2019届高考数学复习导数及其应用3.2第1课时导数与函数的单调性学案文北师大版.docx

3.2导数的应用最新考纲考情考向分析1.了解函数单调性和导数的关系；能利用导数研究函数的单调性，会求函数的单调区间(其中多项式函数一般不超过三次)2.了解函数在某点取得极值的必要条件和充分条件；会用导数求函数的极大值、极小值(其中多项式函数一般不超过三次)；会求闭区间上函数的最大值、最小值(其中多项式函数一般不超过三次)3.会利用导数解决某些实际问题(生活中的优化问题).考查函数的单调性、极值、最值，利用函数的性质求参数范围；与方程、不等式等知识相结合命题，强化函数与方程思想、转化与化归思想、分类讨论思想的应用意识；题型以解答题为主，一般难度较大.1函数的单调性如果在某个区间内，函数yf(x)的导数f(x)0，则在这个区间上，函数yf(x)是增加的；如果在某个区间内，函数yf(x)的导数f(x)0(f(x)0.()(2)如果函数f(x)在某个区间内恒有f(x)0，则f(x)在此区间内没有单调性()(3)函数的极大值不一定比极小值大()(4)对可导函数f(x)，f(x0)0是x0点为极值点的充要条件()(5)函数的最大值不一定是极大值，函数的最小值也不一定是极小值()题组二教材改编2如图是函数yf(x)的导函数yf(x)的图像，则下面判断正确的是()A在区间(2,1)上f(x)是增加的B在区间(1,3)上f(x)是减少的C在区间(4,5)上f(x)是增加的D当x2时，f(x)取到极小值答案C解析在(4,5)上f(x)0恒成立，f(x)是增加的3设函数f(x)ln x，则()Ax为f(x)的极大值点Bx为f(x)的极小值点Cx2为f(x)的极大值点Dx2为f(x)的极小值点答案D解析f(x)(x0)，当0x2时，f(x)2时，f(x)0，x2为f(x)的极小值点4函数f(x)x36x2的递减区间为_答案(0,4)解析f(x)3x212x3x(x4)，由f(x)0，得0x0，得x2或x2；令f(x)0，得2x2.所以f(x)在(，2)，(2，)上是增加的；在(2,2)上是减少的，而f(2)，f(0)4，f(3)1，故f(x)在0,3上的最大值是4，最小值是.题组三易错自纠6函数f(x)的定义域为R，导函数f(x)的图像如图所示，则函数f(x)()A无极大值点、有四个极小值点B有三个极大值点、一个极小值点C有两个极大值点、两个极小值点D有四个极大值点、无极小值点答案C解析导函数的图像与x轴的四个交点都是极值点，第一个与第三个是极大值点，第二个与第四个是极小值点7已知定义在实数集R上的函数f(x)满足f(1)3，且f(x)的导数f(x)在R上恒有f(x)2(xR)，则不等式f(x)2x1的解集为_答案(1，)解析令g(x)f(x)2x1，g(x)f(x)20，g(x)在R上是减少的，g(1)f(1)210.由g(x)1.不等式的解集为(1，)8设aR，若函数yexax有大于零的极值点，则实数a的取值范围是_答案(，1)解析yexax，yexa.函数yexax有大于零的极值点，方程yexa0有大于零的解，当x0时，ex1，aex0，即8x0，解得x，函数y4x2的递增区间为.故选B.2已知函数f(x)xln x，则f(x)()A在(0，)上是增加的B在(0，)上是减少的C在上是增加的D在上是减少的答案D解析因为函数f(x)xln x的定义域为(0，)，所以f(x)ln x1(x0)，当f(x)0时，解得x，即函数的递增区间为；当f(x)0时，解得0x0，则其在区间(，)上的解集为，即f(x)的递增区间为和.思维升华 确定函数单调区间的步骤(1)确定函数f(x)的定义域(2)求f(x)(3)解不等式f(x)0，解集在定义域内的部分为递增区间(4)解不等式f(x)0，故f(x)在(0，)上是增加的；当a0时，f(x)0，故f(x)在(0，)上是减少的；当0a1时，令f(x)0，解得x ，则当x时，f(x)0，故f(x)在上是减少的，在上是增加的综上所述，当a1时，f(x)在(0，)上是增加的；当a0时，f(x)在(0，)上是减少的；当0a0)试讨论f(x)的单调性解由题意得f(x)exax2(2a2)x(a0)，令f(x)0，解得x10，x2.当0a1时，f(x)的递增区间为和(0，)，递减区间为.题型三函数单调性的应用问题命题点1比较大小或解不等式典例 (1)(2017南昌模拟)已知定义在上的函数f(x)的导函数为f(x)，且对于任意的x，都有f(x)sin xf Bf f(1)C.f f D.f f 答案A解析令g(x)，则g(x)，由已知g(x)g，即，f f .(2)设f(x)是定义在R上的奇函数，f(2)0，当x0时，有0的解集是_答案(，2)(0,2)解析当x0时，0，(x)在(0，)上是减少的，又(2)0，在(0，)上，当且仅当0x0，此时x2f(x)0.又f(x)为奇函数，h(x)x2f(x)也为奇函数故x2f(x)0的解集为(，2)(0,2)命题点2根据函数单调性求参数典例 (2018石家庄质检)已知函数f(x)ln x，g(x)ax22x(a0)(1)若函数h(x)f(x)g(x)存在递减区间，求a的取值范围；(2)若函数h(x)f(x)g(x)在1,4上是减少的，求a的取值范围解(1)h(x)ln xax22x，x(0，)，所以h(x)ax2，由于h(x)在(0，)上存在递减区间，所以当x(0，)时，ax2有解设G(x)，所以只要aG(x)min即可而G(x)21，所以G(x)min1.所以a1.又因为a0，所以a的取值范围为(1,0)(0，)(2)因为h(x)在1,4上是减少的，所以当x1,4时，h(x)ax20恒成立，即a恒成立由(1)知G(x)，所以aG(x)max，而G(x)21，因为x1,4，所以，所以G(x)max(此时x4)，所以a，又因为a0，所以a的取值范围是(0，)引申探究1本例(2)中，若函数h(x)f(x)g(x)在1,4上是增加的，求a的取值范围解因为h(x)在1,4上是增加的，所以当x1,4时，h(x)0恒成立，所以当x1,4时，a恒成立，又当x1,4时，min1(此时x1)，所以a1，即a的取值范围是(，12本例(2)中，若h(x)在1,4上存在递减区间，求a的取值范围解h(x)在1,4上存在递减区间，则h(x)有解，又当x1,4时，min1，所以a1，又因为a0，所以a的取值范围是(1,0)(0，)思维升华 根据函数单调性求参数的一般思路(1)利用集合间的包含关系处理：yf(x)在(a，b)上单调，则区间(a，b)是相应单调区间的子集(2)f(x)是增加的的充要条件是对任意的x(a，b)都有f(x)0且在(a，b)内的任一非空子区间上，f(x)不恒为零，应注意此时式子中的等号不能省略，否则漏解(3)函数在某个区间存在单调区间可转化为不等式有解问题跟踪训练 已知函数f(x)x3ax1.(1)若f(x)在R上是增加的，求实数a的取值范围；(2)若函数f(x)的递减区间为(1,1)，求a的值解(1)因为f(x)在R上是增加的，所以f(x)3x2a0在R上恒成立，即a3x2对xR恒成立因为3x20，所以只需a0.又因为当a0时，f(x)3x20，当且仅当x0时取等号所以f(x)x31在R上是增加的所以实数a的取值范围是(，0(2)f(x)3x2a.当a0时，f(x)0，f(x)在(，)上是增加的，所以a0不合题意当a0时，令3x2a0，得x0，得0x1，由g(x)1.4分当a0时，令g(x)0，得x1或x，6分若，由g(x)0，得x1或0x，由g(x)0，得x1，即0a0，得x或0x1，由g(x)0，得1x，若1，即a，在(0，)上恒有g(x)0.10分综上可得：当a0时，函数g(x)在(0,1)上是增加的，在(1，)上是减少的；当0a时，函数g(x)在上是增加的，在上是减少的，在(1，)上是增加的12分1函数f(x)xexex1的递增区间是()A(，e) B(1，e)C(e，) D(e1，)答案D解析由f(x)xexex1，得f(x)(x1e)ex，令f(x)0，解得xe1，所以函数f(x)的递增区间是(e1，)2(2018济南调研)已知定义在R上的函数f(x)，其导函数f(x)的大致图像如图所示，则下列叙述正确的是()Af(b)f(c)f(d)Bf(b)f(a)f(e)Cf(c)f(b)f(a)Df(c)f(e)f(d)答案C解析由题意得，当x(，c)时，f(x)0，所以函数f(x)在(，c)上是增加的，因为abf(b)f(a)，故选C.3已知m是实数，函数f(x)x2(xm)，若f(1)1，则函数f(x)的递增区间是()A.B.C.，(0，)D.(0，)答案C解析f(x)3x22mx，f(1)32m1，解得m2，由f(x)3x24x0，解得x0，即f(x)的递增区间是，(0，)，故选C.4已知函数f(x)x3ax4，则“a0”是“f(x)在R上是增加的”()A充分不必要条件 B必要不充分条件C充要条件 D既不充分又不必要条件答案A解析f(x)x2a，当a0时，f(x)0恒成立，故“a0”是“f(x)在R上是增加的”充分不必要条件5(2018届珠海二中月考)若函数f(x)x3ax2x6在(0,1)上是减少的，则实数a的取值范围是()Aa1 Ba1Ca1 D0a1答案A解析f(x)3x22ax1，由已知3x22ax10在(0,1)内恒成立，即ax恒成立，又当x(0,1)时，tx的值域为(，1)，a1.6若f(x)，eaf(b) Bf(a)f(b)Cf(a)1答案A解析f(x)，当xe时，f(x)f(b)7若函数f(x)x3bx2cxd的递减区间为(1,3)，则bc_.答案12解析f(x)3x22bxc，由题意知，1x3是不等式3x22bxc0的解，1,3是f(x)0的两个根，b3，c9，bc12.8(2018昆明调研)已知函数f(x)(xR)满足f(1)1，f(x)的导数f(x)，则不等式f(x2)的解集为_答案x|x1解析设F(x)f(x)x，F(x)f(x)，f(x)，F(x)f(x)0，即函数F(x)在R上是减少的f(x2)，f(x2)f(1)，F(x2)1，即不等式的解集为x|x19已知函数f(x)x3mx2x2在区间(1,2)上是增加的，则m的取值范围是_答案解析f(x)x22mx1，由题意知f(x)0在(1,2)上恒成立，m在(1,2)上恒成立，又当x(1,2)时，的取值范围是.故m.10设函数f(x)是奇函数f(x)(xR)的导函数，f(1)0，当x0时，xf(x)f(x)0，则使得f(x)0成立的x的取值范围是_答案(，1)(0,1)解析因为f(x)(xR)为奇函数，f(1)0，所以f(1)f(1)0.当x0时，令g(x)，则g(x)为偶函数，g(1)g(1)0.则当x0时，g(x)0，故g(x)在(0，)上是减少的，在(，0)上是增加的所以在(0，)上，当0x1时，由g(x)g(1)0，得0，所以f(x)0；在(，0)上，当x1时，由g(x)g(1)0，得0，所以f(x)0.综上知，使得f(x)0成立的x的取值范围是(，1)(0,1)11(2018大理质检)已知函数f(x)(k为常数)，曲线yf(x)在点(1，f(1)处的切线与x轴平行(1)求实数k的值；(2)求函数f(x)的单调区间解(1)f(x)(x0)又由题知f(1)0，所以k1.(2)f(x)(x0)设h(x)ln x1(x0)，则h(x)0，所以h(x)在(0，)上是减少的由h(1)0知，当0x1时，h(x)0，所以f(x)0；当x1时，h(x)0，所以f(x)0.综上，f(x)的递增区间是(0,1)，递减区间是(1，)12(2017全国改编)已知函数f(x)ae2x(a2)exx.试讨论f(x)的单调性解f(x)的定义域为(，)，f(x)2ae2x(a2)ex1(aex1)(2ex1)(1)若a0，则f(x)0，则由f(x)0，得xln a.当x(，ln a)时，f(x)0.所以f(x)在(，ln a)上是减少的，在(ln a，)上是增加的13(2017承德调研)已知f(x)是可导的函数，且f(x)f(x)对于xR恒成立，则()Af(1)e2 017f(0)Bf(1)ef(0)，f(2 017)e2 017f(0)Cf(1)ef(0)，f(2 017)e2 017f(0)Df(1)ef(0)，f(2 017)e2 017f(0)答案D解析令g(x)，则g(x)0，所以函数g(x)在R上是减少的，所以g(1)g(0)，g(2 017)g(0)，即，故f(1)ef(0)，f(2 017)0，解得a，所以a的取值范围是.15已知函数f(x)x24x3ln x在区间t，t1上不单调，则t的取值范围是_答案(0,1)(2,3)解析由题意知f(x)x4，由f(x)0，得函数f(x)的两个极值点为1和3，则只要这两个极值点有一个在区间(t，t1)内，函数f(x)在区间t，t1上就不单调，由t1t1或t3t1，得0t1