2019高中数学第二章直线、平面垂直的判定及其性质（第3课时）直线与平面、平面与平面垂直的性质讲义（含解析）.docx

第3课时直线与平面、平面与平面垂直的性质核心必知1预习教材，问题导入根据以下提纲，预习教材P70P72，回答下列问题(1)若一条直线与一个平面垂直，则可得到什么结论？若两条直线与同一个平面垂直呢？提示：这条直线垂直于平面的任意一条直线；这两条直线平行(2)教室内的黑板所在的平面与地面所在的平面垂直，在黑板上任意画一条直线与地面垂直吗？怎样画才能保证所画直线与地面垂直？提示：不一定，也可能平行，相交(不垂直)；只要保证所画的线与两面的交线垂直即可2归纳总结，核心必记(1)直线与平面垂直的性质定理文字语言：垂直于同一个平面的两条直线平行图形语言：符号语言：ab.作用：()线面垂直线线平行；()作平行线(2)平面和平面垂直的性质定理文字语言：两个平面垂直，则一个平面内垂直于交线的直线与另一个平面垂直图形语言：符号语言： a.作用：()面面垂直线面垂直；()作面的垂线问题思考(1)同一个平面的两条垂线一定共面吗？提示：共面由线面垂直的性质定理可知该两条直线是平行的，故能确定一个平面(2)如果，那么平面内的直线都和平面垂直吗？提示：如果，那么平面内的直线不一定与平面垂直课前反思通过以上预习，必须掌握的几个知识点(1)直线与平面垂直的性质定理是什么？怎样应用？；(2)平面与平面垂直的性质定理是什么？怎样应用？.如图是日常生活中常见的旗杆，这排旗杆都与地面垂直思考1两根旗杆所在直线是什么位置关系？提示：平行思考2怎样理解直线与平面垂直的性质定理？名师指津：(1)该定理考查的是在直线与平面垂直的条件下，可得出什么结论(2)定理给出了判定两条直线平行的另一种方法(只要判定这两条直线都与同一个平面垂直)(3)定理揭示了空间中“平行”与“垂直”关系的内在联系，提供了“垂直”与“平行”关系相互转化的依据(4)定理的推证过程采用了反证法思考3直线与平面垂直有哪些性质？名师指津：(1)lb；(2)ab; (3)b；(4)a；(5).讲一讲1如图所示，在正方体ABCDA1B1C1D1中，M是AB上一点，N是A1C的中点，MN平面A1DC.求证：MNAD1.尝试解答ADD1A1为正方形，AD1A1D.又CD平面ADD1A1.CDAD1.A1DCDD，AD1平面A1DC.又MN平面A1DC，MNAD1.证明线线平行常有如下方法：(1)利用线线平行定义：证共面且无公共点；(2)利用三线平行公理：证两线同时平行于第三条直线；(3)利用线面平行的性质定理：把证线线平行转化为证线面平行；(4)利用线面垂直的性质定理：把证线线平行转化为证线面垂直；(5)利用面面平行的性质定理：把证线线平行转化为证面面平行练一练1如图，已知平面平面l，EA，垂足为A，EB，垂足为B，直线a，aAB.求证：al.证明：因为EA，l，即l，所以lEA.同理lEB.又EAEBE，所以l平面EAB.因为EB，a，所以EBa，又aAB，EBABB，所以a平面EAB.由线面垂直的性质定理，得al.思考怎样理解面面垂直的性质定理？名师指津：(1)定理成立的条件有三个：两个平面互相垂直；直线在其中一个平面内；直线与两平面的交线垂直(2)定理的实质是由面面垂直得线面垂直，故可用来证明线面垂直(3)已知面面垂直时，可以利用此定理转化为线面垂直，再转化为线线垂直讲一讲2如图，已知PA平面ABC，平面PAB平面PBC，求证：BC平面PAB.尝试解答过点A作AEPB，垂足为E，因为平面PAB平面PBC，平面PAB平面PBCPB，所以AE平面PBC，因为BC平面PBC，所以AEBC，因为PA平面ABC，BC平面ABC，所以PABC，因为PAAEA，所以BC平面PAB.应用面面垂直性质定理要注意的问题应用面面垂直性质定理证明相关问题时，一般需要作辅助线，即过其中一个平面内一点作交线的垂线，使之转化为线面垂直，然后进一步转化为线线垂直练一练2如图所示，P是四边形ABCD所在平面外的一点，ABCD是DAB60且边长为a的菱形侧面PAD为正三角形，其所在平面垂直于底面ABCD.(1)若G为AD边的中点，求证：BG平面PAD；(2)求证：ADPB.证明：(1)连接PG，由题知PAD为正三角形，G是AD的中点，PGAD.又平面PAD平面ABCD，平面PAD平面ABCDAD，PG平面ABCD.PGBG.又四边形ABCD是菱形且DAB60，ABD是正三角形BGAD.又ADPGG，BG平面PAD.(2)由(1)可知BGAD，PGAD.又BGPGG，AD平面PBG.ADPB.讲一讲3如图，在四棱锥PABCD中，侧面PAD是正三角形，且与底面ABCD垂直，底面ABCD是边长为2的菱形，BAD60，N是PB的中点，过A，D，N三点的平面交PC于M，E为AD的中点求证：(1)EN平面PDC；(2)BC平面PEB；(3)平面PBC平面ADMN.思路点拨(1)证明ENDM；(2)由ADBC可证AD平面PEB；(3)利用(2)可证PB平面ADMN.尝试解答(1)ADBC，BC平面PBC，AD平面PBC，AD平面PBC.又平面ADMN平面PBCMN，ADMN.又BCAD，MNBC.又N是PB的中点，点M为PC的中点MNBC且MNBC，又E为AD的中点，MNDE，且MNDE.四边形DENM为平行四边形ENDM，且DM平面PDC.EN平面PDC.(2)四边形ABCD是边长为2的菱形，且BAD60，BEAD.又侧面PAD是正三角形，且E为中点，PEAD，BEPEE，AD平面PBE.又ADBC，BC平面PEB.(3)由(2)知AD平面PBE，又PB平面PBE，ADPB.又PAAB，N为PB的中点，ANPB.且ANADA，PB平面ADMN.又PB平面PBC.平面PBC平面ADMN.垂直关系的转化在关于垂直问题的论证中要注意线线垂直、线面垂直、面面垂直的相互转化每一种垂直的判定都是从某一垂直开始转向另一垂直，最终达到目的，其转化关系如下：练一练3如图，平面PAB平面ABC，平面PAC平面ABC，AE平面PBC，E为垂足(1)求证：PA平面ABC；(2)当E为PBC的垂心时，求证：ABC是直角三角形证明：(1)在平面ABC内任取一点D，作DFAC于点F，作DGAB于点G.平面PAC平面ABC，且交线为AC，DF平面PAC.PA平面PAC，DFPA.同理可证，DGPA.DGDFD，PA平面ABC.(2)连接BE并延长交PC于点H.E是PBC的垂心，PCBH.又AE是平面PBC的垂线，PCAE.BHAEE，PC平面ABE，PCAB.又PA平面ABC，PAAB.PAPCP，AB平面PAC.ABAC，即ABC是直角三角形课堂归纳感悟提升1本节课的重点是理解直线与平面、平面与平面垂直的性质定理，能应用直线与平面、平面与平面的性质定理证明空间中线面垂直关系难点是理解线线垂直、线面垂直、面面垂直的内在联系2本节课要重点掌握的规律方法(1)利用线面垂直的性质证明平行问题，见讲1.(2)应用面面垂直的性质证明垂直问题，见讲2.(3)掌握垂直关系的转化，见讲3.3本节课的易错点是垂直关系转化中易出现转化混乱错误，如讲3.课下能力提升(十四)学业水平达标练题组1直线与平面垂直的性质1直线n平面，nl，直线m，则l、m的位置关系是()A相交 B异面 C平行 D垂直解析：选D由题意可知l，所以lm.2已知直线a，b，平面，且a，下列条件中，能推出ab的是()Ab BbCb Db与相交解析：选C由线面垂直的性质定理可知，当b，a时，ab.3如图，四棱锥SABCD的底面是矩形，SA底面ABCD，E，F分别是SD，SC的中点求证：(1)BC平面SAB；(2)EFSD.证明：(1)四棱锥SABCD的底面是矩形，ABBC.SA平面ABCD，BC平面ABCD，SABC.又SAABA，BC平面SAB.(2)SA平面ABCD，CD平面ABCD，CDSA.又CDAD，SAADA，CD平面SAD.E，F分别是SD，SC的中点，EFCD，EF平面SAD.又SD平面SAD，EFSD.题组2平面与平面垂直的性质4如图所示，在长方体ABCDA1B1C1D1的棱AB上任取一点E，作EFA1B1于F，则EF与平面A1B1C1D1的关系是()A平行BEF平面A1B1C1D1C相交但不垂直D相交且垂直解析：选D由于长方体中平面ABB1A1平面ABCD，所以根据面面垂直的性质定理可知，EF与平面A1B1C1D1相交且垂直5若平面平面，平面平面，则()A BC与相交但不垂直 D以上都有可能解析：选D可能平行，也可能相交如图，与平行，与相交6若两个平面互相垂直，在第一个平面内的一条直线a垂直于第二个平面内的一条直线b，那么()A直线a垂直于第二个平面B直线b垂直于第一个平面C直线a不一定垂直于第二个平面D过a的平面必垂直于过b的平面解析：选C直线a与直线b均不一定为两面的交线7平面平面，直线a平面，则()Aa BaCa与相交 D以上都有可能解析：选D因为a，平面平面，所以直线a与垂直、相交、平行都有可能8平面平面，l，n，nl，直线m，则直线m与n的位置关系是_解析：因为，l，n，nl，所以n.又m，所以mn.答案：平行9如图，在四棱锥PABCD中，底面ABCD是矩形，平面PCD平面ABCD.求证：AD平面PCD.证明：在矩形ABCD中，ADCD，因为平面PCD平面ABCD，平面PCD平面ABCDCD，AD平面ABCD，所以AD平面PCD.题组3线线、线面、面面垂直的综合10如图所示，在四棱锥SABCD中，底面ABCD是矩形，侧面SDC底面ABCD，求证：平面SCD平面SBC.证明：底面ABCD是矩形，BCCD.又平面SDC平面ABCD，平面SDC平面ABCDCD，BC平面ABCD，BC平面SCD.又BC平面SBC，平面SCD平面SBC.11如图，l，AB，ABl，BC，DE，BCDE.求证：ACDE.证明：，l，AB，ABl，AB.DE，ABDE.BCDE，ABBCB，DE平面ABC.AC平面ABC，ACDE.能力提升综合练1(2016临沂高一检测)已知m，n为异面直线，m平面，n平面，直线l满足lm，ln，l，l，则()A且lB且lC与相交，且交线垂直于lD与相交，且交线平行于l解析：选D由于m，n为异面直线，m平面，n平面，则平面与平面必相交，但未必垂直，且交线垂直于直线m，n，又直线l满足lm，ln，l，l，则交线平行于l，故选D.2在空间四边形ABCD中，平面ABD平面BCD，且DA平面ABC，则ABC是()A直角三角形 B等腰三角形C等边三角形 D等腰直角三角形解析：选A过点A作AHBD于点H，由平面ABD平面BCD，得AH平面BCD，则AHBC.又DA平面ABC，所以BCAD，所以BC平面ABD，所以BCAB，即ABC为直角三角形故选A.3(2016郑州高一检测)已知平面、，则下列命题中正确的是()A，则B，则Ca，b，则abD，a，ab，则b解析：选BA中，可以相交；C中如图，a与b不一定垂直；D中b仅垂直于的一条直线a，不能判定b.4已知平面平面，l，点A，Al，直线ABl，直线ACl，直线m，m，则下列四种位置关系中，不一定成立的是()AABm BACmCAB DAC解析：选D如图，ABlm，ACl，mlACm，ABlAB.故选D.5(2016大同高一检测)空间四边形ABCD中，平面ABD平面BCD，BAD90，且ABAD，则AD与平面BCD所成的角是_解析：过A作AOBD于O点，平面ABD平面BCD，AO平面BCD，则ADO即为AD与平面BCD所成的角BAD90，ABAD.ADO45.答案：456(2016合肥高一检测)如图，平行四边形ABCD中，ABBD，沿BD将ABD折起，使平面ABD平面BCD，连接AC，则在四面体ABCD的四个面中，互相垂直的平面的对数为_解析：因为平面ABD平面BCD，平面ABD平面BCDBD，ABBD，所以AB平面BCD.所以平面ABC平面BCD，因为ABBD，ABCD，所以CDBD.又因为平面ABD平面BCD，所以CD平面ABD，所以平面ACD平面ABD，共3对答案：37如图，在正方体ABCDA1B1C1D1中求证：(1)B1D平面A1C1B；(2)B1D与平面A1C1B的交点设为O，则点O是A1C1B的垂心证明：(1)连接B1D1，则A1C1B1D1.又有DD1A1C1，B1D1DD1D1，所以A1C1平面B1DD1，B1D平面B1DD1，从而A1C1B1D.同理可证，A1BB1D.A1C1A1BA1，所以B1D平面A1C1B.(2)连接BO，A1O，C1O.由BB1A1C1，B1OA1C1，得到A1C1平面BB1O.所以A1C1BO.同理，A1BC1O，BC1A1O.故点O是A1C1B的垂心8已知BCD中，BCD90，BCCD1，AB平面B