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文档简介

9.3 高阶微分方程的降阶法,二阶及二阶以上的微分方程通称为高阶方程,可降阶的方程-,通过初等变换降低阶数求解的方程,P.34例1,二. 不显含因变量的方程,代入原方程, 得,解法：,特点：,P(x)的(n-k)阶方程,可得通解.,一般, 型,解,代入原方程,解线性方程, 得,两端积分,得,原方程通解为,例 1,P.35例2,P.36例3,有一质量均匀分布的不可伸缩的柔软绳索,两端固定,绳索在重力的作用下自然下垂,求该绳索在平衡状态下的曲线方程.,解:设M为绳索上任一点,弧段OM上的受力如图所示,(悬链线),P.37例4,我舰向正东1km处的敌舰发射制导鱼雷,鱼雷在航行中始终对准敌舰.设敌舰以常速v0沿正北方向直线航行,已知鱼雷的速度是敌舰速度的2倍,求鱼雷航行曲线的方程,并问敌舰航行多远时将被鱼雷击中?,解:建立坐标如图所示,鱼雷航行曲线的方程为y=y(x).设在时刻t, 鱼雷位于点P(x,y)处,敌舰位于点A(1, v0t)处,且AP是曲线在点A的切线,即,三. 不显含自变量的方程,求得其解为,原方程通解为,特点：,解法：,一般, 型,P.40例6,(一阶线性非齐次),(可分离变量),P.41例7,证明：曲率半径为常数R的曲线是圆。,证明：,设曲线方程为,则曲率为,方程化为,即,两边积分：,两边积分：,两边平方，整理得,以上为圆的方程，故曲线为圆。,P.42例8.脱离速度问题,要使垂直向上发射的物体永远离开地面,问发射速度v0至少
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