对函数的自变量附加约束条件的极值问题,称为条件极值.,求函数z= f (x, y)在约束条件(x, y)=0下的极值.,（1）构造拉格朗日函数,拉格朗日函数,7.6 多元函数的极值,用拉格朗日乘数法求解的步骤如下:,拉格朗日乘数,首页,上页,下页,（2）求驻点,解之，即得原函数f (x, y)满足约束条件的驻点(x0, y0),和乘数的值.,7.6 多元函数的极值,（3）判极值,一般可根据问题的实际意义，判定 是否为极值点.,首页,上页,下页,7.6 多元函数的极值,上述方法还可推广到多个自变量和多个约束条件的情形.,例如,下的极值.,首页,上页,下页,例4,求表面积为2a2(a0)而体积为最大的长方体的体积.,解,设此长方体的长、宽、高分别为x, y, z,则问题化为在条件,下,求函数,的最大值.,7.6 多元函数的极值,最大体积为,首页,上页,下页,例5,某工厂生产两种商品的日产量分别为x和y(单位:件),总成本函数(单位:元),如果商品的限额为,，试求最小成本.,解,7.6 多元函数的极值,最小成本,首页,上页,下页,1. 二重积分的概念与简单性质,7.7 二重积分,2. 在直角坐标系下的二重积分的计算,3. 在极坐标下的二重积分的计算,首页,上页,下页,1. 二重积分的概念与简单性质,7.7 二重积分,例1 求曲顶柱体的体积.,第i个小曲顶柱体的体积近似值,整个曲顶柱体体积的近似值,首页,上页,下页,(i=1,2,n)表示第i个小区域,也表示它的面积.,其中,设f(x, y)是定义在有界闭区域D上的有界函数,将闭区 域D任意地分割成n个小区域,7.7 二重积分,定义,在每个小区域i ,上任取一点,作和式,如果当各小区域的直径中的最大值趋于零时,上述和式的极限存在,则称此极限值为函数f (x, y)在闭区域D上的二重积分，,记作,首页,上页,下页,7.7 二重积分,即,积分和式,积分区域,面积元素,积分变量,被积函数,被积表达式,性质1,有限个函数代数和的二重积分等于各函数二重积分的,代数和.,首页,上页,下页,性质2,被积函数的常数因子可以提到二重积分号的外面,即,(k为常数),性质3,(可加性) 如果将闭区域D分为两个闭区域D1与D2,则,在D上的二重积分等于D1与D2上的二重积分的和,即,7.7 二重积分,性质4,如果在D上，,为D的面积,则,首页,上页,下页,性质5,(保号性) 如果在D上，f (x, y) g (x, y),则有不等式,性质6,(估值性质) 设M, m分别是f (x, y)在闭区域D上的最大,值和最小值,是D的面积,则有,性质7,(中值定理) 设函数f (x, y)在闭区域D上连续,是D的,面积,则在D上至少存在一点(,)使得,7.7 二重积分,首页,上页,下页,7.7 二重积分,2. 在直角坐标系下的二重积分的计算,首页,上页,下页,7.7 二重积分,X-型区域,首页,上页,下页,7.7 二重积分,首页,上页,下页,7.7 二重积分,Y-型区域,首页,上页,下页,既是X-型区域,又是Y-型区域,7.7 二重积分,首页,上页,下页,例2,计算二重积分,，其中D是由y=x和y