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题组训练73 专题研究4 圆锥曲线中的探索性问题1(2018重庆一中期中)当曲线y与直线kxy2k40有两个不同的交点时,实数k的取值范围是()A(0,)B(,C(,1 D(,)答案C解析曲线y表示圆x2y24的下半部分,直线kxy2k40过定点(2,4)由2,解得k,所以过点(2,4)且斜率k的直线yx与曲线y相切,如图所示过点(2,4)与点(2,0)的直线的斜率为1.所以曲线y与直线kxy2k0有两个不同的交点时,实数k的取值范围是(,1故选C.2设抛物线x22py(p0),M为直线y2p上任意一点,过M引抛物线的切线,切点分别为A,B,记A,B,M的横坐标分别为xA,xB,xM,则()AxAxB2xM BxAxBxM2C. D以上都不对答案A解析由x22py得y,所以y,所以直线MA的方程为y2p(xxM),直线MB的方程为y2p(xxM),所以2p(xAxM),2p(xBxM),由可得xAxB2xM,故选A.3(2016浙江,文)设双曲线x21的左、右焦点分别为F1,F2.若点P在双曲线上,且F1PF2为锐角三角形,则|PF1|PF2|的取值范围是_答案(2,8)解析由题意不妨设点P在双曲线的右支上,现考虑两种极限情况:当PF2x轴时,|PF1|PF2|有最大值8;当P为直角时,|PF1|PF2|有最小值2.因为F1PF2为锐角三角形,所以|PF1|PF2|的取值范围为(2,8)4已知圆C的半径为2,圆心在直线yx2上,E(1,1),F(1,3),若圆上存在点Q,使|QF|2|QE|232,则圆心的横坐标a的取值范围为_答案3,1解析根据题意,可设圆C的方程为(xa)2(ya2)24,设Q(x,y),由|QF|2|QE|232,得到(x1)2(y3)2(x1)2(y1)232,得y3,故点Q在直线y3上,又点Q在圆(xa)2(ya2)24上,所以圆C与直线y3必须有公共点因为圆心的纵坐标为a2,半径为2,所以圆C与直线y3有公共点的充分条件是1a25,即3a1.所以圆心的横坐标a的取值范围是3,15(2018江西红色七校二模)已知椭圆的焦点坐标为F1(1,0),F2(1,0),过F2垂直于长轴的直线交椭圆于P,Q两点,且|PQ|3.(1)求椭圆的方程;(2)过F2的直线l与椭圆交于不同的两点M,N,则F1MN的内切圆的面积是否存在最大值?若存在,求出这个最大值及此时直线l的方程;若不存在,请说明理由答案(1)1(2)存在,最大值为解析(1)设椭圆方程为1(ab0),由焦点坐标可得c1,由|PQ|3,可得3.又a2b21,解得a2,b,故椭圆方程为1.(2)设M(x1,y1),N(x2,y2),不妨设y10,y20,得|k|.设A(x1,y1),B(x2,y2),则x1x2,x1x2.|EA|EB|,()0.又(x1x2,k(x1x2)42t),(x2x1,k(x2x1),(x2x1,k(x2x1)(x1x2,k(x1x2)42t)0,展开化简,得(1k2)(x1x2)4k2kt0,将x1x2代入化简,得t,又|k|,t(,0)综上,存在符合题意的点E,且实数t的取值范围为(,07(2018贵州贵阳考试)已知抛物线E:y24x的焦点为F,准线为l,准线l与x轴的交点为P,过点P且斜率为k的直线m交抛物线于不同的两点A,B.(1)若|AF|BF|8,求线段AB的中点Q到准线的距离;(2)E上是否存在一点M,满足?若存在,求出直线m的斜率;若不存在,请说明理由答案(1)4(2)不存在解析(1)由抛物线E的方程为y24x,可得F(1,0),准线l:x1,P(1,0)过点A作AAl,过点B作BBl,垂足分别为A,B.由抛物线的定义得|AF|AA|,|BF|BB|,由|AF|BF|8得|AA|BB|8.过AB的中点Q作QQl,垂足为Q,故QQ是直角梯形AABB的中位线,|QQ|4,即线段AB的中点Q到准线的距离为4.(2)设A(x1,y1),B(x2,y2),M(x,y),则(x11,y1)(x21,y2)(x1x22,y1y2)(x1,y),故即设直线m的方程为yk(x1),联立得k2x2(2k24)xk20,(2k24)24k41616k20,x1x2.x1,x.y1y2k(x1x2)2kk2k.y.M(,)点M在抛物线上,()24,即4,此方程无解不存在满足条件的点M.8(2018吉林普通中学第一次调研)如图,已知椭圆E:1(0b0,所以x1x2,x1x2.从而x1x2y1y2x1x2(y11)(y21)(1)(1k2)x1x2k(x1x2)123.所以当2时,237,即7为定值当直线AB的斜率不存在时,直线AB即直线CD.此时2347.故存在常数2,使得为定值7.1已知抛物线y22px(p0),O是坐标原点,F是抛物线的焦点,P是抛物线上一点,则使得POF是直角三角形的点P共有()A0个 B2个C4个 D6个答案B解析当OFP为直角时,作出图形如图所示,过焦点F作PFx轴,交抛物线于点P,P,则OFP,OFP都是直角三角形显然POF不可能为直角若OPF90,易知F(,0),设P(,y),可得(,y),(,y),()y2.0,0,0,cosOPF0,OPF为锐角,不可能为直角综上,使得POF是直角三角形的点P有且有2个2(2018江苏盐城中学摸底)命题p:已知椭圆1(ab0),F1,F2是椭圆的两个焦点,P为椭圆上的一个动点,过F2作F1PF2外角的平分线的垂线,垂足为M,则OM的长为定值类比此命题,在双曲线中也有命题q:已知双曲线1(a0,b0),F1,F2是双曲线的两个焦点,P为双曲线上的一个动点,过F2作F1PF2的_的垂线,垂足为M,则OM的长为定值_答案内角平分线a解析F1,F2是椭圆的两个焦点,P为椭圆上的一个动点,过F2作F1PF2外角的平分线的垂线,垂足为M,点F2关于F1PF2的外角平分线PM的对称点Q在F1P的延长线上,|F1Q|PF1|PF2|2a(椭圆长轴长),又OM是F2F1Q的中位线,故|OM|a.不妨设点P在双曲线右支上,当过F2作F1PF2的内角平分线的垂线,垂足为M时,点F2关于F1PF2的内角平分线PM的对称点Q在PF1上,|F1Q|PF1|PF2|2a,又OM是F2F1Q的中位线,故|OM|a.3(2018海南海口三模)已知椭圆C:y21(a1)的左、右焦点分别为F1(c,0),F2(c,0),P为椭圆C上任意一点,且的最小值为0.(1)求椭圆C的方程;(2 )若动直线l1,l2均与椭圆C相切,且l1l2,试探究在x轴上是否存在定点B,使得点B到l1,l2的距离之积恒为1?若存在,请求出点B的坐标;若不存在,请说明理由答案(1)y21(2)略解析(1)设P(x,y),则有(xc,y),(xc,y),x2y2c21c2,xa,a,由的最小值为0,得1c20,c1,a22,椭圆C的方程为y21.(2)当直线l1,l2斜率存在时,设其方程分别为ykxm,ykxn,把l1的方程代入椭圆方程得(12k2)x24mkx2m220.直线l1与椭圆C相切,16k2m24(12k2)(2m22)0,化简得m212k2,同理,n212k2,m2n2.若mn,则l1,l2重合,不合题意,mn.设在x轴上存在点B(t,0),点B到直线l1,l2的距离之积为1,则1,即|k2t2m2|k21,把12k2m2代入并去绝对值,整理得k2(t23)2或k2(t21)0,前式显然不恒成立;而要使得后式对任意的kR恒成立,则t210,解得t1.当直线l1,l2斜率不存在时,其方程为x和x,定点(1,0)或(1,0)到直线l1,l2的距离之积为(1)(1)1,综上所述,满足题意的定点B为(1,0)和(1,0)4(2018吉林一中二模)已知抛物线C:y22px(p0)与直线xy40相切(1)求该抛物线的方程;(2)在x轴的正半轴上,是否存在某个确定的点M,过该点的动直线l与抛物线C交于A,B两点,使得为定值?如果存在,求出点M的坐标;如果不存在,请说明理由答案(1)y28x(2)略解析(1)联立方程,有消去x,得y22py8p0,由直线与抛物线相切,得8p232p0,解得p4.所以抛物线的方程为y28x.(2)假设存在满足条件的点M(m,0)(m0)直线l:xtym,由得y28ty8m0,设A(x1,y1),B(x2,y2),有y1y28t,y1y28m.|AM|2(x1m)2y12(t21)y12,|BM|2(x2m)2y22(t21)y22.,当m4时,为定值,所以M(4,0)5(2018浙江温州第一次考试)如图,动圆C过点F(1,0),且与直线x1相切于点P.(1)求圆C的轨迹的方程;(2)过点F任作一直线交轨迹于A,B两点,设PA,PF,PB的斜率分别为k1,k2,k3,问:是否为定值?若是,求出此定值;若不是,请说明理由答案(1)y24x(2)定值为2解析(1)由题意

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