2020版高考数学一轮复习第六章数列第三节等比数列及其前n项和讲义（含解析）.docx

第三节等比数列及其前n项和突破点一等比数列的基本运算1等比数列的有关概念(1)定义：如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的比等于同一常数(不为零)，那么这个数列就叫做等比数列这个常数叫做等比数列的公比，通常用字母q表示，定义的表达式为q.(2)等比中项：如果a，G，b成等比数列，那么G叫做a与b的等比中项即：G是a与b的等比中项a，G，b成等比数列G2ab.2等比数列的有关公式(1)通项公式：ana1qn1.(2)前n项和公式：Sn一、判断题(对的打“”，错的打“”)(1)满足an1qan(nN*，q为常数)的数列an为等比数列()(2)G为a，b的等比中项G2ab.()(3)若an为等比数列，bna2n1a2n，则数列bn也是等比数列()(4)数列an的通项公式是anan，则其前n项和为Sn.()答案：(1)(2)(3)(4)二、填空题1已知递增的等比数列an中，a2a83，a3a72，则_.答案：2各项都为正数的等比数列an中，a12，a6a1a2a3，则公比q的值为_答案：23在各项均为正数的等比数列an中，若a21，a8a62a4，则a6的值是_答案：44已知数列an的前n项和为Sn，a11，Sn2an1，则Sn等于_答案：n11已知正项数列an为等比数列，且5a2是a4与3a3的等差中项，若a22，则该数列的前5项和S5()A. B31C. D以上都不正确解析：选B设an的公比为q，则q0且q1.由已知得a43a325a2，即a2q23a2q10a2，q23q100，解得q2或q5(舍去)，又a22，则a11，所以S531.2(2018全国卷)等比数列an中，a11，a54a3.(1)求an的通项公式；(2)记Sn为an的前n项和，若Sm63，求m.解：(1)设an的公比为q，由题设得anqn1.由已知得q44q2，解得q0(舍去)或q2或q2.故an(2)n1或an2n1.(2)若an(2)n1，则Sn.由Sm63，得(2)m188，此方程没有正整数解若an2n1，则Sn2n1.由Sm63，得2m64，解得m6.综上，m6.解决等比数列基本量计算问题的常用思想方法(1)方程的思想：等比数列中有五个量a1，n，q，an，Sn，一般可以“知三求二”，通过列方程(组)求关键量a1和q，问题可迎刃而解(2)分类讨论的思想：等比数列的前n项和公式涉及对公比q的分类讨论，当q1时，an的前n项和Snna1；当q1时，an的前n项和Sn.1(2019豫北重点中学联考)数列an满足a427，an13an(nN*)，则a1()A1 B3C1 D3解析：选C由题意知数列an是以3为公比的等比数列，a4a1(3)327，a11.故选C.2(2019绵阳诊断性考试)设an是由正数组成的等比数列，Sn为其前n项和已知a2a41，S37，则S5等于()A. BC. D解析：选B设数列an的公比为q，则显然q1，由题意得解得或(舍去)，S5.3(2019兰州诊断性测试)设数列an1是一个各项均为正数的等比数列，已知a37，a7127.(1)求a5的值；(2)求数列an的前n项和解：(1)由题可知a318，a71128，则有(a51)2(a31)(a71)81281 024，可得a5132，即a531.(2)设数列an1的公比为q，由(1)知得所以数列an1是一个以2为首项，2为公比的等比数列，所以an122n12n，所以an2n1，利用分组求和可得，数列an的前n项和Snn2n12n.突破点二等比数列的性质(1)若mnpq，则amanapaq，其中m，n，p，qN*.特别地，若2spr，则apara，其中p，s，rN*.对有穷等比数列，与首末两项“等距离”的两项之积等于首末两项的积即a1ana2an1akank1.(2)相隔等距离的项组成的数列仍是等比数列，即ak，akm，ak2m，仍是等比数列，公比为qm(k，mN*)(3)若数列an，bn是两个项数相同的等比数列，则数列ban，panqbn和(其中b，p，q是非零常数)也是等比数列(4)当q1或q1且k为奇数时，Sk，S2kSk，S3kS2k，是等比数列，其公比为qk.(5)若a1a2anTn，则Tn，成等比数列1在等比数列an中，a32，a78，则a5_.答案：42(2019长春调研)在正项等比数列an中，已知a1a2a34，a4a5a612，an1anan1324，则n_.答案：143已知等比数列an中，a2a31，a4a52，则a6a7等于_答案：44设等比数列an中，前n项和为Sn，已知S38，S67，则a7a8a9等于_答案：1(2019洛阳尖子生高三第一次联考)在等比数列an中，a3，a15是方程x26x20的根，则的值为()ABC. D或解析：选B设等比数列an的公比为q，因为a3，a15是方程x26x20的根，所以a3a15a2，a3a156，所以a30，a150，所以S2030，S20S1020，S30S2040，故S40S3080，所以S40150.故选A.应用等比数列性质解题时的2个注意点(1)在解决等比数列的有关问题时，要注意挖掘隐含条件，利用性质，特别是性质“若mnpq(m，n，p，qN*)，则amanapaq”，可以减少运算量，提高解题速度(2)在应用相应性质解题时，要注意性质成立的前提条件，有时需要进行适当变形此外，解题时注意设而不求思想的运用1(2019惠州调研)等比数列an的各项均为正数，且a5a6a4a718，则log3a1log3a2log3a10()A12 B10C8 D2log35解析：选Ba5a6a4a718，a5a69，log3a1log3a2log3a10log3(a1a2a10)log3(a5a6)55log3910.2(2019兰州一中测试)在等比数列an中，若a1a2a3a4，a2a3，则等于()A. BC D解析：选D.在等比数列an中，a1a4a2a3，原式.故选D.3在等比数列an中，如果a1a240，a3a460，那么a7a8()A135 B100C95 D80解析：选A由等比数列前n项和的性质知，a1a2，a3a4，a5a6，a7a8成等比数列，其首项为40，公比为，所以a7a8403135.突破点三等比数列的判定与证明典例(2018全国卷)已知数列an满足a11，nan12(n1)an.设bn.(1)求b1，b2，b3；(2)判断数列bn是否为等比数列，并说明理由；(3)求an的通项公式解(1)由条件可得an1an.将n1代入得，a24a1，而a11，所以a24.将n2代入得，a33a2，所以a312.从而b11，b22，b34.(2)数列bn是首项为1，公比为2的等比数列理由如下：由条件可得，即bn12bn，又b11，所以数列bn是首项为1，公比为2的等比数列(3)由(2)可得2n1，所以ann2n1.方法技巧等比数列的4种常用判定方法定义法若q(q为非零常数，nN*)或q(q为非零常数且n2，nN*)，则an是等比数列中项公式法若数列an中，an0且aanan2(nN*)，则an是等比数列通项公式法若数列an的通项公式可写成ancqn1(c，q均是不为0的常数，nN*)，则an是等比数列前n项和公式法若数列an的前n项和Snkqnk(k为常数且k0，q0,1)，则an是等比数列提醒(1)证明一个数列为等比数列常用定义法与中项公式法，其他方法只用于选择、填空题中的判定；若证明某数列不是等比数列，则只要证明存在连续三项不成等比数列即可(2)利用递推关系时要注意对n1时的情况进行验证针对训练(2019湖北八校联考)已知数列an满足a11，a24，an2