高考数学专题七立体几何第练空间角与空间距离的求解练习创新.doc

【步步高】（浙江专用）2017年高考数学 专题七 立体几何 第55练 空间角与空间距离的求解练习训练目标(1)会求线面角、二面角；(2)会解决简单的距离问题.训练题型(1)求直线与平面所成的角；(2)求二面角；(3)求距离.解题策略利用定义、性质去“找”所求角，通过解三角形求角的三角函数值，尽量利用特殊三角形求解.一、选择题1.(2015上海闵行区三模)如图，在底面是边长为a的正方形的四棱锥PABCD中，已知PA平面ABCD，且PAa，则直线PB与平面PCD所成的角的余弦值为()A. B.C. D.2(2015邯郸上学期教学质量检测)在正四棱锥PABCD中，PA2，直线PA与平面ABCD所成角为60，E为PC的中点，则异面直线PA与BE所成的角为()A90 B60C45 D303.如图所示，在三棱锥SABC中，ABC是等腰三角形，ABBC2a，ABC120，SA3a，且SA平面ABC，则点A到平面SBC的距离为()A. B.C. D.二、填空题4(2015丽水二模)如图，在正方体ABCDA1B1C1D1中，点M为平面ABB1A1的中心，则MC1与平面BB1C1C所成角的正切值为_5如图所示，在三棱锥SABC中，SBC，ABC都是等边三角形，且BC1，SA，则二面角SBCA的大小为_6.如图，在棱长为1的正方体ABCDA1B1C1D1中，点P在线段AD1上运动，给出以下命题：异面直线C1P与CB1所成的角为定值；二面角PBC1D的大小为定值；三棱锥DBPC1的体积为定值；异面直线A1P与BC1间的距离为定值其中真命题的个数为_三、解答题7(2015浙江名校交流卷)如图，在ABC中，ABC45，点O在AB上，且OBOCAB，PO平面ABC，DAPO，DAAOPO.(1)求证：PB平面COD；(2)求二面角OCDA的余弦值8(2015宁波二模)如图，正四棱锥SABCD中，SAAB2，E，F，G分别为BC，SC，CD的中点设P为线段FG上任意一点(1)求证：EPAC；(2)当P为线段FG的中点时，求直线BP与平面EFG所成角的余弦值9(2015安徽江南十校上学期期末大联考)如图，四棱锥PABCD中，底面ABCD为矩形，PA底面ABCD，且PB与底面ABCD所成的角为45，E为PB的中点，过A，E，D三点的平面记为，PC与的交点为Q.(1)试确定Q的位置并证明；(2)求四棱锥PABCD被平面所分成上下两部分的体积之比；(3)若PA2，截面AEQD的面积为3，求平面与平面PCD所成的锐二面角的正切值答案解析1D设B到平面PCD的距离为h，直线PB与平面PCD所成的角为，则由等体积法可得aahaaa，ha.又PBa，sin ，又(0，)，cos .故选D.2C如图，连接AC，BD交于点O，连接OE，OP.因为E为PC中点，所以OEPA，所以OEB即为异面直线PA与BE所成的角因为四棱锥PABCD为正四棱锥，所以PO平面ABCD，所以AO为PA在平面ABCD内的射影，所以PAO即为PA与平面ABCD所成的角，即PAO60.因为PA2，所以OAOB1，OE1.所以在直角三角形EOB中，OEB45，即异面直线PA与BE所成的角为45.故选C.3A作ADCB交CB的延长线于点D，连接SD，如图所示SA平面ABC，BC平面ABC，SABC.又BCAD，SAADA，SA平面SAD，AD平面SAD，BC平面SAD，又BC平面SBC，平面SBC平面ASD，且平面SBC平面ASDSD.在平面ASD内，过点A作AHSD于点H，则AH平面SBC，AH的长即为点A到平面SBC的距离在RtSAD中，SA3a，ADABsin 60a.由，得AH，即点A到平面SBC的距离为.4.解析如图，过点M作BB1的垂线，垂足为N，则MN平面BB1C1C，连接NC1，则MC1N为MC1与平面BB1C1C所成的角设正方体的棱长为2a，则MNa，NC1a，所以tanMC1N.560解析取BC的中点O，连接SO，AO，因为ABAC，O是BC的中点，所以AOBC，同理可证SOBC，所以SOA是二面角SBCA的平面角在AOB中，AOB90，ABO60，AB1，所以AO1sin 60.同理可求SO.又SA，所以SOA是等边三角形，所以SOA60，所以二面角SBCA的大小为60.64解析对于，因为在棱长为1的正方体ABCDA1B1C1D1中，点P在线段AD1上运动，在正方体中有B1C平面ABC1D1，而C1P平面ABC1D1，所以B1CC1P，所以这两个异面直线所成的角为定值90，故正确；对于，因为二面角PBC1D的实质为平面ABC1D1与平面BDC1所成的二面角，而这两个平面为固定不变的平面，所以夹角也为定值，故正确；对于，三棱锥DBPC1的体积还等于三棱锥PDBC1的体积，而DBC1面积一定，又因为PAD1，而AD1平面BDC1，所以点A到平面DBC1的距离即为点P到该平面的距离，所以三棱锥的体积为定值，故正确；对于，因为直线A1P和BC1分别位于平面ADD1A1，平面BCC1B1中，且这两个平面平行，由异面直线间的距离定义及求法，知这两个平面间的距离即为所求的异面直线间的距离，所以这两个异面直线间的距离为定值，故正确7(1)证明因为PO平面ABC，ADPO，AB平面ABC，所以POAB，DAAB.又DAAOPO，所以AOD45.因为OBAB，所以OAAB，所以OAOB，又AOPO，所以OBOP，所以OBP45，即ODPB.又PB平面COD，OD平面COD，所以PB平面COD.(2)解如图，过A作AMDO，垂足为M，过M作MNCD于N，连接AN，则ANM为二面角OCDA的平面角设ADa，在等腰直角三角形AOD中，得AMa，在直角三角形COD中，得MNa，在直角三角形AMN中，得ANa，所以cosANM.8(1)证明设AC交BD于O，SABCD为正四棱锥，SO底面ABCD，BDAC，又AC平面ABCD，SOAC，BDSOO，AC平面SBD，E，F，G分别为BC，SC，CD的中点，FGSD，BDEG.又FGEGG，SDBDD，平面EFG平面BSD，AC平面GEF.又PE平面GEF，PEAC.(2)解过B作BHGE于H，连接PH，BDAC，BDGH，BHAC，由(1)知AC平面GEF，则BH平面GEF.BPH就是直线BP与平面EFG所成的角在RtBHP中，BH，PH，PB，故cosBPH.9解(1)Q为PC的中点证明如下：因为ADBC，AD平面PBC，BC平面PBC，故AD平面PBC.又由于平面平面PBCEQ，故ADEQ，所以BCEQ.又E为PB的中点，故Q为PC的中点(2)如图，连接EQ，DQ，因为PA底面ABCD，所以PB与底面ABCD所成的角为PBA45.故PAAB.又因为E为PB的中点，所以PEAE.因为四边形ABCD是矩形，所以ADAB.又PA底面ABCD，AD底面ABCD，所以ADPA.又PAABA，所以AD平面PAB，又PE平面PAB，所以ADPE.又AEADA，AE平面，AD平面，故PE平面.设PAh，AD2a，设四棱锥PABCD被平面所分成的上下两部分的体积分别为V1和V2，则EQa.又因为AD平面PAB，AE平面PAB，所以ADAE.V上PES梯形AEQD(a2a)，V下PAS底面ABCDV上h2ah，所以.(3)过E作EFDQ，连接PF，因为PE平面，所以PEDF.又由于EFPEE，所以DF平面PEF，则DF