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一、可分离变量的微分方程,二、齐次方程,四、变量代换法解方程,第二节 一阶微分方程,三、一阶线性微分方程,一、可分离变量的微分方程,如果一阶微分方程可以化为下列形式:,则称原方程为可分离变量的微分方程。,运用积分方法即可求得可分离变量方程的通解:,其中C 为积分后出现的任意常数。,例1 求微分方程,解,分离变量,两端积分,解,两边同时积分,得,故所求通解为,二、齐次方程,变量代换,代入原方程,得,形如,解,于是,原方程化为,两边积分,得,即,例4 求解微分方程,微分方程的通解为,解,例5 求解微分方程,解,微分方程的解为,三、一阶线性微分方程,形如,的方程称为一阶线性微分方程。,方程称为一阶齐次线性方程。,方程称为一阶非齐次线性方程。,习惯上,称,为方程,所对应的齐次方程。,一阶齐次线性方程的解,运用分离变量法,得,两边积分,得,故,的解存在,且唯一,其通解为,解,故该一阶齐线性方程的通解为,套公式!,解,先求此一阶齐线性方程的通解:,故该初值问题的解为,一阶非齐次线性方程的解,比较两个方程:,请问,你有什么想法?,请问,你有什么想法?,行吗 ?!,故,即,上式两边积分,求出待定函数,解,例6,第一步,求相应的齐次方程的通解,解,例6,第二步,常数变易法求非齐次方程的通解,解,所以,方程的通解为,套公式!,解,原方程可以改写为,这是一个以 y 为自变量的一阶非齐线性方程,其中,故原方程的通解为,四、利用变量代换求微分方程的解,四、利用变量代换求微分方程的解,解,代入原方程,原方程的通解为,例11 用适当的变量代换解下列微分方程:,解,所求通解为,解,分离变量法得,所求通解为,解,代入原式,分离变量法得,所求通解为,另解,(一阶线性微分方程),五、小结,1.可分离变量的微分方程:,分离变量法,(1)分离变量;,(2)两端积分-隐式通解.,可分离变量的微分方程解法:,3
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