2020版高考数学一轮复习第六章数列第二节等差数列及其前n项和讲义（含解析）.docx

第二节等差数列及其前n项和突破点一等差数列的基本运算1等差数列的有关概念(1)定义：如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的差都等于同一个常数，那么这个数列就叫做等差数列符号表示为an1and(nN*，d为常数)(2)等差中项：数列a，A，b成等差数列的充要条件是A，其中A叫做a，b的等差中项2等差数列的有关公式(1)通项公式：ana1(n1)d.(2)前n项和公式：Snna1d.一、判断题(对的打“”，错的打“”)(1)若一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的差都是常数，则这个数列是等差数列()(2)数列an为等差数列的充要条件是对任意nN*，都有2an1anan2.()(3)等差数列an的单调性是由公差d决定的()(4)数列an为等差数列的充要条件是其通项公式为n的一次函数()答案：(1)(2)(3)(4)二、填空题1若m和2n的等差中项为4,2m和n的等差中项为5，则m与n的等差中项是_答案：32在等差数列an中，a23，a3a49，则a1a6的值为_答案：143已知an是等差数列，且a3a94a5，a28，则该数列的公差是_答案：44在等差数列an中，已知d2，S10010 000，则Sn_.答案：n21(2018全国卷)记Sn为等差数列an的前n项和，若3S3S2S4，a12，则a5()A12B10C10 D12解析：选B设等差数列an的公差为d，由3S3S2S4，得3(3a13d)2a1d4a16d，即3a12d0.将a12代入上式，解得d3，故a5a1(51)d24(3)10.2(2019山东五校联考)已知等差数列an为递增数列，其前3项的和为3，前3项的积为8.(1)求数列an的通项公式；(2)求数列an的前n项和Sn.解：(1)设等差数列an的公差为d，d0，等差数列an的前3项的和为3，前3项的积为8，或d0，a14，d3，an3n7.(2)an3n7，a1374，Sn.解决等差数列基本量计算问题的思路(1)在等差数列an中，a1与d是最基本的两个量，一般可设出a1和d，利用等差数列的通项公式和前n项和公式列方程(组)求解即可(2)与等差数列有关的基本运算问题，主要围绕着通项公式ana1(n1)d和前n项和公式Snna1d，在两个公式中共涉及五个量：a1，d，n，an，Sn，已知其中三个量，选用恰当的公式，利用方程(组)可求出剩余的两个量1已知数列是等差数列，且a32，a912，则a15()A10 B30C40 D20解析：选B法一：设数列是公差为d的等差数列，a32，a912，6d，d，12d2.故a1530.法二：由于数列是等差数列，故2，即22，故a1530.2(2018信阳二模)九章算术是我国古代的数学名著，书中有如下问题：“今有五人分五钱，令上二人所得与下三人等，问各得几何？”其意思为“已知甲、乙、丙、丁、戊五人分五钱，甲、乙两人所得与丙、丁、戊三人所得相同，且甲、乙、丙、丁、戊所得依次成等差数列，问五人各得多少钱？”(“钱”是古代一种质量单位)，在这个问题中，甲得_钱()A. BC. D解析：选C甲、乙、丙、丁、戊五人所得钱数依次设为成等差数列的a1，a2，a3，a4，a5，设公差为d，由题意知a1a2a3a4a5，即解得故甲得钱，故选C.3(2018菏泽二模)已知等差数列an的前n项和为Sn，nN*，满足a1a210，S540.(1)求数列an的通项公式；(2)设bn|13an|，求数列bn的前n项和Tn.解：(1)设等差数列an的公差为d，由题意知，a1a22a1d10，S55a340，即a38，所以a12d8，所以所以an4(n1)22n2.(2)令cn13an112n，bn|cn|112n|设数列cn的前n项和为Qn，则Qnn210n.当n5时，Tnb1b2bnQnn210n.当n6时，Tnb1b2bnc1c2c5(c6c7cn)Qn2Q5n210n2(52105)n210n50.突破点二等差数列的性质及应用等差数列的常用性质(1)通项公式的推广：anam(nm)d(n，mN*)(2)若an为等差数列，且mnpq，则amanapaq(m，n，p，qN*)(3)若an是等差数列，公差为d，则ak，akm，ak2m，(k，mN*)是公差为md的等差数列(4)数列Sm，S2mSm，S3mS2m，(mN*)也是等差数列，公差为m2d.(5)S2n1(2n1)an，S2nn(a1a2n)n(anan1)，遇见S奇，S偶时可分别运用性质及有关公式求解(6)若an，bn均为等差数列且其前n项和为Sn，Tn，则.(7)若an是等差数列，则也是等差数列，其首项与an的首项相同，公差是an的公差的.(8)若等差数列an的项数为偶数2n，则S2nn(a1a2n)n(anan1)；S偶S奇nd，.(9)若等差数列an的项数为奇数2n1，则S2n1(2n1)an1；.1在等差数列an中，a3a737，则a2a4a6a8_.解析：依题意，得a2a4a6a8(a2a8)(a4a6)2(a3a7)74.答案：742设an是递增等差数列，前三项的和为12，前三项的积为48，则它的首项是_答案：23在等差数列an中，3(a3a5)2(a7a10a13)24，则该数列前13项的和是_答案：26考法一等差数列的性质例1(1)(2019武汉模拟)若数列an为等差数列，Sn为其前n项和，且a12a33，则S9()A25B27C50 D54(2)(2019莆田九校联考)在等差数列an中，若a1，a2 019为方程x210x160的两根，则a2a1 010a2 018()A10 B15C20 D40解析(1)设等差数列an的公差为d，a12a332a14d3，a5a14d3，S99a527.(2)因为a1，a2 019为方程x210x160的两根，所以a1a2 01910.由等差数列的性质可知，a1 0105，a2a2 018a1a2 01910，所以a2a1 010a2 01810515.故选B.答案(1)B(2)B方法技巧利用等差数列的性质求解问题的注意点(1)如果an为等差数列，mnpq，则amanapaq(m，n，p，qN*)因此，若出现amn，am，amn等项时，可以利用此性质将已知条件转化为与am(或其他项)有关的条件；若求am项，可由am(amnamn)转化为求amn，amn或amnamn的值(2)要注意等差数列通项公式及前n项和公式的灵活应用，如anam(nm)d，d，S2n1(2n1)an，Sn(n，mN*)等提醒一般地，amanamn，等号左、右两边必须是两项相加，当然也可以是amnamn2am.考法二等差数列前n项和最值问题等差数列的通项an及前n项和Sn均为n的函数，通常利用二次函数法或通项变号法解决等差数列前n项和Sn的最值问题例2(2018全国卷)记Sn为等差数列an的前n项和，已知a17，S315.(1)求an的通项公式；(2)求Sn，并求Sn的最小值解(1)设an的公差为d，由题意得3a13d15.又a17，所以d2.所以an的通项公式为an2n9.(2)法一：(二次函数法)由(1)得Snn28n(n4)216，所以当n4时，Sn取得最小值，最小值为16.法二：(通项变号法)由(1)知an2n9，则Snn28n.由Sn最小即n，又nN*，n4，此时Sn的最小值为S416.方法技巧求等差数列前n项和Sn最值的2种方法(1)二次函数法利用等差数列前n项和的函数表达式Snan2bn，通过配方或借助图象求二次函数最值的方法求解(2)通项变号法a10，d0时，满足的项数m使得Sn取得最大值为Sm；当a10时，满足的项数m使得Sn取得最小值为Sm.1.设Sn为公差不为零的等差数列an的前n项和，若S93a8，则等于()A15 B17C19 D21解析：选A因为S9a1a2a99a53a8，即3a5a8.又S15a1a2a1515a8，所以15.2.在项数为2n1的等差数列an中，所有奇数项的和为165，所有偶数项的和为150，则n等于()A9 B10C11 D12解析：选B等差数列有2n1项，S奇，S偶.又a1a2n1a2a2n，n10.3.等差数列an中，Sn为前n项和，且a125，S17S9，请问：数列前多少项和最大？解：法一：a125，S17S9，17a1d9a1d，解得d2.a1250，由得当n13时，Sn有最大值法二：a125，S17S9，17a1d9a1d，解得d2.从而Sn25n(2)n226n(n13)2169.故前13项之和最大突破点三等差数列的判定与证明典例(2019济南一中检测)各项均不为0的数列an满足an2an，且a32a8.(1)证明数列是等差数列，并求数列an的通项公式；(2)若数列bn的通项公式为bn，求数列bn的前n项和Sn.解(1)证明：依题意，an1anan2an12an2an，两边同时除以anan1an2，可得，故数列 是等差数列，设数列的公差为d.因为a32a8，所以5，10，所以55d，即d1，所以(n3)d5(n3)1n2，故an.(2)由(1)可知bn，故Sn.方法技巧等差数列的判定与证明方法方法解读适合题型定义法对于数列an，anan1(n2，nN*)为同一常数an是等差数列解答题中的证明问题等差中项法2an1anan2(n3，nN*)成立an是等差数列通项公式法anpnq(p，q为常数)对任意的正整数n都成立an是等差数列选择、填空题定中的判问题前n项和公式法验证SnAn2Bn(A，B是常数)对任意的正整数n都成立an是等差数列提醒判断时易忽视定义中从第2项起，以后每项与前一项的差是同一常数，即易忽视验证a2a1d这一关键条件针对训练(2019沈阳模拟)已知Sn是等差数列an的前n项和，S22，S36.(1)求数列an的通项公式和前n项和Sn；(2)是否存在