2019版高考数学复习平面向量学案文.docx

第七单元 平面向量教材复习课“平面向量”相关基础知识一课过向量的有关概念过双基名称定义备注向量既有大小又有方向的量；向量的大小叫做向量的长度(或称)平面向量是自由向量零向量长度为0的向量；其方向是任意的记作0单位向量长度等于1个单位的向量非零向量a的单位向量为平行向量方向相同或相反的非零向量(平行向量又叫做共线向量)0与任一向量平行或共线相等向量长度相等且方向相同的向量两向量只有相等或不等，不能比较大小相反向量长度相等且方向相反的向量0的相反向量为01若向量a与b不相等，则a与b一定()A有不相等的模B不共线C不可能都是零向量 D不可能都是单位向量解析：选C若a与b都是零向量，则ab，故选项C正确2关于平面向量，下列说法正确的是()A零向量是唯一没有方向的向量B平面内的单位向量是唯一的C方向相反的向量是共线向量，共线向量不一定是方向相反的向量D共线向量就是相等向量解析：选C对于A，零向量是有方向的，其方向是任意的，故A不正确；对于B，单位向量的模为1，其方向可以是任意方向，故B不正确；对于C，方向相反的向量一定是共线向量，共线向量不一定是方向相反的向量，故C正确；对于D，由共线向量和相等向量的定义可知D不正确，故选C.3下列命题中，正确的个数是()单位向量都相等；模相等的两个平行向量是相等向量；若a，b满足|a|b|且a与b同向，则ab；若两个向量相等，则它们的起点和终点分别重合A0 B1C2 D3解析：选A对于，单位向量的大小相等，但方向不一定相同，故错误；对于，模相等的两个平行向量是相等向量或相反向量，故错误；对于，向量是有方向的量，不能比较大小，故错误；对于，向量是可以平移的矢量，当两个向量相等时，它们的起点和终点不一定相同，故错误综上，正确的命题个数是0.清易错1对于平行向量易忽视两点：(1)零向量与任一向量平行(2)两平行向量有向线段所在的直线平行或重合，易忽视重合这一条件2单位向量的定义中只规定了长度没有方向限制1若mn，nk，则向量m与向量k()A共线 B不共线C共线且同向 D不一定共线解析：选D可举特例，当n0时，满足mn，nk，故A、B、C选项都不正确，故D正确2设a，b都是非零向量，下列四个选项中，一定能使0成立的是()Aa2b BabCab Dab解析：选C“0，且a，b都是非零向量”等价于“非零向量a，b共线且反向”，故答案为C.向量共线定理及平面向量基本定理过双基1向量共线定理向量b与a(a0)共线的充要条件是有且只有一个实数，使得ba.2平面向量的基本定理如果e1，e2是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内的任意向量a，有且只有一对实数1，2，使a1e12e2.其中，不共线的向量e1，e2叫做表示这一平面内所有向量的一组基底1已知a，b是不共线的向量，ab，ab，R，则A，B，C三点共线的充要条件为()A2B1C1 D1解析：选DA，B，C三点共线，设m(m0)，即abmamb，1.2(2018南宁模拟)已知e1，e2是不共线向量，ame12e2，bne1e2，且mn0，若ab，则的值为()A B.C2 D2解析：选Cab，ab，即me12e2(ne1e2)，则故2.3已知点M是ABC的边BC的中点，点E在边AC上，且2，则()A. B.C. D.解析：选C如图，2，().清易错1在向量共线的重要条件中易忽视“a0”，否则可能不存在，也可能有无数个2平面向量基本定理指出：平面内任何一个非零向量都可以表示为沿两个不共线的方向分离的两个非零向量的和，并且一旦分解方向确定后，这种分解是唯一的这一点是易忽视的1(2018大连双基测试)给出下列四个命题：两个具有公共终点的向量一定是共线向量；两个向量不能比较大小，但它们的模能比较大小；a0(为实数)，则必为零；，为实数，若ab，则a与b共线其中假命题的个数是()A1 B2C3 D4解析：选C错误，两向量是否共线是要看其方向而不是起点或终点；正确，因为向量既有大小，又有方向，故向量不能比较大小，但向量的模均为实数，故可以比较大小；错误，当a0时，不论为何值，都有a0；错误，当0时，ab，此时a与b可以是任意向量2.如图，在OAB中，P为线段AB上的一点，xy，且2，则()Ax，y Bx，yCx，y Dx，y解析：选A由题意知，又2，所以()，所以x，y.平面向量的运算过双基1向量的线性运算向量运算定义法则(或几何意义)运算律加法求两个向量和的运算三角形法则平行四边形法则(1)交换律：abba；(2)结合律：(ab)ca(bc)减法求a与b的相反向量b的和的运算叫做a与b的差三角形法则aba(b)数乘求实数与向量a的积的运算(1)|a|a|；(2)当0时，a的方向与a的方向相同；当0时，a的方向与a的方向相反；当0时，a0( a)()a；()aa a；(ab)ab2平面向量的坐标运算(1)平面向量的正交分解把一个向量分解为两个互相垂直的向量，叫做把向量正交分解(2)平面向量的坐标运算向量加法、减法、数乘向量及向量的模设a(x1，y1)，b(x2，y2)，则ab(x1x2，y1y2)，ab(x1x2，y1y2)，a(x1，y1)，|a|.向量坐标的求法设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则(x2x1，y2y1)，|.(3)平面向量共线的坐标表示设a(x1，y1)，b(x2，y2)，则abx1y2x2y10.1(2018嘉兴测试)在ABC中，已知M是BC边的中点，设a，b，则()A.abB.abCab Dab解析：选Aba.2设D是线段BC的中点，且4，则()A2 B4C2 D4解析：选AD是线段BC的中点，2，4，2.3已知AC为平行四边形ABCD的一条对角线，(2,4)，(1,3)，则()A(1，1) B(3,7)C(1,1) D(2,4)解析：选A由题意可得(1,3)(2,4)(1，1)4已知A(2,3)，B(4，3)，且3，则点P的坐标为_解析：设P(x，y)，A(2,3)，B(4，3)，且3，(x2，y3)3(2，6)(6，18)，解得x8，y15，点P的坐标为(8，15)答案：(8，15)5已知向量a(1,3)，b(2,1)，c(3,2)若向量c与向量kab共线，则实数k_.解析：kabk(1,3)(2,1)(k2,3k1)，因为向量c与向量kab共线，所以2(k2)3(3k1)0，解得k1.答案：16设O在ABC的内部，D为AB的中点，且20，则ABC的面积与AOC的面积的比值为_解析：D为AB的中点，2，20，O是CD的中点，SAOCSAODSAOBSABC.答案：4清易错1向量坐标不是向量的终点坐标，与向量的始点、终点有关系2数乘向量仍为向量，只是模与方向发生变化，易误认为数乘向量为实数3若a(x1，y1)，b(x2，y2)，则ab的充要条件不能表示成，因为x2，y2有可能等于0，所以应表示为x1y2x2y10.1若向量(1,2)，(3,4)，则()A(2,2) B(2，2)C(4,6) D(4，6)解析：选C(4,6)2已知向量a，b不共线，若a2b，4ab，5a3b，则四边形ABCD是()A梯形 B平行四边形C矩形 D菱形解析：选A因为a2b，4ab，5a3b，所以8a2b，所以2，即直线AD与BC平行，而向量与不共线，即直线AB与CD不平行，故四边形ABCD是梯形3(2018河北联考)已知向量a(1,2)，b(2，m)，若ab，则2a3b()A(5，10) B(2，4)C(3，6) D(4，8)解析：选D由ab，得m40，即m4，所以2a3b2(1,2)3(2，4)(4，8)平面向量的数量积过双基1向量的夹角定义图示范围共线与垂直已知两个非零向量a和b，作a，b，则AOB就是a与b的夹角设是a与b的夹角，则的取值范围是01800或180ab，90ab2平面向量的数量积定义设两个非零向量a，b的夹角为，则数量|a|b|cos 叫做a与b的数量积，记作ab投影|a|cos 叫做向量a在b方向上的投影，|b|cos 叫做向量b在a方向上的投影几何意义数量积ab等于a的长度|a|与b在a的方向上的投影|b|cos 的乘积3平面向量数量积的运算律(1)abba.(2)(a)b(ab)a(b)(3)(ab)cacbc.4平面向量数量积的有关结论已知非零向量a(x1，y1)，b(x2，y2)，a，b.结论几何表示坐标表示模|a|a|夹角cos cos ab的充要条件ab0x1x2y1y20|ab|与|a|b|的关系|ab|a|b|x1x2y1y2|1设向量e1，e2是两个互相垂直的单位向量，且a2e1e2，be2，则|a2b|()A2 B.C2 D4解析：选B向量e1，e2是两个互相垂直的单位向量，|e1|1，|e2|1，e1e20，a2e1e2，be2，a2b2e1e2，|a2b|24e4e1e2e5，|a2b|.2(2018云南检测)设向量a(1,2)，b(m,1)，如果向量a2b与2ab平行，那么a与b的数量积等于()A BC. D.解析：选D因为a2b(12m,4)，2ab(2m,3)，由题意得3(12m)4(2m)0，则m，所以ab121.3已知|a|1，|b|2，a(ab)3，则a与b的夹角为()A. B.C. D解析：选D设a与b的夹角为，由题意知|a|1，|b|2，a(ab)a2ab1212cos 3，cos 1.又0，a与b的夹角为.4已知向量a，b满足|a|2，|b|1，a与b的夹角为，则|a2b|_.解析：(a2b)2a24ab4b2442144，|a2b|2.答案：25(2018衡水中学检测)在直角三角形ABC中，C90，AB2，AC1，若，则_.解析：，()2，又C90，AB2，AC1，CB，.答案：6(2018东北三校联考)已知正方形ABCD的边长为2，2，()，则_.解析：如图，以B为原点，BC所在直线为x轴，AB所在直线为y轴建立平面直角坐标系则B(0,0)，E，D(2,2)由()，知F为BC的中点，所以F(1,0)，故，(1，2)，2.答案：清易错10与实数0的区别：0a00，a(a)00，a000.2ab0不能推出a0或b0，因为ab0时，有可能ab.3在运用向量夹角时，注意其取值范围为0，1有下列说法：向量b在向量a方向上的投影是向量；若ab0，则a和b的夹角为锐角，若ab0，且a，b不共线，即解得5，且.答案：3已知向量a，b满足a(2,0)，|b|1，若|ab|，则a与b的夹角是_解析：由|ab|，得(ab)2a22abb242ab17，ab1，|a|b|cosa，b1，cosa，b.又a，b0，a，b的夹角为.答案：一、选择题1(2018常州调研)已知A，B，C三点不共线，且点O满足0，则下列结论正确的是()ABC D解析：选D0，O为ABC的重心，()()()(2).2(2018合肥质检)已知O，A，B，C为同一平面内的四个点，若20，则向量等于()A. BC2 D2解析：选C因为，所以22()()20，所以2.3已知向量a与b的夹角为30，且|a|，|b|2，则|ab|的值为()A1 B.C13 D.解析：选A由向量a与b的夹角为30，且|a|，|b|2，可得ab|a|b|cos 3023，所以|ab|1.4(2018成都一诊)在边长为1的等边ABC中，设a，b，c，则abbcca()A B0C. D3解析：选A依题意有abbcca.5已知非零向量a，b满足ab0，|a|3，且a与ab的夹角为，则|b|()A6 B3C2 D3解析：选D由非零向量a，b满足ab0，可知两个向量垂直，由|a|3，且a与ab的夹角为，说明以向量a，b为邻边，ab为对角线的平行四边形是正方形，所以|b|3.6(2017青岛二模)在平面直角坐标系中，已知向量a(1,2)，ab(3,1)，c(x,3)，若(2ab)c，则x()A2 B4C3 D1解析：选D依题意得b2(4,2)，所以2ab(2,6)，所以6x236，x1.7在平面直角坐标系xOy中，已知A(1,0)，B(0,1)，C为坐标平面内第一象限内一点，且AOC，且|2，若，则()A2 B.C2 D4解析：选A因为|2，AOC，所以C(，)，又，所以(，)(1,0)(0,1)(，)，所以，2.8.已知函数f(x)Asin(x)的部分图象如图所示，点B，C是该图象与x轴的交点，过点C的直线与该图象交于D，E两点，则()()的值为()A1 BC. D2解析：选D注意到函数f(x)的图象关于点C对称，因此C是线段DE的中点，2.又，且|T1，因此()()222.二、填空题9(2018洛阳一模)若三点A(1，5)，B(a，2)，C(2，1)共线，则实数a的值为_解析：(a1,3)，(3,4)，据题意知，4(a1)3(3)，即4a5，a.答案：10已知ABCD的对角线AC和BD相交于O，且a，b，则_，_.(用a，b表示)解析：如图，ba，ab.答案：baab11已知向量a(2,1)，b(1，2)，若manb(9，8)(m，nR)，则mn的值为_解析：manb(2mn，m2n)(9，8)，mn253.答案：312若向量a(2,3)，b(4,7)，ac0，则c在b方向上的投影为_解析：ac0，ca(2，3)，cb82113，且|b|，c在b方向上的投影为|c|cosc，b|c|.答案：三、解答题13已知向量a(3,0)，b(5,5)，c(2，k)(1)求向量a与b的夹角；(2)若bc，求k的值；(3)若b(ac)，求k的值解：(1)设向量a与b的夹角为，a(3,0)，b(5,5)，ab3(5)0515，|a|3，|b|5，cos .又0，.(2)bc，5k52，k2.(3)ac(5，k)，又b(ac)，b(ac)0，555k0，k5.14在平面直角坐标系xOy中，已知向量m，n(sin x，cos x)，x.(1)若mn，求tan x的值；(2)若m与n的夹角为，求x的值解：(1)若mn，则mn0.由向量数量积的坐标公式得sin xcos x0，tan x1.(2)m与n的夹角为，mn|m|n|cos ，即sin xcos x，sin.又x，x，x，即x.高考研究课(一) 平面向量的基本运算考点考查频度考查角度平面向量的线性运算5年1考三角形中的线性运算平面向量的坐标运算5年3考求坐标及待定参数共线向量定理5年3考已知共线求参数值平面向量的线性运算典例(1)(2018济南模拟)在ABC中，AB边的高为CD，若a，b，ab0，|a|1，|b|2，则()A.abB.abC.ab D.ab(2)在梯形ABCD中，已知ABCD，AB2CD，M，N分别为CD，BC的中点若，则_.解析(1)ab0，ACB90，AB，CD，BD，AD，ADBD41.()ab.(2)法一：由，得()()，则0，得0，得0.因为，不共线，所以由平面向量基本定理得解得所以.法二：连接MN并延长交AB的延长线于T，由已知易得ABAT，则，即，因为T，M，N三点共线，所以1.故.答案(1)D(2)方法技巧(1)应用平面向量基本定理表示向量的实质是利用平行四边形法则或三角形法则进行向量的加、减或数乘运算(2)用向量基本定理解决问题的一般思路是先选择一组基底，并运用该基底将条件和结论表示成向量的形式，再通过向量的运算来解决 即时演练1向量e1，e2，a，b在正方形网格中的位置如图所示，则ab()A4e12e2 B2e14e2Ce13e2 D3e1e2解析：选C结合图形易得，ae14e2，b2e1e2，故abe13e2.2.如图，正方形ABCD中，E为DC的中点，若，则的值为()A. BC1 D1解析：选A法一：由题意得，1，故选A.法二：利用坐标法，以A为坐标原点，AB，AD所在直线分别为x轴，y轴建立平面直角坐标系(图略)，设正方形的边长为1，则A(0,0)，B(1,0)，C(1,1)，E，(1,0)，(1,1)，则(1,0)(1，1)，.平面向量的坐标运算典例(1)在ABC中，点P在BC上，且2，点Q是AC的中点，若(4,3)，(1,5)，则等于()A(2,7) B(6,21)C(2，7) D(6，21)(2)(2018绍兴模拟)已知点M(5，6)和向量a(1，2)，若3a，则点N的坐标为()A(2,0) B(3,6)C(6,2) D(2,0)解析(1)由题意，22()2(3,2)(6,4)，(6,4)(4，3)(2,7)，2，3(6,21)(2)3a3(1，2)(3,6)，设N(x，y)，则(x5，y6)(3,6)，所以即答案(1)B(2)A方法技巧向量的坐标运算主要是利用加、减、数乘运算法则进行，若已知有向线段两端点的坐标，则应先求向量的坐标解题过程中要注意方程思想的运用及正确使用运算法则即时演练1若向量a(1,1)，b(1，1)，c(1,2)，则c()Aab B.abC.ab Dab解析：选B设c1a2b，则(1,2)1(1,1)2(1，1)(12，12)，所以121，122，解得1，2，所以cab.2已知向量a(1,1)，点A(3,0)，点B为直线y2x上的一个动点若a，则点B的坐标为_解析：设B(x,2x)，(x3,2x)a，x32x0，解得x3，B(3，6)答案：(3，6)共线向量定理及应用平面向量共线的坐标表示是高考的常考内容，多以选择题或填空题的形式出现，难度较小，属低档题.,常见的命题角度有：(1)利用向量共线求参数或点的坐标；(2)利用向量共线解决三点共线问题.角度一：利用向量共线求参数或点的坐标1若向量a(2,4)与向量b(x,6)共线，则实数x()A2B3C4 D6解析：选Bab，264x0，解得x3.2已知梯形ABCD中，ABCD，且DC2AB，三个顶点A(1，2)，B(2,1)，C(4,2)，则点D的坐标为_解析：在梯形ABCD中，DC2AB，ABCD，2.设点D的坐标为(x，y)，则(4x，2y)，(1，1)，(4x,2y)2(1，1)，即(4x,2y)(2，2)，解得故点D的坐标为(2,4)答案：(2,4)3已知平面向量a(1，m)，b(2,5)，c(m,3)，且(ac)(ab)，则m_.解析：因为a(1，m)，b(2,5)，c(m,3)，所以ac(1m，m3)，ab(1，m5)又(ac)(ab)，所以(1m)(m5)(m3)0，即m23m20，解得m或m.答案：方法技巧1利用两向量共线求参数如果已知两向量共线，求某些参数的取值时，利用“若a(x1，y1)，b(x2，y2)，则ab的充要条件是x1y2x2y1”解题比较方便2利用两向量共线的条件求向量坐标一般地，在求与一个已知向量a共线的向量时，可设所求向量为a(R)，然后结合其他条件列出关于的方程，求出的值后代入a即可得到所求的向量角度二：利用向量共线解决三点共线问题4(2018南阳五校联考)已知向量(1，3)，(2，1)，(k1，k2)，若A，B，C三点不能构成三角形，则k_.解析：若点A，B，C不能构成三角形，则向量，共线，(2，1)(1，3)(1,2)，(k1，k2)(1，3)(k，k1)，1(k1)2k0，解得k1.答案：15设两个非零向量a与b不共线，若ab，2a8b，3(ab)，求证：A，B，D三点共线证明：因为ab，2a8b，3(ab)，所以2a8b3(ab)5(ab)5.所以，共线又它们有公共点B，所以A，B，D三点共线方法技巧三点共线问题的求解策略 解决点共线或向量共线问题时，要结合向量共线定理进行，但应注意向量共线与三点共线的区别与联系，当两个向量共线且有公共点时，才能得到三点共线1(2017全国卷)在矩形ABCD中，AB1，AD2，动点P在以点C为圆心且与BD相切的圆上若，则的最大值为()A3 B2C. D2解析：选A以A为坐标原点，AB，AD所在直线分别为x轴，y轴建立如图所示的平面直角坐标系，则A(0,0)，B(1,0)，C(1,2)，D(0,2)，可得直线BD的方程为2xy20，点C到直线BD的距离为，所以圆C：(x1)2(y2)2.因为P在圆C上，所以P.又(1,0)，(0,2)，(，2)，所以2cos sin 2sin()3(其中tan 2)，当且仅当2k，kZ时，取得最大值3.2(2015全国卷)设D为ABC所在平面内一点，3，则()A BC D解析：选A().3(2015全国卷)已知点A(0,1)，B(3,2)，向量(4，3)，则向量()A(7，4) B(7,4)C(1,4) D(1,4)解析：选A法一：设C(x，y)，则(x，y1)(4，3)，所以从而(4，2)(3,2)(7，4)法二：(3,2)(0,1)(3,1)，(4，3)(3,1)(7，4)4(2016全国卷)设向量a(m,1)，b(1,2)，且|ab|2|a|2|b|2，则m_.解析：|ab|2|a|2|b|22ab|a|2|b|2，ab0.又a(m,1)，b(1,2)，m20，m2.答案：25(2016全国卷)已知向量a(m,4)，b(3，2)，且ab，则m_.解析：a(m,4)，b(3，2)，ab，2m430，m6.答案：66(2015全国卷)设向量a，b不平行，向量ab与a2b平行，则实数_.解析：ab与a2b平行，abt(a2b)，即abta2tb，解得答案：7(2014全国卷)已知A，B，C为圆O上的三点，若()，则与的夹角为_解析：由()，可得O为BC的中点，故BC为圆O的直径，所以与的夹角为90.答案：90一、选择题1.(2018长春模拟)如图所示，下列结论正确的是()ab；ab；ab；ab.ABC D解析：选C根据向量的加法法则，得ab，故正确；根据向量的减法法则，得ab，故错误；ab2bab，故正确；abbab，故错误，故选C.2(2018长沙一模)已知向量(k,12)，(4,5)，(k,10)，且A，B，C三点共线，则k的值是()A B.C. D.解析：选A(4k，7)，(2k，2)A，B，C三点共线，共线，2(4k)7(2k)，解得k.3(2018嘉兴调研)已知点O为ABC外接圆的圆心，且0，则ABC的内角A等于()A30 B45C60 D90解析：选A由0得，由O为ABC外接圆的圆心，结合向量加法的几何意义知，四边形OACB为菱形，且CAO60，故A30.4若a，b，a与b不共线，则AOB平分线上的向量为()A.B.C.D，由确定解析：选D以OM为对角线，以，方向为邻边作平行四边形OCMD，OM平分AOB，平行四边形OCMD是菱形设OCOD，则，且由确定5设D，E，F分别是ABC的三边BC，CA，AB上的点，且2，2，2，则与 ()A反向平行 B同向平行C互相垂直 D既不平行也不垂直解析：选A由题意得，因此()，故与反向平行6.如图所示，已知点G是ABC的重心，过点G作直线与AB，AC两边分别交于M，N两点，且x，y，则的值为()A3 B.C2 D.解析：选B利用三角形的性质，过重心作平行于底边BC的直线，易得xy，则.7(2018兰州模拟)已知向量a(1sin ，1)，b，若ab，则锐角()A. B.C. D.解析：选B因为ab，所以(1sin )(1sin )10，得sin2，所以sin ，故锐角.8已知ABC是边长为4的正三角形，D，P是ABC内的两点，且满足()，则APD的面积为()A. B.C. D2解析：选A法一：取BC的中点E，连接AE，由于ABC是边长为4的正三角形，则AEBC，()，又()，所以点D是AE的中点，AD.取，以AD，AF为邻边作平行四边形，可知.而APD是直角三角形，AF，所以APD的面积为.法二：以A为原点，以BC的垂直平分线为y轴，建立如图所示的平面直角坐标系等边三角形ABC的边长为4，B(2，2)，C(2，2)，由题知()(2，2)(2，2)(0，)，(0，)(4,0)，ADP的面积为S| |.二、填空题9在矩形ABCD中，O是对角线的交点，若5e1，3e2，则_.(用e1，e2表示)解析：在矩形ABCD中，因为O是对角线的交点，所以()()(5e13e2)e1e2.答案：e1e210已知S是ABC所在平面外一点，D是SC的中点，若xyz，则xyz_.解析：依题意得()，因此xyz10.答案：011(2018贵阳模拟)已知平面向量a，b满足|a|1，b(1,1)，且ab，则向量a的坐标是_解析：设a(x，y)，平面向量a，b满足|a|1，b(1,1)，且ab，1，且xy0，解得xy.a或.答案：或12.在直角梯形ABCD中，ABAD，DCAB，ADDC1，AB2，E，F分别为AB，BC的中点，点P在以A为圆心，AD为半径的圆弧DE上变动(如图所示)，若，其中，R，则2的取值范围是_解析：以A为坐标原点，AB为x轴，AD为y轴，建立如图所示的平面直角坐标系，则A(0,0)，E(1，0)，D(0,1)，F，设P(cos ，sin )(090)，(cos ，sin )(1,1)，cos ，sin ，(3sin cos )，(cos sin )，2sin cos sin(45)，090，454545，sin(45)，1sin(45)1，2的取值范围是1,1答案：1,1三、解答题13.如图所示，在ABC中，D，F分别是BC，AC的中点，a，b.(1)用a，b表示向量，；(2)求证：B，E，F三点共线解：(1)延长AD到G，使，连接BG，CG，得到平行四边形ABGC，所以ab，(ab)，(ab)，b，(ab)a(b2a)，ba(b2a)(2)证明：由(1)可知，又因为，有公共点B，所以B，E，F三点共线14(2018郑州模拟)平面内给定三个向量a(3,2)，b(1，2)，c(4,1)(1)若(akc)(2ba)，求实数k的值；(2)若d满足(dc)(ab)，且|dc|，求d的坐标解：(1)akc(34k,2k)，2ba(5,2)，由题意得2(34k)(5)(2k)0，解得k.(2)设d(x，y)，则dc(x4，y1)，又ab(2,4)，|dc|，解得或d的坐标为(3，1)或(5,3)15.如图，在OAB中，AD与BC交于点M，设a，b.(1)用a，b表示；(2)在线段AC上取一点E，在线段BD上取一点F，使EF过M点，设p，q，求证：1.解：(1)设xayb，由，得4xyb，C，M，B三点共线，4xy1.由，得xa2y，A，M，D三点共线，x2y1，联立得，x，y.ab.(2)证明：p，q，.E，M，F三点共线，1.1已知点P是ABC的中位线EF上任意一点，且EFBC，实数x，y满足xy0，设ABC，PBC，PCA，PAB的面积分别为S，S1，S2，S3，记1，2，3，则23取最大值时，3xy的值为()A. B.C1 D2解析：选D由题意可知1231.P是ABC的中位线EF上任意一点，且EFBC，1，23，232，当且仅当23时取等号，23取最大值时，P为EF的中点延长AP交BC于M，则M为BC的中点，PAPM，()，又xy0，xy，3xy2.2.如图，在RtABC中，P是斜边BC上一点，且满足，点M，N在过点P的直线上，若，(0，0)，则2的最小值为()A2 B.C3 D.解析：选B， (0，0)，(1).M，P，N三点共线，存在实数k，使kk()kk.，.(1)，由得，k代入得，1，2.设f()，0，f()，令f()0，得0或.当时，f()0.时，f()取极小值，也是最小值，又f，f()的最小值为，即2的最小值为.高考研究课(二) 平面向量的数量积及应用全国卷5年命题分析考点考查频度考查角度数量积的运算5年5考求数量积及由数量积求参数向量的模5年2考求模及由模的关系求参数向量夹角及垂直5年4考由向量垂直求参数，由坐标求向量夹角平面向量的数量积的运算典例(1)已知等边ABC的边长为2，若3，则等于()A2BC2 D.(2)已知正方形ABCD的边长为1，点E是AB边上的动点，则的值为_；的最大值为_解析(1)如图所示，()()22442.(2)法一：如图，()21，()|21，故的最大值为1.法二：以射线AB，AD为x轴，y轴的正方向建立平面直角坐标系，则A(0,0)，B(1，0)，C(1,1)，D(0,1)，设E(t,0)，t0,1，则(t，1)，(0，1)，所以(t，1)(0，1)1.因为(1,0)，所以(t，1)(1,0)t1，故的最大值为1.法三：由图知，无论E点在哪个位置，在方向上的投影都是CB1，|11.当E运动到B点时，在方向上的投影最大，即为DC1，()max|11.答案(1)A(2)11方法技巧平面向量数量积的2种运算方法方法运用提示适用题型定义法当已知向量的模和夹角时，可利用定义法求解，即ab|a|b|cos 适用于平面图形中的向量数量积的有关计算问题坐标法当已知向量的坐标时，可利用坐标法求解，即若a(x1，y1)，b(x2，y2)，则abx1x2y1y2适用于已知相应向量的坐标求解数量积的有关计算问题即时演练1(2016天津高考)已知ABC是边长为1的等边三角形，点D，E分别是边AB，BC的中点，连接DE并延长到点F，使得DE2EF，则的值为()A B.C. D.解析：选B如图所示，.又D，E分别为AB，BC的中点，且DE2EF，所以，所以.又，则()2222.又|1，BAC60，故11.2(2018豫东名校联考)如图，BC是单位圆A的一条直径，F是线段AB上的点，且3，若DE是圆A中绕圆心A运动的一条直径，则的值是_解析：()()()()2221.答案：平面向量数量积的性质平面向量的夹角与模的问题是高考中的常考内容，题型多为选择题、填空题，难度适中，属中档题.常见的命题探究角度有：(1)平面向量的模；(2)平面向量的夹角；(3)平面向量的垂直.角度一：平面向量的模1(2017浙江高考)已知向量a，b满足|a|1，|b|2，则|ab|ab|的最小值是_，最大值是_解析：法一：由向量三角不等式得，|ab|ab|(ab)(ab)|2b|4.又 ，|ab|ab|的最大值为2.法二：设a，b的夹角为.|a|1，|b|2，|ab|ab|.令y，则y2102.0，cos20,1，y216,20，y4,2 ，即|ab|ab|的最小值为4，最大值为2.答案：422已知向量a(1,1)，b(1,1)，设向量c满足(2ac)(3bc)0，则|c|的最大值为_解析：设c(x，y)，2ac(2x,2y)，3bc(3x,3y)，则由题意得(2x)(3x)(2y)(3y)0，即22，表示以为圆心，为半径的圆，所以|c|的最大值为.答案：方法技巧利用数量积求解长度问题的处理方法(1)a2aa|a|2或|a|.(2)|ab|.(