随机系统的建模与仿真.ppt

第6章 随机系统的建模与仿真,陈无畏 合肥工业大学机械与汽车工程学院,系统建模与仿真,6.1 随机系统基本知识,6.1.1 随机系统概述,1 随机事件与随机变量 随机事件:在随机实验中，可能出现也可能不出现，而在大量重复实验中具有某种规律性的事件。 随机变量:设S为随机实验，它的样本空间为 ，对于每一个 ，有一个实数 与之对应，则 就称之为随机变量。,6.1 随机系统基本知识(续）,2 随机过程、样本函数 随机过程(Stochastic Process)：设 （ ）是随机实验， 每一次实 验都有一条时间波形（称为样本函数），记 为 ，所有可能出现的结果总体 就构成一随机过程，记作 。如图6-1 所示。,6.1 随机系统基本知识(续）,图6-1 样本函数的总体-随机过程,6.1 随机系统基本知识(续）,6.1.2 随机变量的统计特性,6.1 随机系统基本知识(续）,1 概率密度函数 概率密度函数 表示每个 值发生的可能性，即每个事件发生的概率分布，表示其中一个事件。 概率密度函数 的性质如下,(6.1) (6.2),6.1 随机系统基本知识(续）,2 概率分布函数 随机变量 的概率分布函数 是指变量的值小于或者等于 的随机变量的概率。 定义为 (6.3) 如果有两个随机变量 ，则可以用联合概率分布函数及联合概率密度函数来加以描述，定义如下： 联合概率分布函数 (6.4) 联合概率密度函数 (6.5),6.1 随机系统基本知识(续）,3 均值 、均方值 、均方根 随机变量 的均值 定义为 (6.6) 随机变量 的均方值 定义为 (6.7) 随机变量 的均方根 定义为 (6.8),6.1 随机系统基本知识(续）,4 方差 随机变量 的方差 定义为 (6.9),6.1 随机系统基本知识(续）,泊松分布,指数分布,分布,爱尔朗分布,常用的几种概率分布,6.1 随机系统基本知识(续）,(1)均匀分布 若在区间 中，连续型随机变量 的概率密度函数为 （6.10） 则 称在区间 上服从均匀分布，记作 。,6.1 随机系统基本知识(续）,均匀分布的概率密度函数和分布函数可 用图6-2的曲线表示。,图6-2 均匀分布的分布曲线,6.1 随机系统基本知识(续）,(2)正态分布 正态分布又称为高斯分布，是最常用的一种连续分 布。若连续型随机变量 的概率密度函数为 (6.12) 其中 为大于零的常数，则 称服从参数 的正 态分布，记作 。,6.1 随机系统基本知识(续）,(3)泊松分布 若离散型随机变量 的概率分布为 (6.13) 其中 为常数，则称 服从参数 的泊松分 布，记作 。其中参数 为泊松分布 随机变量 的均值和方差。,6.1 随机系统基本知识(续）,(4)指数分布 若连续型随机变量的概率密度函数为 (6.14) 其中 为常数，则称 服从参数 的指数分布。,6.1 随机系统基本知识(续）,（a）指数分布的曲线 (b) 指数分布的曲线 图6-5 指数分布曲线,6.1 随机系统基本知识(续）,(5) 分布和爱尔朗分布 以p为参数的广义积分 ，当p0时收 敛，它所确定的函数p称为 的函数，记作 若随机变量的概率密度函数为 (6.16) 其中p0为常数，则称X服从a,p参数的 分布。,6.1 随机系统基本知识(续）,k个相互独立，具有相同分布的指数分布随机 变量之和服从爱尔朗分布。即若有k个相互独立 的机变量 ，其概率密度函数为,6.1 随机系统基本知识(续）,那么，随机变量 其概率密度函数为,6.1.3 随机过程的统计特性,自相关域特性,幅值域(时域)特性,6.1.3 随机过程的统计特性(续）,1.幅值域(时域)特性 对于各态历经平稳随机过程（即平稳随机 过程的数据特征与一个样本函数 的时间平 均数据特征相同），随机过程统计特性可以简 化为 的时间统计特性。统计特性有:,6.1.3 随机过程的统计特性(续）,(1)均值 (6.18) (2)方差 (6.19) (3)均方值 (6.20),6.1.3 随机过程的统计特性(续）,2.自相关域特性 自相关函数是对随机过程在相关域上的特 性描述。它表征随机过程在一个时刻和另一时 刻采样值之间的相互依赖程度，即表征信号随 机变化的程度。 对于平稳随机过程，有自相关函数,(6.21),6.1 随机系统基本知识(续）,反映了在时刻 和 的值和的相关 性，或者说已知 ， 的可预见性。自相关 函数大，则 变化缓慢，由 预见 的可 能性大；自相关函数小，则相反。 是一个偶函数，即 ，并且 在 时有最大值，即 。,6.1.3 随机过程的统计特性(续）,3.频域特性 功率谱密度是对随机过程在频域上的特性描述，它 是自相关函数的傅里叶变换，有功率谱密度函数 (6.22) 其逆变换为 (6.23),6.1.3 随机过程的统计特性(续）,以上两式构成傅里叶变换对，称为维纳-辛钦 公式。 功率谱密度函数 表示随机过程的均方值 （总能量）在频率域内的分布情况。,6.1.4 白噪声的统计特性,白噪声是最简单的一种随机过程。所谓白噪声 是指它的自相关函数为一理想脉冲函数，它的功率 谱密度是一个常数。 有 (6.24) (6.25) 式中 为白噪声的方差， 为脉冲函数。,6.1.4 白噪声的统计特性,从频域角度看，白噪声的能量在整个频谱上 均匀分布。如图6-6所示。,图6-6 白噪声的自相关函数及功率谱密度,6.1.4 白噪声的统计特性(续）,白噪声只有理论上的价值，实际上只有近似 的白噪声，即在系统感兴趣的频带之内 是一 个常数，而 也只是近似于一个脉冲。如图6-7所示。,6.1.4 白噪声的统计特性(续）,图6-7 近似白噪声的自相关函数及功率谱密度,6.2 随机系统模型简介,假设某一随机系统为一线性时变系统，其数学模型可用状态方程描述 (6.26) 式中： 为系统的状态变量； 为随机初值； 为系统输出； 为外界扰动,为随机变量； 为系数矩阵,为确定量； 为输入矩阵，为确定量； 为输出矩阵，为确定量； 为系统参数随机误差； 亦为系统参数随机误差。,6.2 随机系统模型简介（续）,指数相关的随机过程,自回归-滑动平均模型,6.3 随机变量的分布参数估计,6.3 随机变量的分布参数估计（续）,(1)位置参数 位置参数确定了一个分布函数取值范围的横坐标。 (2)比例参数 比例参数决定分布参数在其取值范围内取值的比例尺。 (3)形状参数 形状参数确定分布参数的形状，从而改变分布参数的性质。,6.3 随机变量的分布参数估计（续）,2.分布参数的估计,总体参数：已知仿真模型中随机模型的分布类型，为完全确定一个分布所需要确定的分布类型中所含参数的数值 参数空间 ：总体参数可能取值的范围 参数估计：已知被仿真实际系统随机变量的实际数据,根据这些数据对分布类型中的未知总体参数进行估计的过程,6.3 随机变量的分布参数估计（续）,参数估计问题的实质：给出一组分布函数，只知 道其中有一个是总体分布函数，但不知道究竟是 哪一个，需要根据样本来估计这个实际的总体分 布。 分布参数的方法 ：最大似然估计，最小二乘估 计，无偏估计等,6.4 随机系统的仿真方法,6.4.1 蒙特卡罗仿真法,定义：蒙特卡罗法是一种通过随机变量 的统计实验、随机仿真来求解数 学物理、工程技术问题近似解的 数值方法。,1.蒙特卡罗方法概述,6.4 随机系统的仿真方法（续）,步骤：第一，建立随机系统模型； 第二，多次循环仿真，记录每次仿真 的主要结果； 第三，多次仿真结果的后处理，计算统计特 性，如均值、方差、频谱或相关函数。,6.4 随机系统的仿真方法（续）,特点：第一，适应线性系统和非线性系统，使 用限制条件少； 第二，仿真工作量大。尤其系统存在多 种随机因素，而且想得到每种因素对系 统的影响时更为繁琐。,6.4 随机系统的仿真方法（续）,2.蒙特卡罗方法的概率收敛性 根据大数定律， 是 个独立的随 机变量，它们有相同的分布，且有相同的有限期望 和方差 ， 。 则对于任意 ，有 (6.30),6.4 随机系统的仿真方法（续）,由伯努利定理说明，设随机事件A的概率为 P(A)，在N次独立实验中，事件A发生的频数为n， 频率为n/N，则对于任意的 ，有 (6.31),6.4 随机系统的仿真方法（续）,蒙特卡罗方法从总体 抽取简单子样做 抽样实验，根据简单子样的定义， 为具 有同分布的独立随机变量当N足够大时， 以概率1收敛于 ，而频率 以概率1收 敛于 ，这就保证了使用蒙特卡罗方法的概 率收敛性。,6.4 随机系统的仿真方法（续）,6.4.2 伴随系统仿真法,定义：将原系统转变成它的伴随系统，再用 伴随系统仿真代替原系统仿真的一种 仿真方法。,6.4 随机系统的仿真方法（续）,特点：第一，只适用于线性时变或非时变系 统； 第二，一次仿真可以得到系统的统计特 性，因而仿真工作量小； 第三，当系统存在多个干扰时，一次仿 真可以获得每个干扰引起的系统响应的 分量,6.4 随机系统的仿真方法（续）,1.伴随系统 伴随系统是原系统的共轭系统，共轭是指时间上 和输入/输出间的共轭。 假定用以下状态方程 (6.32) 代表一个线性时变系统。,6.4 随机系统的仿真方法（续）,为 维系统状态变量， 为 维输入， 为 维输出， ， ， 分别为 ， ， 维 实数阵， 分别为系统的开始及结束运行时间。,6.4 随机系统的仿真方法（续）,如果上式是原系统状态方程，它的 伴随系统状态方程为,(6.33),因此，如果知道原系统模型，就可以 按式(6.33)求出它的伴随系统模型。,6.4 随机系统的仿真方法（续）,2.伴随系统的性质 假定 为原系统的脉冲响应过渡函数，这里 和 分别为系统响应的观察时间和脉冲加入时间。再假定 为其伴随系统的脉冲响应过渡函数， 和 分别为伴随系统响应的观察时间和脉冲加入时间。可以证明两个系统的脉冲响应过渡函数 和 有以下关系 (6.34),6.4 随机系统的仿真方法（续）,3.伴随系统的仿真 对于随机过程作用下的线性系统，输入输出间关系的 时域和频率域表示如图6-13所示 (a) 线性系统的时域表示 (b) 线性系统的频域表示 图6-13 随机过程与线性系统,6.4 随机系统的仿真方法（续）,根据工程数学的知识，可用卷积表示系统输入输 出间的关系，即 (6.38) 由上式得 的均方值 表达式为 (6.39) 上式反映了系统输入输出间的时域关系。,6.5 几种常见的模型,1.随机常数 一个连续随机常数可表示为 (6.43) 与其相应的离散过程为 (6.44),6.5 几种常见的模型(续）,随机常数表示初始条件是一个随机变量， 因而相当于一个没有输入但有随机初始值的积 分器的输出，如图6-15所示。,图6-15 随机常数,6.5 几种常见的模型(续）,2.随机斜坡 随机过程随时间线性增长，但是增长的斜率则 是具有一定概率分布的随机量。图6-16为其结构图 (6.45) 图6-16 随机斜坡,6.5 几种常见的模型(续）,3.随机游动 如果输入的白噪声过程具有零均值和平 稳的正态分布，则输出就称为维纳过程，也 称作随机游动。 (6.47),6.5 几种常见的模型(续）,式中 。图6-17为其结构图。 图6-17 随机游动,6.5 几种常见的模型(续）,4.指数相关的随机过程 随机过程具有如下指数型相关函数 (6.49) 式中， 为随机过程的方差， 为过程的相关时 间。显然这是一个一阶马尔可夫过程。,6.5 几种常见的模型(续）,5.组合模型 图6-19所示随机过程为由随机常数、随机 游动、随机斜坡以及一阶马尔可夫过程组合而 成。 图6-19 组合模型,6.5 几种常见的模型(续）,6.自回归-滑动平均模型（ARMA） 设时间序列 ，其自回归-滑动平 均模型表示为 (6.57),6.5 几种常见的模型(续）,式中，p为自回归阶次，q为滑动平均阶次， 为平均值， 。当时p=0，为滑动平均 模型（MA模型）；当q=0时为自回归模型（AR模 型）。,6.6 系统辨识,6.6.1 系统辨识的概念与分类,概念：系统辨识是一种借助实验输入 输出观测数据确定过程动态品质或系统结 构和参数的理论与技术。,6.6 系统辨识（续）,分类：根据描述系统数学模型的不同 可分为线性系统和非线性系统辨识、 集中参数系统和分布参数系统辨识； 根据系统的结构可分为开环系统与闭 环系统辨识；根据参数估计方法可分 为离线辨识和在线辨识等。,6.6 系统辨识（续）,6.6.2 系统辨识的内容和步骤,研究内容 ：实验设计；模型结构 确定；模型参数估计；模型验证。 辨识内容及步骤如图6-20所示。,6.6 系统辨识（续）,图6-20 系统辨识的一般步骤,6.6 系统辨识（续）,一般步骤 ：(1)明确辨识目的(2)掌握和运用先 验知识 (3)实验设计(4)数据预处理 (5)模型结 构辨识 (6)模型参数估(7)模型验证计,6.6 系统辨识（续）,6.6.3 系统辨识建模方法,线性系统的辨识理主要方法 ：最小二乘 法，递推最小二乘法，广义最小二乘法，增广最 小二乘法，辅助变量法，Kalman滤波法，极大似 然法等。,6.6 系统辨识（续）,对于一个单输入单输出的线性定常系统，通常可 以用一个离散时间的差分方程来描述，即 (6.59) 式中， 和 式系统实际测量到的输入输出 序列； 是零均值具有相同分布的不相关的随机 序列；n表示系统的阶次。,6.6 系统辨识（续）,每一个观测方程可以表示为 (6.60) 若观测方程组用向量-矩阵的形式表示，则可写成 (6.61),6.6 系统辨识（续）,式(6.59)和式(6.60)可称为最小二乘模型类， 它们最后都要变成式(6.61)。它可称为最小二乘的 标准格式。,6.6 系统辨识（续）,2.系统参数与状态估计的极大似然法 设 是一个随机变量，其概率密度 依赖于某未知参数 。为了由观测值 估计 ，要选取 使似然函数极大化的那个值 。如果对所有的 值， 是中的最大值 ，那么 是准确的参数值的可能性就最大。这时，我们就称 是 的极大似然估计，并记为 。,6.6 系统辨识（续）,3.系统模型结构的辨识和检验 系统模型好坏的关键首先在于模型结构是否正 确。根据AIC准则和SIC准则判别阶数的思想，文 献2提出一种非线性系统模型多项式“阶数”的判别 准则为 (6.88),6.6 系统辨识（续）,其中 表示当多项式的“阶数”为n时系统 模型误差的方差， 和 为两个加权系数， 的取值表示了模型误差和模型简化之间的折衷关 系，如图6-21所示 。,6.6 系统辨识（续）,图6-21 NLC(n) 准则函数,6.7 随机系统建模与仿真实例,路面是一个典型的随机系统，通常把路面相对基 准平面的高度，沿道路走向长度I变化q(I)，称为路面 纵断面曲线或不平度函数，如图6-22所示。,图6-22 路面纵断面曲线,6.7 随机系统建模与仿真实例（续）,在利用路面随机高程作为激励信号对车辆的 振动进行仿真研究时，为保证仿真结果的真实可 信，对于仿真研究中生成的路面不平度（随机高 程）需要进行验证，以确保对车辆模型输入激励 的正确。,6.7 随机系统建模与仿真实例（续）,当车速恒定时，路面不平度服从高斯概率分 布，为具有零均值的平稳各态历经特性随机过程， 可以用路面的功率谱密度(PSD)函数和方差来描述 其统计特性。,6.7.1 路面激励和空间频率功率谱,6.7 随机系统建模与仿真实例（续）,路面功率谱密度Gq(n)的拟合表达式为 (6.89) 式中：n空间频率（ ），它是波长的倒 数，表示每米长度中包含几个波长； = 0.1参考空间频率， ；,6.7 随机系统建模与仿真实例（续）,Gq( ) 下的路面功率谱密度值，称为 路面不平度系数， ； w频率指数，为双对数坐标上斜线的斜 率，它决定路面功率谱密度频率结构。,6.6 系统辨识（续）,同时，每种路面的均方根值来描述路面随机激 励信号的强度或平均功率 (6.90),6.6 系统辨识（续）,对于汽车振动系统而言，车速是必须要考虑 的一个因素。当汽车以车速驶过空间频率n的路 面时，时间频率功率谱密度和空间频率功率谱密 度具有如下关系