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第四节 定积分的计算,一 引例,例,这种积分与原函数的关系在一定条件下具有普遍性 .,二 积分上限的函数及其导数,定理 (原函数存在定理),该定理 证明了连续函数的原函数是存在的.,例1,设函数f (x)在a, b上连续, 且F (x)是f (x)在a, b上的一个原函数, 则,定理,证,3微积分基本公式,0,牛顿莱布尼兹公式,(微积分基本公式),例3 计算,解,例4 计算,解,例5 计算,解,设F (x)是f (x)的一个原函数，则,1定积分的换元积分法,定理1,设函数f (x)在a, b上连续，令,定积分的换元公式,证,4 定积分的换元积分法与分部积分法,例1 计算,解,换元必换限,例2 计算,解,定积分的换元公式也可以反过来用.,例3 求定积分,解,另解,例4 求定积分,解法,例5 设f (x)在-a, a上连续, 试证明:,(1) 若f (x)在-a, a上为偶函数, 则,(2) 若f (x)在-a, a上为奇函数, 则,证,(1) 若f (x)为偶函数, 则f (x)=f (x),(2) 若f (x)为奇函数, 则f (x)=f (x),几何解释:,偶函数,奇函数,例6 计算下列定积分：,解,2定积分的分部积分法,定理2,设函数u=u (x)与v=v (x)在区间a, b上有连续的导数,则,分部积分公式,证,例7 计算,解,例8 计算,解,例9 计算,解,例10 计算,解,习题3.5
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