D52多元函数的极限连续性.ppt

,第五章,第二节,一、多元函数的概念,二、多元函数的极限与连续性,三、多元连续函数的性质,多元函数的基本概念,一、多元函数的概念,引例:, 圆柱体的体积, 定量理想气体的压强, 三角形面积的海伦公式,定义1. 设非空点集,点集 D 称为函数的定义域 ;,数集,称为函数的值域 .,特别地 , 当 n = 2 时, 有二元函数,当 n = 3 时, 有三元函数,映射,称为定义,在 D 上的 n 元函数 , 记作,例如, 二元函数,定义域为,圆域,说明:,二元函数 z = f (x, y), (x, y) D,图形为中心在原点的上半球面.,的图形一般为空间曲面 .,三元函数,定义域为,图形为,空间中的超曲面.,单位闭球,等值线 ： 另一种表示函数z=f(x,y)的方法是利用,xOy面上的曲线族。 当点(x,y)在其中每一 条曲线,f(x,y)都取相同的值,所谓的等值线f(x,y）=C， 其中C为常数。它表示,上变化时.,函数,容易看出，等值线f(x,y)=C实际上就是曲面z=f(x,y)与平面z=C 的交线在xOy平面上的投影。因此,将等值线f(x,y)=C族中各曲线升到相应得高度z=C处就不难想象出曲面z=f(x,y)的图像,例 画出函数,的等值线， 并由此等值线,解: 显然等值线为,可知， 此曲面仅位于xOy平面的上方， 与xOy平面,讨论此曲面的形状。,容易看出，当C0时，等值线,是以原点为中心的同心圆 ，C越,小半径越小; C=0时为原点O(0,0); C0时无轨迹。由此,切于原点， 在xOy平面上方与水平平面z=C的截面,都是圆， 且越往上开口半径越大,定义 设非空点集,是自变量 ;,是因变量，,显然，一个n 元向量值函数y=f(x)对应于m 个n 元数量值函数,映射,称为定义,在 D 上的 n 元向量值函数 , 也可记作,为运算方便， 有时把,其中,与,中的向量写成,列向量， 在这种情况下 n 元向量值函数 也可记作,例 我们知道, 空间中曲线的参数方程为,它可以看做是从,到,的一个映射，即一元,其中,向量函数,二、多元函数的极限和连续性,定义2. 3 设 n 元函数,点 ,则称 A 为函数,(也称为 n 重极限),当 n =2 时, 记,二元函数的极限可写作：,P0 是 D 的聚,若存在常数 A ,对一,记作,都有,对任意正数 , 总存在正数 ,切,例1. 设,求证:,证:,故,总有,要证,例2. 设,求证：,证：,故,总有,要证,如图,注： 当点,趋于不同值或有的极限不存在，,则可以断定函数极限,以不同方式趋于,不存在 .,函数,说明：,对二元函数 f (X), 如图,有, 点X以任何方式趋近于X0时, f (X)的极限都存在且为A.,例3. 设f (x, y) =,证明 f (x, y)在 (0, 0)点的极限不存在.,证: 只须证明当X 沿不同的线路趋于(0, 0)时, 函数f (x, y)对应的极限也不同即可.,考察 X =(x, y)沿平面直线 y = kx 趋于(0, 0)的情形.,如图,对应函数值,从而, 当 X = (x, y) 沿 y = kx 趋于(0,0)时, 函数极限,当 k 不同时, 极限也不同. 因此, f (x, y) 在 (0, 0)的极限不存在 .,请考察当X = (x, y)沿 x 轴, 沿 y 轴趋于(0, 0)的情形.,沿 x 轴, y = 0. 函数极限,= 0,沿 y 轴, x = 0. 函数极限,= 0,但不能由此断定该二重极限为0,例 . 求累次极限,解：,和,二元函数还可以定义两个累次极限,和,累次极限,仅知其中一个存在,推不出其它二者存在.,注. 二重极限,不同.,如果它们都存在, 则三者相等.,例如,显然,与累次极限,但由例3 知它在(0,0)点二重极限不存在 .,注：多元数量值函数极限的概念可推广到多元向量值函数的情形,定义： 设 D为一点集,则称 a 为函数,为一n元向量值函数,对一,记作,都有,对任意正数 , 总存在正数 ,切,是 D 的聚点,多元函数的连续性,定义3 . 设 n 元函数,定义在 D 上,如果函数在 D 上各点处都连续, 则称此函数在 D 上,如果存在,否则称为不连续,此时,称为间断点 .,则称 n 元函数,连续.,连续,例如, 函数,在点(0 , 0) 极限不存在,又如, 函数,上间断.,故 ( 0, 0 )为其间断点.,在圆周,结论: 一切多元初等函数在定义区域内连续.,定理：设 是紧集， 是 A 上的,(3) 对任意,(介值定理),三. 多元连续函数的性质:,的连续函数， 则,定理：设 是紧集， 在A 上连续,f 必在A 上一致连续 , 即,(证明略),时， 恒有,注：有界闭区域都是连通的紧集，故上述定理对,有界闭区域上的连续函数都成立。,(一致连续性定理),解: 原式,例5.求,例6. 求函数,的连续域.,解:,内容小结,1. 多元函数概念,n 元函数,常用,二元函数,(图形一般为空间曲面),三元函数,有,2. 多元函数的极限,3. 多元函数的连续性,1) 函数,2) 闭域上的多元连续函数的性质:,有界定理 ;,最值定理 ;,介值定理,3) 一切多元初等函数在定义区域内连续,P61 题 2; 4; 5 (3), (5) ( 画图 ) ; 8 P129 题 3; *4,思考与练习,解答提示:,P61 题 2.,称为二次齐次函数 .,P61 题 4.,P61 题 5(3).,定义域,P61 题 5(5).,定义域,P62 题 8.,间断点集,P129 题 3.,定义域,P129 题 *4.,令 y= k x ，,若令, 则,可见极限 不存在,P61 5 (2), (4), (6) 6 (2), (3), (5), (6