关于实数集完备性的基本定理.ppt

第七章 实数的完备性,1 关于实数集完备性的基本定理,首页,2 闭区间上连续函数性质的证明,首页,1 关于实数集完备性的基本定理,一、区间套定理与柯西收敛准则,二、聚点定理与有限覆盖定理,三、实数完备性基本定理的等价性,若 是一个区间套，则在实数系中存在唯一的一点 ,构成区间套的闭区间列是前一个套者后一个，,一、区间套定理与柯西收敛准则,（i）,(ii),或简称区间套,这里的性质（i）表明，,即各闭区间的端点满足如下不等式,(1),定理7.1（区间套定理）,使得,即,(2),定义1,首页,且有,分析,即要证明闭区间列,有唯一的公共点，,所以首先我们要至少找到一个公共点，,式和单调有界定理可以知道数列,由（1）,和,都存在极限，,只要证明这两个数列极限相等且属于所有的,我们,则找到一个公共点;,然后证明唯一性.,证,由（）式，,为递增有界数列，,依单调有界定理，,有极限 ,（3）,同理，递减有界数列也有极限，,并按区间套的条件（ii）有,（4）,且,（5）,联合（3）、（5）即得（2）式.,最后证明满足（2）的,是唯一的,设数,也满足,首页,区间套定理中要求各个区间都是闭区间，才能保证定理的结论成立,由区间套的条件（ii）得,故有,注1,对于开区间列，有可能不成立,如 ,虽然其中各个开区间也是前一个包含后一个，,且 ，,但不存在属于所有开区间的公共点,则由（）式有,首页,前者是区间套定理本身条件的要求 保证诸区间,后者则把 证明整个区间 上所具有某性质的问题归结为 点邻域 的性质，,应用区间套定理的关键是针对要证明的数学命题， 恰 当地构造区间套.,注2,一方面，这样的区间套必须是闭、缩、套， 即闭区间列 .,满足（i）,(ii),另一方面，也是最重要的，要把欲证命题的本质属性保留在 区间套的每一个闭区间中，,存在唯一公共点 ,实现完满整体向局部的转化.,由（4）容易推的如下很有用的区间套性质 .,首页,使得在每个 外只有数列 中有限项.,要使用区间套定理证明充 分性，关键是如何构造合适的区间套，使其公共点正好是数列 的极限.,对任给的 ,存在 , 使得对 ,的 ，,存在 ,使得当 时有,作为区间套定理的应用，我们来证明第二章中叙述而未证明的 “数列的柯西收敛准则（定理.）.,即 数列 收敛的充要条件是：,有 .,分析,由数列极限定义易证得必要性；,我们将对柯西列 构造区间套,推论,若 是区间套所确定的点则对任给,首页,在区间 内含有 中几乎所有的项，,存在 ，使得对一切 有 ,即在区间 内含有 中几乎所有的项,对任给的 , 存在 ,当 时有,证,必要性,设 由数列极限定义,因而 .,充分性,按假设,对任给的 ,(这里及以下,为叙述简单起见,我们用“ 中几乎 所有的项”表示“ 中除有限项外的所项”).,据此，,令 则存在 ，,记这个区间为,首页,则存在 在区间 内含有 中几乎所有的项.,再令,记,它也含有 中几乎所有的项，,且满足,继续依次令,照以上方法得一闭区间列,其中每个区间都含 中几乎所有的项，,且满足,首页,本证明中的关键是构造合适的区间套，使其公共点正好是数列的极限.,即 是区间套.,由区间套定理，存在唯一的一个数,现在证明数 就是数列 的极限.,事实上，由定理7.1的推论，,对任给的 ，存在 使得当 nN 时有,因此在 内含有 中除有限项外的所有项.,这就证得 .,注意本证明中构造区间套的方法，我们可由此体会到在处理具体问题时构造区间套的思想方法.,注,首页,若 的临域内都含有 中无穷多个点则称 为集 的一个聚点.,点集 只有一个聚点,存在 在 中至多包含中 有限多个点.,又若 为开区间(a,b)(a,b)内每一点以及端 点a、b都是S的聚点；,任何有限数集也 没有聚点.,(它可以属于 也可以不属于 ),定义2,设 为数轴上的点集 为定点,点集 有两个聚点 和,而正整数集 没有聚点，,注1,点集的 聚点可以属于 ，也可以不属于 ；,注2,设 是数集，不是的 聚点,首页,二、聚点定理与有限覆盖定理,则其极限 称为S的一个聚点.,若点 的任何邻域 内都含有 中异于 的点，,聚点概念的另两个等价定义如下,定义,对于点集 ，,即 ，,则 称为S的一个聚点.,定义,若存在各项互异的收敛数列 ，,关于以上三个定义等价性的证明，我们简述如下.,1）定义2 定义 是显然的;,2）定义 定义2也不难得到;,3）定义 定义 .,首页,而取 则是为了保证点列的各相互异性.,令 ,则存在 且显然 .,则对任给的 ,存在 ，,证,设 为 (按定义)的聚点,令 则存在,令,则存在 且,无限地重复以上步骤，得到中各项互异的数列.,且由 , 易见 .,注,本证明中取 , 为了保证数列收敛到 .,因此可以取其他的小量;,注意这种技巧！,首页,故存在 使得 ,其中必有一子 区间内包含中无限多个点，,因为无限点集,故两个区间中至少有一个含有中无穷多个点,记此子区间为 .,把区间 二等分，,应用区间套定理来证聚点定理,定理.,(魏尔斯特拉斯(Weierstrass)聚点定理),实轴上的任一有界无限点集至少有一个聚点.,分析,为有界点集，,继续上述步骤，可得一区间套，再证其公共点即为的聚点 .,证,为有界点集,记,现将等分为两个子区间.,且,首页,则其中至少有一个子区间含有无穷多个点，,再将 等分为两个子区间，,首页,则取出这样的一个子区间，,记为 .,将此等分子区间的手续无限地进行下去，得到一个区间列,它满足,且其中每一个闭区间都含 中无穷多个点.,即 是区间套，,由区间套定理，,存在唯一的一点,于是由定理7.1的推论，,对任给的 ,存在,当 时,从而 内含有 中无穷多个点，,按定义2 为 的聚点.,推论（致密性定理）,有界数列必有收敛子列,证,设 为有界数列,若 中有无限多个相等的项，,则由这些项组成的子列是一个常数列，而常数列总是收敛的,首页,当 有,先证明 是有界的.,设数列 满足柯西条件.,点集 至少有一个聚点，记为 ,存在 的一个收敛子列（以为其极限）.,于是按定义 ，,则 在数轴上的 对应的点集必为有界无限点集，,若数列 不含有无限多个相等的项，,作为致密性定理的应用，我们用它重证数列的柯西收敛准则中的充分性 .,首页,故由聚点定理，,证,为此,取,则存在正整数N，,由此得,令,因而当 时得到,于是，由致密性定理，有界数列 必有收敛子列,首页,则对一切正整数,对任给的,这就证明了,使得 当 时有 .,对每一点 ，都可确定正数 （它依赖于 与 ），,若其中开区间的个数是无限（有限）的，则称 为 的一个无限开覆盖（有限开覆盖）,则称 为 的一个开覆盖，或 称 覆盖 ,若 中任何一点都含在 中至少一个开区间内，,（即 的每一个元素都是形如 的开区间）,定义3,设 为数轴上的点集， 为开区间的集合,在具体问题中，一个点集的开覆盖常由该问题的某些条件所确定,例如，若函数 在 内连续，,则给定 ，,这样就得到一个开区间集,它是区间 的一个无限开覆盖,首页,同样，其中至少有一个子区间不能用 中有限个开区间来盖,则其中至少有一个子区间不能用 中有限个开区间来覆盖.,将 等分为两个子区间，,从而导致区间套中某区间可用一个开区间覆盖的矛盾.,若闭区间不能用有限个开区间覆盖，把这区间二等分，,则从 中可选出有限个开区间来覆盖 ,假设定理的结论不成立，即不能用 中有限个开区间来覆盖 ,设 为闭区间 的一个（无限）开覆盖，,首页,定理.,（海涅博雷尔（HeineBorel）有限覆盖定理）,分析,用反证法，,其中必有一子区间不能用有限个开区间覆盖，,由此可构造区间套，其公共点属于某个开区间，,证,用反证法,记这个子区间为 ，,则 且,再将 等分为两个子区间，,由区间套定理，存在唯一的一点,于是，由定理.推论，当n充分大时有,由于 是 的一个开覆盖，故存在开区间 使 ,其中每一个闭区间都不能用 中有限个开区间来覆盖,即是 区间套，,重复上述步骤并不断地进行下去，则得到一个闭区间列 ,记这个子区间为 ，,首页,则,且,它满足,定理.的结论只对闭区间 成立，而对开区间则不一定成立,但不能从中选出有限个 开区间覆盖 ,例如，开区间集合 构成了开区间 的一个开覆盖，,这与挑选 时的假设“不能用 中有限个区间来覆盖”相矛盾,有限覆盖定理的妙处在于将“无限”化为“有限”，它的 好处在以后的应用中我们会看到.,这表明 只须用 中的一个开区间 就能覆盖，,从而证得必存在属于 的有限个开区间能覆盖 ,注1,注2,三、实数完备性基本定理的等价性,至此，我们已经介绍了有关实数完备性的六个基本定理，即,首页,即从其中任何一个命题都可推出其余的五个命题,最后用区间套定理分别证明余下的三个定理,首页,1.确界原理(定理1.1);,2.单调有界定理(定理2.9);,3.区间套定理(定理7.1);,4.有限覆盖定理(定理7.3);,5.聚点定理(定理7.2);,6.柯西收敛准则(定理2.10).,在本书中,我们首先证明了确界原理，,由它证明单有界定理，,再用单调有界定理导出区间套定理，,事实上，在实数系中这六个命题是相互等价的，,对此，我们可按下列顺序给予证明,使得 为 的上界，而 不是 的上界，,故存在 ，使得 . (6),则对每一个正整数n存在相应的 ，,即存在 ，使得 分别取,对任何正数 存在整数 使得 不是 的上界，,其中 与 分别见定理2.9，7.1，与7.3；,及 请读者作为练习自证（见本节习题和）；,而 见下例,例 用数列的柯西收敛准则证明确界原理,证,设 为非空有上界数集,由实数的阿基米德性，,