2020版高考数学第十章计数原理、概率、随机变量及其分布列第六节二项分布与正态分布讲义.docx

第六节二项分布与正态分布突破点一事件的相互独立性及条件概率1条件概率定义设A，B为两个事件，且P(A)0，称P(B|A)为在事件A发生的条件下，事件B发生的条件概率性质0P(B|A)1；如果B和C是两个互斥事件，则P(BC|A)P(B|A)P(C|A)2.事件的相互独立性定义设A，B为两个事件，如果P(AB)P(A)P(B)，则称事件A与事件B相互独立性质若事件A与B相互独立，则P(B|A)P(B)，P(AB)P(A)P(B)；如果事件A与B相互独立，那么A与，与B，与也都相互独立一、判断题(对的打“”，错的打“”)(1)条件概率一定不等于它的非条件概率()(2)对于任意两个事件，公式P(AB)P(A)P(B)都成立()(3)相互独立事件就是互斥事件()(4)在条件概率中，一定有P(AB)P(B|A)P(A)()答案：(1)(2)(3)(4)二、填空题1将一个大正方形平均分成9个小正方形，向大正方形区域随机投掷一点(每次都能投中)，投中最左侧3个小正方形区域的事件记为A，投中最上面3个小正方形或正中间的1个小正方形区域的事件记为B，则P(A|B)_.答案：2抛掷两枚质地均匀的硬币，A第一枚为正面向上，B第二枚为正面向上，则事件C两枚向上的面为一正一反的概率为_答案：3有一批种子的发芽率为0.9，出芽后的幼苗成活率为0.8，在这批种子中，随机抽取一粒，则这粒种子能成长为幼苗的概率为_答案：0.72考法一条件概率例1(1)(2019武汉调研)小赵、小钱、小孙、小李到4个景点旅游，每人只去一个景点，设事件A为“4个人去的景点不相同”，事件B为“小赵独自去一个景点”，则P(A|B)()A.B.C. D.(2)(2019信丰联考)已知盒中装有3只螺口灯泡与7只卡口灯泡，这些灯泡的外形都相同且灯口向下放着，现需要一只卡口灯泡，电工师傅每次从中任取一只并不放回，则在他第1次抽到的是螺口灯泡的条件下，第2次抽到的是卡口灯泡的概率为()A. B.C. D.解析(1)小赵独自去一个景点共有4333108种情况，即n(B)108,4个人去的景点不同的情况有A432124种，即n(AB)24，P(A|B).(2)设事件A为“第1次抽到的是螺口灯泡”，事件B为“第2次抽到的是卡口灯泡”，则P(A)，P(AB).则所求概率为P(B|A).答案(1)A(2)D方法技巧条件概率的3种求法定义法先求P(A)和P(AB)，再由P(B|A)求P(B|A)基本事件法借助古典概型概率公式，先求事件A包含的基本事件数n(A)，再求事件AB所包含的基本事件数n(AB)，得P(B|A)缩样法缩小样本空间的方法，就是去掉第一次抽到的情况，只研究剩下的情况，用古典概型求解，它能化繁为简考法二事件的相互独立性例2(2019洛阳模拟)在某中学篮球体育测试要求学生完成“立定投篮”和“三步上篮”两项测试，“立定投篮”与“三步上篮”各有2次投篮机会，先进行“立定投篮”测试，如果合格才有机会进行“三步上篮”测试，为了节约时间，每项只需且必须投中一次即为合格小明同学“立定投篮”的命中率为，“三步上篮”的命中率为，假设小明不放弃任何一次投篮机会且每次投篮是否命中互不影响(1)求小明同学一次测试合格的概率；(2)设测试过程中小明投篮的次数为，求的分布列解(1)设小明第i次“立定投篮”命中为事件Ai，第i次“三步上篮”命中为事件Bi(i1,2)，依题意有P(Ai)，P(Bi)(i1,2)，“小明同学一次测试合格”为事件C.(1)P()P(1 2)P(1 A2 1 2)P(A11 2)P(1)P(2)P(1)P(A2)P(1)P(2)P(A1)P(1)P(2)222.P(C)1.(2)依题意知2,3,4，P(2)P(A1B1)P(12)P(A1)P(B1)P(1)P(2)，P(3)P(A11B2)P(1A2B1)P(A112)P(A1)P(1)P(B2)P(1)P(A2)P(B1)P(A1)P(1)P(2)，P(4)P(1A21)P(1)P(A2)P(1).故投篮的次数的分布列为：234P相互独立事件同时发生的概率的2种求法(1)直接法：利用相互独立事件的概率乘法公式(2)间接法：从对立事件入手计算 1.已知1号箱中有2个白球和4个红球，2号箱中有5个白球和3个红球，现随机从1号箱中取出一球放入2号箱，然后从2号箱中随机取出一球，则两次都取到红球的概率是()A.B.C. D.解析：选C设“从1号箱取到红球”为事件A，“从2号箱取到红球”为事件B.由题意，P(A)，P(B|A)，所以P(AB)P(B|A)P(A)，所以两次都取到红球的概率为.2.为向国际化大都市目标迈进，某市今年新建三大类重点工程，它们分别是30项基础设施类工程、20项民生类工程和10项产业建设类工程现有3名民工相互独立地从这60个项目中任选一个项目参与建设，则这3名民工选择的项目所属类别互异的概率是()A. B.C. D.解析：选D记第i名民工选择的项目属于基础设施类、民生类、产业建设类分别为事件Ai，Bi，Ci，i1,2,3.由题意，事件Ai，Bi，Ci(i1,2,3)相互独立，则P(Ai)，P(Bi)，P(Ci)，i1,2,3，故这3名民工选择的项目所属类别互异的概率是PAP(AiBiCi)6.3.为备战2018年瑞典乒乓球世界锦标赛，乒乓球队举行公开选拔赛，甲、乙、丙三名选手入围最终单打比赛名单现甲、乙、丙三人进行队内单打对抗比赛，每两人比赛一场，共赛三场，每场比赛胜者得3分，负者得0分，在每一场比赛中，甲胜乙的概率为，丙胜甲的概率为，乙胜丙的概率为p，且各场比赛结果互不影响若甲获第一名且乙获第三名的概率为.(1)求p的值；(2)设在该次对抗比赛中，丙得分为X，求X的分布列和数学期望解：(1)由已知，甲获第一名且乙获第三名的概率为.即甲胜乙、甲胜丙且丙胜乙的概率为，(1p)，p.(2)依题意，丙得分X的所有取值为0,3,6.丙胜甲的概率为，丙胜乙的概率为，P(X0)，P(X3)，P(X6)，X的分布列为P036XE(X)036.突破点二独立重复试验与二项分布1独立重复试验在相同条件下重复做的n次试验称为n次独立重复试验Ai(i1,2，n)表示第i次试验结果，则P(A1A2A3An)P(A1)P(A2)P(An)2二项分布在n次独立重复试验中，用X表示事件A发生的次数，设每次试验中事件A发生的概率是p，此时称随机变量X服从二项分布，记作XB(n，p)，并称p为成功概率在n次独立重复试验中，事件A恰好发生k次的概率为P(Xk)Cpk(1p)nk(k0,1,2，n)一、判断题(对的打“”，错的打“”)(1)小王通过英语听力测试的概率是，他连续测试3次，那么其中恰好第3次测试获得通过的概率是PC131.()(2)二项分布是一个概率分布，其公式相当于(ab)n二项展开式的通项公式，其中ap，b1p.()(3)二项分布是一个概率分布列，是一个用公式P(Xk)Cpk(1p)nk，k0,1,2，n表示的概率分布列，它表示了n次独立重复试验中事件A发生的次数的概率分布()答案：(1)(2)(3)二、填空题1设随机变量XB，则P(X3)等于_答案：2位于坐标原点的一个质点P按下述规则移动：质点每次移动一个单位，移动的方向为向上或向右，并且向上、向右移动的概率都是.质点P移动五次后位于点(2,3)的概率是_答案：3若B(n，p)且E()6，D()3，则P(1)的值为_答案：3210考法一独立重复试验的概率例1(1)如果生男孩和生女孩的概率相等，则有3个小孩的家庭中女孩多于男孩的概率为()A. B. C. D.(2)投掷一枚图钉，设钉尖向上的概率为p，连续掷一枚图钉3次，若出现2次钉尖向上的概率小于3次钉尖向上的概率，则p的取值范围为_解析(1)设女孩个数为X，女孩多于男孩的概率为P(X2)P(X2)P(X3) C2C33.故选B.(2)设P(Bk)(k0,1,2,3)表示“连续投掷一枚图钉，出现k次钉尖向上”的概率，由题意得P(B2)P(B3)，即Cp2(1p)Cp3.3p2(1p)p3.由于0p1，p1.答案(1)B(2)方法技巧n次独立重复试验中事件A恰好发生k次的概率n次独立重复试验中事件A恰好发生k次可看作是C个互斥事件的和，其中每一个事件都可看作是k个A事件与nk个事件同时发生，只是发生的次序不同，其发生的概率都是pk(1p)nk.因此n次独立重复试验中事件A恰好发生k次的概率为Cpk(1p)nk.考法二二项分布的应用例2(2019顺德一模)某市市民用水拟实行阶梯水价，每人月用水量不超过w立方米的部分按4元/立方米收费，超出w立方米的部分按10元/立方米收费，从该市随机调查了100位市民，获得了他们某月的用水量数据，整理得到如下频率分布直方图，并且前四组频数成等差数列(1)求a，b，c的值及居民月用水量在22.5内的频数；(2)根据此次调查，为使80%以上居民月用水价格为4元/立方米，应将w定为多少？(精确到小数点后2位)(3)若将频率视为概率，现从该市随机调查3名居民的月用水量，将月用水量不超过2.5立方米的人数记为X，求其分布列及均值解(1)前四组频数成等差数列，所对应的也成等差数列，设a0.2d，b0.22d，c0.23d，0.5(0.20.2d0.22d0.23d0.2d0.10.10.1)1，解得d0.1，a0.3，b0.4，c0.5.居民月用水量在22.5内的频率为0.50.50.25.居民月用水量在22.5内的频数为0.2510025.(2)由题图及(1)可知，居民月用水量小于2.5的频率为0.70.8，为使80%以上居民月用水价格为4元/立方米应规定w2.50.52.83.(3)将频率视为概率，设A(单位：立方米)代表居民月用水量，可知P(A2.5)0.7，由题意，XB(3,0.7)，P(X0)C0.330.027，P(X1)C0.320.70.189，P(X2)C0.30.720.441，P(X3)C0.730.343.X的分布列为X0123P0.0270.1890.4410.343E(X)np2.1.方法技巧某随机变量是否服从二项分布的特点(1)在每一次试验中，事件发生的概率相同(2)各次试验中的事件是相互独立的(3)在每一次试验中，试验的结果只有两个，即发生与不发生1.将一枚质地均匀的硬币连续抛掷n次，事件“至少有一次正面向上”的概率为P，则n的最小值为()A4 B5C6 D7解析：选A由P1n，解得n4，即n的最小值为4.2.若同时抛掷两枚骰子，当至少有5点或6点出现时，就说这次试验成功，则在3次试验中至少有1次成功的概率是()A.B.C. D.解析：选C一次试验中，至少有5点或6点出现的概率为11，设X为3次试验中成功的次数，所以XB，故所求概率P(X1)1P(X0)1C03，故选C.3.一家面包房根据以往某种面包的销售记录，绘制了日销售量的频率分布直方图，如图所示将日销售量落入各组的频率视为概率，并假设每天的销售量相互独立(1)求在未来连续3天里，有连续2天的日销售量都不低于100个且另1天的日销售量低于50个的概率；(2)用X表示在未来3天里日销售量不低于100个的天数，求随机变量X的分布列及数学期望解：(1)设A1表示事件“日销售量不低于100个”，A2表示事件“日销售量低于50个”，B表示事件“在未来连续3天里，有连续2天的日销售量都不低于100个且另1天的日销售量低于50个”，因此P(A1)(0.0060.0040.002)500.6，P(A2)0.003500.15，P(B)0.60.60.1520.108.(2)XB(3,0.6)，X可能取的值为0,1,2,3，相应的概率为P(X0)C(10.6)30.064，P(X1)C0.6(10.6)20.288，P(X2)C0.62(10.6)0.432，P(X3)C0.630.216.故X的分布列为X0123P0.0640.2880.4320.216E(X)30.61.8.突破点三正态分布1正态曲线及性质(1)正态曲线的定义函数，(x)e，x(，)(其中实数和(0)为参数)的图象为正态分布密度曲线，简称正态曲线(2)正态曲线的特点曲线位于x轴上方与x轴不相交；曲线是单峰的，它关于直线x对称；曲线在x处达到峰值；曲线与x轴之间的面积为1；当一定时， 曲线的位置由确定，曲线随着的变化而沿x轴平移；当一定时，曲线的形状由确定：2正态分布定义如果对于任何实数a，b(ab)，随机变量X满足P(aXb)，(x)dx，则称随机变量X服从正态分布，记作XN(，2)三个常用数据P(X)0.682 6；P(2X2)0.954 4；P(3X3)0.997 4一、判断题(对的打“”，错的打“”)(1)当x无穷大时，正态曲线可以与x轴相交()(2)正态曲线与x轴之间的面积大小不确定()(3)X服从正态分布，通常用XN(，2)表示，其中参数和2分别表示X的均值和方差()答案：(1)(2)(3)二、填空题1设有一正态总体，它的概率密度曲线是函数f(x)的图象，且f(x)e，则这个正态总体的平均数与标准差分别是_答案：1022已知随机变量服从正态分布N(，2)，其中P()0.682 6，P(22)0.954 4.设N(1，2)，且P(3)0.158 7，则_.答案：23(2019广州模拟)按照国家规定，某种大米每袋质量(单位：kg)必须服从正态分布N(10，2)，根据检测结果可知P(9.910.1)0.96，某公司为每位职工购买一袋这种包装的大米作为福利，若该公司有2 000名职工，则分发到的大米质量在9.9 kg以下的职工人数大约为_解析：每袋大米质量服从正态分布N(10，2)，P(9.9)1P(9.910.1)0.02，分发到的大米质量在9.9 kg以下的职工人数大约为2 0000.0240.答案：40典例(2019石家庄模拟)“过大年，吃水饺”是我国不少地方过春节的一大习俗.2019年春节前夕，A市某质检部门随机抽取了100包某种品牌的速冻水饺，检测其某项质量指标值，所得频率分布直方图如下：(1)求所抽取的100包速冻水饺该项质量指标值的样本平均数(同一组中的数据用该组区间的中点值作代表)；(2)由直方图可以认为，速冻水饺的该项质量指标值Z服从正态分布N(，2)，利用该正态分布，求Z落在(14.55,38.45)内的概率；将频率视为概率，若某人从某超市购买了4包这种品牌的速冻水饺，记这4包速冻水饺中这种质量指标值位于(10,30)内的包数为X，求X的分布列和数学期望附：计算得所抽查的这100包速冻水饺的质量指标值的标准差为11.95；若N(，2)，则P()0.682 6，P(22)0.954 4.解(1)所抽取的100包速冻水饺该项质量指标值的平均数50.1150.2250.3350.25450.1526.5.(2)Z服从正态分布N(，2)，且26.5，11.95，P(14.55Z38.45)P(26.511.95Z26.511.95)0.682 6，Z落在(14.55,38.45)内的概率是0.682 6.根据题意得XB，P(X0)C4；P(X1)C4；P(X2)C4；P(X3)C4；P(X4)C4.X的分布列为X01234P