A1(第三章第3、4、5节(1).ppt

泰勒 (1685 1731),英国数学家,他早期是牛顿学派最,优秀的代表人物之一,重要著作有:,正和反的增量法(1715),线性透视论(1719),3. 泰 勒 公 式,泰勒公式的研究开始于在1715,年出版的正和反的增量法一书.,泰勒断言,函数在一个点的某个邻域中的值可以用函数在,该点的值以及函数在该点的各阶导数的值组成,的无穷级数表示出来,用现在的记号就是:,泰勒公式的研究开始于在1715年出版,的正和反的增量法一书.,泰勒断言,函数在一个点的某个邻域中的值可以用函数在,该点的值以及函数在该点的各阶导数的值组成,的无穷级数表示出来,用现在的记号就是:,拉格朗日利用他发明的微分中值定理建立,了泰勒公式的拉格朗日余项.,不论在近似计算或理论分析中，我们总希 望能用一个简单的函数近似地表达一个比较复 杂的函数。而在函数中又以多项式较为简单， 若能用多项式来近似表达一个函数会给研究带 来很大的方便。那么又怎样从函数本身找到我 们所需要的多项式呢？,在微分应用中知，,此式左端是一函数，而右端是 x 的一次多项式。,即用一次多项式来近似代替函数。,但这种表达式的精度不高，它所产生的误,差仅是关于 x-x0 的高阶无穷小，且无法具体估,计出误差的大小。,为此，我们用满足一定要求的高次多项式,来近似表达函数，并给出误差的计算公式。,来近似表达 f (x).,首先，可定出系数：,Taylor 中值定理：,为此，我们有,展开到,拉格朗日型余项。,说明,余项 Rn(x) 又可写成：,这种形式的余项 Rn(x) 称为皮亚诺型余项。,称为麦克劳林公式。,麦克劳林 (1698 1746),英国数学家,著作有:,流数论(1742),有机几何学(1720),代数论(1742),在第一本著作中给出了后人以他的名字,命名的麦克劳林级数。,例(1),观察这三条曲线在 x = 0 附近的弥合程度：,误差不超过,则有,和,同理可求得：,我们已求得了一些函数的麦克劳林公式, 还可以类似得到以下函数的麦克劳林公式：,利用已知的带有皮亚诺型余项的麦克劳林 公式，可以计算一些极限：,求,原式,解:,解:,解:,例：,解：,00年考研题,例,证,由假设可知,且,所以,由上式可得,例,证:,利用一阶泰勒公式, 得,故原不等式成立.,只要证,课 外 作 业,习题 3 - 3,1, 4, 8(2, 3),4. 函数的单调性与凸性的判别法,一. 函数单调性的判别法,就有 f (x1) f (x2) , 则 f (x) 单调增加 ；,就有 f (x1) f (x2) , 则 f (x) 单调减少 。,现在用导数来研究函数的单调性。,0,x,y,0,x,y,(上升),(下降),从几何上看, y = f (x) 在 a, b 上单增(或单减)，,其图形是一条沿 x 轴正向上升(或下降)的曲线。,上升的曲线每点处的切线斜率均为非负，,下降的曲线每点处的切线斜率均为非正，,a,b,a,b,定 理：, 函数单调性的判别法,证：,由L 定理，,由 x1, x2 的任意性, f (x) ;,由 x1, x2 的任意性, f (x) .,此判别法的结论可推广到其他各种区,说明,1.,2.,（这些点不组成一个区间）定理仍成立。,但曲线仍单增，在 x = 0 处有一条水平切线。,间，包括无穷区间。,例1：,解：,所以 y 在其定义域内,解：,y,y,所以 y 在(-,0内,等号只在一点成立，,y 在0,+)内,解：,y,y,所以 y 在 (-,0 内,y 在 0,+) 内,若函数在定义区间上不是单调的，但在定 义区间上连续，且除去有限个导数不存在的点 外导数存在且连续。那么只要用 的 点及 不存在的点来划分定义区间，就能 保证各个部分区间内 保持同号，从而函 数在各个部分区间上单调。,例2：,解：,y,0,+,0,1,(-1,1),-1,x,y,+,0,不存在,+,0,x,例3：,解：,例1：,证：,二. 函数单调性的一些应用,1. 证明不等式,例1：,例2：,证：,2. 证明方程根的唯一性,例3：,有唯一的实根。,证：,先证明根的存在性：,由零点定理, f (x) = 0 在(-1,0)内至少有一根;,再证明根的唯一性：,则 y = f (x)至多穿过 x 轴一次, 即 f (x) = 0至多有一根, f (x) = 0 在 (-1,0) 内只有唯一实根。,课 外 作 业,习题 3 4 (A),3(2, 4), 4(3, 4), 5,习题 3 4 (B),6,二、函数的凸性及其判别法,同样单增的函数，有时弯曲的方向不一样。,凹(向下凸),凸(向上凸),a,b,弦上弧下，则曲线为向下凸（凹）；,弦下弧上，则曲线为向上凸（凸）。,a,b,x1,x2,P,Q,(a),(b),取弦的中点 Q,与曲线弧上的相应点 P,x1,x2,P,Q,设 f (x) 在区间 I 上连续，如果对 I 上任 意两点 x1, x2 , 恒有,定义：,则称 f (x)在 I 上的图形是凹的 (凹弧)。如图(a),则称 f (x)在 I 上的图形是凸的 (凸弧)。如图(b),恒有,凹凸性判定定理（用一阶导数）,定理：,凹凸性判定定理（用二阶导数）,定理：,设函数 f (x) 在 (a, b)内二阶可导。 若在 (a, b)内,则 f (x) 在 (a, b) 内是凹的；,则 f (x) 在 (a, b) 内是凸的。,说明,定理仍成立。,例：,f (x) 在任意区间上的凹凸的定义,及判定定理与上类同。,判别下列函数的凹凸性：,1., y 处处 凸.,2.,凸,凹,曲线是凹的；,曲线是凸的。,定义：,连续曲线上凹弧与凸弧的分界点,称为这曲线的拐点(或扭转点)。,说明,(1),拐点的可疑处：,(2),拐点在曲线上，而不在 x 轴上，,其坐标为 ( x0, y0 )。,拐点的判别定理,定理1.,设具有二阶连续导数的曲线 y = f (x),在 x = x0 处有,当 x x0 时，,当 x x0 时，,则 (x0, f (x0) 是 y = f (x) 的拐点。,则 (x0, f (x0) 不是 y = f (x) 的拐点。,定理2.,设 y = f (x)在x0的某邻域内有三阶连续导 数，,则 (x0, f (x0) 是 y = f (x) 的拐点。,例 题,例1：,求下列函数的凹凸区间及拐点：,(1),( 正态分布曲线 ),解：,x,y,0,0,+,+,(2),解：,x,y,4,不存在,+,2,拐点: (4, 2) .,例2：,解：,例3 利用函数图象的凸性，证明不等式,证：,所以当 t 0 时，f (t) 的图象是凹的，,.,在区间 上是凸弧;,拐点为,在区间 上是凹弧;,则函数 f (x) 的图形,例4 设函数,形如图所示,的图,课 外 作 业,习题 3 4(A),8(1, 2, 6), 10,习题 3 4(B),11, 12,5. 函数的极值与最大值最小值,一. 函数的极值及其求法,函数单调区间的分界点 x = -1, 1.,对在 x = - 1 附近的点 x，,对在 x = 1 附近的点 x,有 f (x) f (-1) = - 2,有 f (x) f (1) = 2,定义：,若 f (x) f (x0), 则称 f (x0) 为 f (x) 的一个极大值，,x0 称为极大值点；,若 f (x) f (x0), 则称 f (x0) 为 f (x) 的一个极小值，,x0 称为极小值点。,极大值(点)与极小值(点)统称极值(点)。,例2 中，f (-1) = -2 为极小值，x = -1 为极小值点，,f (1) = 2 为极大值，x = 1 为极大值点。,说明：1. 函数的极值概念是局部性的，相对的， 是在极值点的某邻域内与其它点处的函数值相比 较而得的。而函数的最值概念是整体性的，绝对 的，是在函数的整个定义区间内与所有函数值相 比较而得。所以极大(小)值不一定是最大(小)值。,x,y,0,2. 在某一区间上函数可能有许多极大值与 极小值，且某些极大值可比极小值还要小。,由上图可知，函数取到极值处，曲线 的切线如存在则都是水平的，但有水平切 线的点不一定都是函数的极值点。,定理1：（必要条件）,设 f (x) 在 x0 处可导，且在 x0 处取得 极值，则必有,极值的求法.,可导函数的极值点必是驻点，,说明,1. 使导数 为 0 的点, 称为f (x)的驻点。,2. 驻点与导数不存在的点是函数的可疑的,考察这些可疑点后求得函数的极值点。,但驻点不一定是极值点。,极值点。,定理2.( 第一充分条件 ),则 f (x) 在 x0 处取到极大值；,则 f (x) 在 x0 处取到极小值；,则 f (x) 在 x0 处不取极值。,直 观 情 况,x从左向右变动,x从左向右变动,x从左向右变动,求函数极值点，极值的步骤：,极小,0 极大,y,+,0,不存在,+,0,x,例1：,解：,可利用驻点处二阶导数的符号判定极值，,从而有第二充分条件。,定理3.( 第二充分条件 ),f (x) 在 x0 处取到极大值；,f (x) 在 x0 处取到极小值。,则,注：,需用第一充分条件判定。,则本定理失效。,证: (1),存在,由第一判别法知,(2) 类似可证.,例2：,解：,不能用定理3来判定，,只能利用第一充分条件判定。,0,1,+,(0,1),y,+,0,0,0,(-1,0),-1,x,-1,1,的连续性及导函数,例3.,设函数,其导数图形如图所示,单调减区间为 ;,极小值点为 ;,极大值点为 .,提示:,的正负作 f (x) 的示意图.,单调增区间为 ;,则 f (x) 的,定理4 (判别法的推广),则:,数, 且,1) 当 n 为偶数时,是极小点;,是极大点.,2) 当 n 为奇数时,为极值点, 且,不是极值点.,当 充分接近 时, 上式左端正负号由右端第一项确定,故结论正确.,证:,可得,利用 在 点的泰勒公式,函数取到最大值与最小值的几种情况：,(1) f (x)在a, b上单增时，,最大值 f (b),最小值 f (a);,(2) f (x)在a, b上单减时，,最小值 f (b),最大值 f (a)；,(3) f (x)在a, b上不单调时，,最大最小值只有在端点或极 值点处才可能取到。,二、最大值与最小值问题,求 f (x) 在 a, b 上的最大(小)值的步骤：,例 题,例3：,最大值与最小值。,解：,则 最小值,最大值,例4：,最大值与最小值。,解：,3,例5. 求函数,在闭区间,上的最大值和最小值.,解:,且,显然,例5. 求函数,在闭区间,上的最大值和最小值.,解:,且,显然,例5. 求函数,在闭区间,上的最大值和最小值.,解:,故函数在,取最小值 0;,在,及,取最大值 5.,证：,分析：,最大（小）值问题的几点说明：,(1) f (x)在区间(有限或无限,开或闭)内可导, 且只有一个驻点 x0 , 并且这个驻点是f (x)的极值点, 那么：,(2) 实际问题中， 如果根据问题的性质可断定可导函数f (x)确有最大值或最小值，且一定在定义区间内部取得。这时如果f (x)在定义区间内只有一个驻点x0, 则不必讨论，就可断定f (x0)是最大值或最小值。,若f (x0)是极大值时，则f (x0)是区间上的最大值；,若f (x0)是极小值时，则f (x0)是区间上的最小值。,例7. 问函数,在何处取得最小值？,解：,即在此处取得最小值,= 0,例8：,证明不等式：,证：, 0 ?, 0 ?,当 x 0 ,当 x 0 ,= 0 ,得证。,例9：,求证：从点 A(5, 0) 向抛物线,则 AP 是抛物线的法线。,上的点 P(x, y) 作最短线段 AP，,证：,唯一驻点,此时抛物线上的点为,而抛物线在P点的切线斜率为,所以AP是抛物线的法线。,A(5, 0),在半径为R的球内嵌入一圆柱体，当圆柱 体的底圆半径为多少时，圆柱体的体积最大？,R,r,圆柱体体积:,例10：,设底半径为 r, 高为 h., 目标函数,为(0, R)上唯一驻点，,注：,目标函数可否设成,解