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文档简介
第4讲 数列求和1等差数列an的通项公式为an2n1,其前n项的和为Sn,则数列的前10项的和为_解析 因为a13,Snn(n2),所以n2.故75.答案 752数列a12,ak2k,a1020共有10项,且其和为240,则a1aka10的值为_解析 a1aka10240(22k20)240240110130.答案 1303已知数列an中an则a1a2a3a4a99a100_.解析 由题意得a1a2a3a4a99a1000224498981002(24698)10021005 000.答案 5 0004已知数列an的前n项和Snan2bn(a、bR),且S25100,则a12a14_解析 由数列an的前n项和Snan2bn(a、bR),可知数列an是等差数列,由S25100,解得a1a258,所以a1a25a12a148.答案 85已知数列an的前n项和为Sn,a11,当n2时,an2Sn1n,则S2 017的值为_解析 因为an2Sn1n,n2,所以an12Snn1,n1,两式相减得an1an1,n2.又a11,所以S2 017a1(a2a3)(a 2 016a2 017)1 009.答案 1 0096已知数列an的通项公式为anlg,n1,2,Sn是数列an的前n项和,则Sn_.解析 anlglglglg(n1)lg(n2)lg nlg(n3),所以Sna1a2an(lg 2lg 3lg 1lg 4)(lg 3lg 4lg 2lg 5)(lg 4lg 5lg 3lg 6)lg(n1)lg(n2)lg nlg(n3)lg(n1)lg 1lg(n3)lg 3lglg 3.答案 lglg 37已知等差数列an的前n项和为Sn,a55,S515,则数列的前100项和为_解析 设等差数列an公差为d.因为a55,S515,所以所以所以ana1(n1)dn.所以,所以数列的前100项和为11.答案 8(2018南京质检)已知数列an满足an1,且a1,则该数列的前2 018项的和等于_解析 因为a1,又an1,所以a21,从而a3,a41,即得an故数列的前2 018项的和等于S2 0181 009.答案 9对于数列an,定义数列an1an为数列an的“差数列”,若a12,an的“差数列”的通项公式为an1an2n,则数列an的前n项和Sn_解析 因为an1an2n,所以an(anan1)(an1an2)(a2a1)a12n12n2222222n222n.所以Sn2n12.答案 2n1210(2018辽宁省五校协作体联考)在数列an中,a11,an2(1)nan1,记Sn是数列an的前n项和,则S60_.解析 依题意得,当n是奇数时,an2an1,即数列an中的奇数项依次形成首项为1、公差为1的等差数列,a1a3a5a593011465;当n是偶数时,an2an1,即数列an中的相邻的两个偶数项之和均等于1,a2a4a6a8a58a60(a2a4)(a6a8)(a58a60)15.因此,该数列的前60项和S6046515480.答案 48011已知等比数列an中,首项a13,公比q1,且3(an2an)10an10(nN*)(1)求数列an的通项公式;(2)设是首项为1,公差为2的等差数列,求数列bn的通项公式和前n项和Sn.解 (1)因为3(an2an)10an10,所以3(anq2an)10anq0,即3q210q30.因为公比q1,所以q3.又首项a13,所以数列an的通项公式为an3n.(2)因为是首项为1,公差为2的等差数列,所以bnan12(n1)即数列bn的通项公式为bn2n13n1,前n项和Sn(13323n1)13(2n1)(3n1)n2.12(2018江西省名校学术联盟第一次调研)设数列an满足a12,a2a514,且对任意nN*,函数f(x)an1x2(an2an)x满足f(1)0.(1)求数列an的通项公式;(2)设bn,记数列bn的前n项和为Sn,求证:Sn.解 (1)由f(x)an1x2(an2an)x,得f(x)2an1x(an2an),由f(1)0,得2an1an2an ,故an为等差数列设等差数列an的公差为d,由a12,a2a514,得(a1d)(a14d)14,解得d2,所以数列an的通项公式为ana1(n1)d2(n1)22n(nN*)(2)证明:bn,所以Sn.1已知等比数列an中,a13,a481,若数列bn满足bnlog3an,则数列的前n项和Sn_解析 设等比数列an的公比为q,则q327,解得q3.所以ana1qn133n13n,故bnlog3ann,所以.则数列的前n项和为11.答案 2设等差数列an的前n项和为Sn,Sm12,Sm0,Sm13,则m_.解析 由Sm12,Sm0,Sm13,得amSmSm12,am1Sm1Sm3,所以等差数列的公差为dam1am321, 由得解得答案 53设函数f(x)xmax的导函数f(x)2x1,则数列(nN*)的前n项和为_解析 因为f(x)mxm1a,所以m2,a1.所以f(x)x2x,f(n)n2n.所以,则1.答案 4(2017西安模拟)数列an是等差数列,数列bn满足bnanan1an2(nN*),设Sn为bn的前n项和若a12a50,则当Sn取得最大值时n的值为_解析 设an的公差为d,由a12a50得a1d,d0,所以and,从而可知当1n16时,an0;当n17时,an0.从而b1b2b140b17b18,b15a15a16a170,b16a16a17a180,故S14S13S1,S14S15,S15S16,S16S17S18.因为a15d0,a18d0,所以a15a18ddd0,所以b15b16a16a17(a15a18)0,所以S16S14,故当Sn取得最大值时n16.答案 165(2018南京四校第一学期联考)已知向量a(x,1),b(xy,xy),若ab,yf(x)(1)求f(x)的表达式;(2)已知各项都为正数的数列an满足a1,a2anf(an)(nN*),求数列an的通项公式;(3)在(2)的条件下,设bn1,Sn为数列bn的前n项和,求使Sn成立的n的最小值解:(1)由ab,得x2y(1)(xy)0,所以y,则f(x)的表达式为f(x).(2)由(1)知f(x),所以a2anf(an)2an,因此,所以1.又19180,所以数列是以8为首项,为公比的等比数列,则1824n.又an0,所以an,则数列an的通项公式为an.(3)由(2)知数列是以8为首项,为公比的等比数列,而bn1,所以数列bn是以8为首项,为公比的等比数列,因此数列bn的前n项和Sn16.又Sn,所以16,则,所以n7.所以正整数n的最小值为8.6(2018江苏省重点中学领航高考冲刺卷(二)定义:为n个正数P1,P2,P3,Pn(nN*)的“均倒数”已知等比数列an的公比为2,前n项和为Sn,若S32是S2和S4的等差中项(1)求数列an的通项公式;(2)若数列bn的前n项的“均倒数”为(nN*)令cn(nN*),记数列cn的前n项和为Tn,若对任意正整数n,都有Tna,b,求ba的最小值解 (1)因为S32是S2和S4的等差中项,所以2S34S2S4,所以a34a4,又等比数列an的公比为2,所以a34,所以a11,所以数列an的通项公式为an2n1.(2)由题意知,所以b1b2bnn(2n1),所以b1b2bn1(n1)(2n11)(n2),得,bn(n1)2n11(n2)又b11也满足该式
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