偏导数与全微分(12).ppt

医用高等数学,”,第二节 偏导数与全微分,一、偏导数的概念,二、偏导数的几何意义,三、高阶偏导数,四、全微分,一、偏导数的概念,定义4-4 设函数,在点,的某一邻域,内有定义，当,固定在,而,在,处有增量,时，相应,地函数有增量,如果,存在，则称此极限为函数,在点,处对,的偏导数(partial derirative)，记作,或,同样，当,固定在,，而,在,处有增量,时，如果,极限,存在，则称此极限为函数,在点,处对,的,偏导数，记作,或,偏导数是函数,沿着两个特殊方向的变化率，,即一个平行于,，另一个平行于,轴的变化率,如果函数,在区域,内每一点,都有关于,的偏导数，这个偏导数就是,的函数，称为函数,关于,的偏导函数，简称为偏导数，记作,或,即,同样，有函数,关于,的偏导函数,或,即,函数,在点,处关于,的偏导数,显然就是偏导函数,在点,处的函数值；,显然就是偏导函数,在点,处的函数,值,例4-12 设函数,，求,解 把,看成常量，对,求导数，（注意到其中,为常数，其导数为0）得,把,看成常量，对,求导数，得,在点（1，2）处的偏导数为,例4-13 设函数,，证明：,证 把,看成常数，则,把,看成常数，则,所以,例4-14 已知理想气体状态方程,为常量），,试证：,证 因为,所以,注意：,对一元函数来说，导数,可看作函数的微分,与自变量的微分,之商而,偏导数的记号“,”是一个,整体记号，其中的横线没有相除的意义,如果一元函数在某点可导，则它在该点必定连续但对于.二元函数，即使在某点两个偏导数都存在，也不能保证它在该点连续例如函数,在点（0，0）处的两个偏导数,都存在，但由第一节中例4-13知此函数在（0，0）点不,连续,二、偏导数的几何意义:,是曲线,在点 M0 处的切线,对 x 轴的斜率.,在点M0 处的切线,斜率.,是曲线,对 y 轴的,三、高阶偏导数,设函数,在区域,内具有偏导数,这两个偏导数在,内都是,的二元函数如果这,两个函数的偏导数也存在，则称这两个函数的偏导数为原来函数,的二阶偏导数依照对变量求导次序的不,同，而有下列四个二阶偏导数：,如果二阶偏导数也具有偏导数，则称为原来函数的三阶偏导数一般地，函数,的,阶偏导数的偏,导数称为函数,的,阶偏导数二阶及二,阶以上,的偏导数统称为高阶偏导数（higher-order partial derivatives）,例4-15 设,求,和,解:,在这个例子中,这不是偶然的事实上，,我们有下述定理,定理4-1 如果函数,的两个二阶偏导数,和,在区域,内连续，则在,内有,例4-16 验证函数,满足方程,证 由,，得,同理,故,四、全微分,对于二元函数,，如果自变量,和,分别有,有改变量,和,时，对应的函数的改变量,叫做函数,的全增量,例4-17 已知矩形的边长为,与,，当边长,与,分,别由,变为,时,研究矩形面积,的全增量,表达式,解 矩形面积为,于是矩形面积,的全增量为,矩形面积 的,全增量,由两部分组成，第一部分,是,的线性函数；第二部分,，当,时，是比,高阶的无穷小,因此，当,都足够小时，全增量,可由,近似表示，此式中,的系数恰是函数,在点,处分别对,的偏导数，类似于一元函数微分,概念，可定义,为二元函数,在点,处的全微分从而引入如下二元函数全微分定义,定义4-5 如果函数,在点,的某邻域内有,定义，当自变量,和,分别有增量,和,时，相应的,函数全增量,可表示为,其中,与,无关，而仅与,有关，,是,当,时比,高阶的无穷小（,），则,称函数,在点,处可微，而,称,为函数,在点,处的全微分（total,differential），记作,，即,与一元函数类似，全微分是,的线性函数，它与,只相差一个比,高阶的无穷小，所以也称,是,的线,性主部当,很小时，可用全微分,作为函数全增量,的近似值,下面讨论函数,在点,处可微分的条件,如果函数,在点,处可微分，则,在点,处的偏导数,必定存在，且函数,在点,处的全微分为,与一元函数类似，把自变量的增量叫做自变量的微分，即,，所以全微分又可写成,上式中的第一项是函数,对,的偏导数与,的乘积，称为函数关于,的偏微分（partial differential）,，第二项称为函数关于,的偏微分,通常我们把二元函数的全微分等于它的两个偏微分之和这件事，称为二元函数的微分符合叠加原理,叠加原理也适用于二元以上的函数例如，如果三元,函数,可微分，那么，它的全微分等于它的三,个偏微分之和，即,在一元函数中，可导与可微是等价的，但对二元函数来说，偏导数存在，函数不一定可微但是如果再假定函数的各个偏导数连续，则可以证明函数是可微的，即有下面结论：,如果函数,的偏导数,在点,连续，,则函数在该点可微,初等函数都满足偏导数连续条件，因,此对二元初等函数来说它是可微的,如果函数,在点,可微，则它在该点必连续,以上关于二元函数的全微分定义及全微分存在的充分条件，完全可以推广到多元函数,例4-22 求函数,的全微分,解： 由于,而,所以,例4-18 求函数,在点（2，3）处当,的