泰勒公式课件(修正.ppt

第三节,泰勒公式,第三章,二 、麦克劳林（Maclaurin）公式,三 、泰勒公式的应用,一、泰勒（Taylor）公式,一、泰勒(Taylor)公式,1. 泰勒公式的建立,回顾：,特点:,以直代曲,设 f (x)在 x0 处可导，则,x 的一次多项式,不足:,1 精确度不高,2 难以估计误差,需要解决的问题:,2 给出误差：,的具体估计式.,1,观察：,有,相交,相切,pn(x) 与 f (x) 在x0 处相同的导数的阶数越高，它们就有可能越接近？,pn(x) 的确定:,要求:,求系数,寻求n次近似多项式：,带有皮亚诺型余项的n 阶泰勒公式,阶的导数,有,则对,2. 带有皮亚诺型余项的n阶泰勒(Taylor)公式,定理3.6,Rn(x) 的确定：,分析 要证,只需证,令,(称为余项) ,只需证,证,令,则有,洛必达法则,定理3.6的条件可以减弱：,注,定理3.6 ,证明同上，只需注意到：,提示：,带有拉格朗日型余项的n 阶泰勒公式,直到 n +1 阶的导数,有,则对,定理3.7,3. 带有拉格朗日型余项的n阶泰勒(Taylor)公式,其中,证,只需证,令,则有,柯西中值定理,且,即,解,例1,因此,注 1 泰勒公式的余项估计,(1) 当 n = 0 时, 泰勒公式变为拉格朗日中值定理,(2) 当 n = 1 时, 泰勒公式变为,2 泰勒公式的特例,(3) 若在泰勒公式中,称为麦克劳林公式,二、麦克劳林（Maclaurin）公式,由此得近似公式,便可得到麦克劳林（ Maclaurin ）公式：,在泰勒公式中取,其中,几个初等函数的麦克劳林公式：,其中,类似可得,其中,其中,已知,其中,类似可得,三、泰勒公式的应用,1. 在函数逼近中的应用,误差,其中M 为,在包含 0 , x 的某区间上的上界.,常见类型:,1) 已知 x 和误差限 , 要求确定项数 n ;,2) 已知项数 n 和 x , 计算近似值并估计误差;,3) 已知项数 n 和误差限 , 确定公式中 x 的,适用范围.,2. 在近似计算中的应用,在,例2 计算无理数 e 的近似值 , 使误差不超过,解,中令 x = 1 , 得,由于,欲使,的麦克劳林公式,由计算可知当 n = 9 时上式成立 ,因此,3. 利用泰勒公式求极限,解,例3,(方法1),用泰勒公式,例4,解,(方法2),用洛必达法则，需换元:,例5,证,4. 利用泰勒公式进行证明,证,例6,由麦克劳林公式有,证明在开,导数，,从而,两式相减得,从而,由介值定理，,1. 泰勒公式,其中余项,当,时为麦克劳林公式 .,内容小结,2. 常用函数的麦克劳林公式,3. 泰勒公式的应用,(2) 近似计算,(3) 求极限,(4) 证明,(1) 利用多项式逼近函数,思考题,1. 在第一 章6 中，重要极限,为什么,？,解,由第一 章6 的证明，知,舍掉,对于固定的n, 令m 得,n+1 项, 由夹逼准则，得,一方面，,另一方面，由于,解,2.,备用题 例2-1,计算 cos x的近似值,使其精确到 0.005 , 试确定 x 的适用范围.,解,近似公式的误差为,令,解得,即当,时, 由给定的近似公式计算的结果,能准确到 0.005 .,用近似公式,选择,解,例2-2 计算,的近似值 , 要求精确到小数点后的,第5位.,因此,符合精度要求，,解,用洛必塔法则不方便 !,由于,例3-1,解,原式,例3-2,例3-3,利用泰勒公式求极限,解,解,例3-4,因为,所以,证,例5-1,其中a, b是非负数，,求证：对一切,有二阶导数，,两式相减得,于是,证,例5-2,使得,可得,从而得,使得,即存在一点,证,例5-3,由泰勒公式，得,证,例6-1,所以在,因为,所以,泰勒 (1685 1731),英国数学家,他早期是牛顿学派最,优秀的代表人物之一 ,重要著作有:,正的和反的增量方法(1715),线性透视论(1719),他在1712 年就得到了现代形式的泰勒公式 .,他是有限差分理论的奠基人 .,麦克