微分学基本定理及其应用.ppt

第六章 微分学基本定理及其应用,6.1 中值定理,一、罗尔定理,二、拉格朗日中值定理,三、柯西中值定理,一、罗尔(Rolle)定理,费马引理 设函数f(x)在点 的某领域 内有定义，并且,在 处可导，如果对任意的 ，有,那么,证 不妨设 时， （如果 可类似的证明）. 于是，对于 ，有,从而当 时，,当 时,根据函数f (x)在 可导的条件极限的保号性，便得到,所以,几何解释:,例如,证,例,例,上例说明罗尔定理的条件是结论成立的充分条件, 但不是必要条件.,2) 罗尔定理的结论中不是唯一的.,1) 罗尔定理的三个条件对于结论的成立都是重要的.,关于罗尔定理的几点说明,3) 将罗尔定理的条件1.2.换为a,b上可导,结论仍成立.,例1,证,由介值定理,即为方程的小于1的正实根.,矛盾,二、拉格朗日(Lagrange)中值定理,几何解释:,证,分析:,弦AB方程为,作辅助函数,注意:拉氏公式精确地表达了函数在一个区间上的增量与函数在这区间内某点处的导数之间的关系.,拉格朗日中值定理又称有限增量定理.,拉格朗日中值公式又称有限增量公式.,拉格朗日中值公式的几种表达形式,推论,例2,证,例3,证,由上式得,三、柯西(Cauchy)中值定理,几何解释:,证,作辅助函数,例4,证,分析:,结论可变形为,定义,6.2 洛必达法则,定理,定义 这种在一定条件下通过分子分母分别求导再求极限来确定未定式的值的方法称为洛必达法则.,证,定义辅助函数,则有,注：,例1,解,例2,解,例3,解,例4,解,例5,解,注意：洛必达法则是求未定式的一种有效方法，但与其它求极限方法结合使用，效果更好.,例6,解,例7,解,关键:将其它类型未定式化为洛必达法则可解决的类型 .,步骤:,例8,解,步骤:,步骤:,例9 求,解 设 取对数得,例10,解,例11,解,例12,解,洛必达法则失效.,注意：洛必达法则的使用条件,泰勒公式主要是用多项式近似代替函数,且误差可由公式表示出来.这样对精确度要求较高且需要估计误差的情形就可用高次多项式来近似表示函数,同时给出误差公式.,6.3 泰勒公式,在利用微分作近似计算时,(当 时),不足:,问题:,1、精确度不高；,2、误差不能估计.,问题的提出,将求得的系数 a0,a1,a2,an代入(1)式,有,(2),来近似表达f(x),要求Pn(x)与f(x)之差是比(x-x0)n高阶的无穷小,并给出误差|f(x)- Pn(x)|的具体表达式.,设函数f(x)在含有x0的开区间内具有直到(n+1)阶导数,试找出一个关于(x-x0)的n次多项式,(1),假设Pn(x)与f(x)在点x0的函数值及它的直到n阶导数都相等得,证明:,(,),则由上式得,拉格朗日形式的余项,注: 1)在不需要余项的精确表达式时，n 阶泰勒公式也可 写成,(5),麦克劳林(Maclaurin)公式,解,代入公式,得,由公式可知,估计误差,其误差,常用函数的麦克劳林公式,解,原式,例3 利用带有佩亚若型余项的麦克劳林公式，求极限,解 由于分式的分母,所以，用带有佩亚若型余项的三阶麦克劳林公式，即,6.4 导数在研究函数上的应用,一、函数单调性的判定法,二、曲线的凹凸性与拐点,定理1,一、函数单调性的判定法,证,应用拉氏定理,得,例1,解：,例2,解,注意:函数的单调性是一个区间上的性质，要用导数在这一区间上的符号来判定，而不能用一点处的导数符号来判别一个区间上的单调性,问题:如上例，函数在定义区间上不是单调的，但在各个部分区间上单调,定义:若函数在其定义域的某个区间内是单调的，则该区间称为函数的单调区间.,导数等于零的点和不可导点，可能是单调区间的分界点,方法:,例3,解,单调区间为,例4,解,单调区间为,例5,证,注意:区间内个别点导数为零,不影响区间的单调性.,例如,例6 证明：当x1时，,证 令 则,问题:如何研究曲线的弯曲方向?,图形上任意弧段位于所张弦的上方,图形上任意弧段位 于所张弦的下方,二、曲线的凹凸性与拐点,定义,定理2,例7,解,注意到,注意:拐点处的切线必在拐点处穿过曲线.,拐点的求法,证,拐点的概念,方法1:,例8,解,凹的,凸的,凹的,拐点,拐点,方法2:,例9,解,注意:,例10,解,函数的极值与最大值最小值,一、函数的极值及其求法,二、最大值最小值问题,一、函数极值及其求法,定义,定理1(必要条件),定义,注意:,函数的极大值与极小值统称为极值,使函数取得极值的点称为极值点.,定理2(第一充分条件),(是极值点情形),求极值的步骤:,(不是极值点情形),例1,解,列表讨论,极大值,极小值,定理3(第二充分条件),证,同理可证(2).,例2,解,注意:函数的不可导点,也可能是函数的极值点.,二、最大值最小值问题,步骤:,1.求驻点和不可导点;,注意:如果区间内只有一个极值,则这个极值就是最值.(最大值或最小值),2 设f(x)在(a,b)内的驻点为 x1, x2, xn, 则比较f(a), f(x1), , f(xn), f(b)的大小,其中最大的便是f(x)在a,b上的 最大值, 最小的便是f(x)在a,b上的最小值,例3,解,计算,比较得,例4 把一根直径为d的圆木锯成截面为矩形的梁.问矩形截面的高h和宽b应如何选择才能使梁的抗弯截面模量最大.,解 由力学分析知道：矩形梁的抗弯截面模量为问题,由图看出，b与h有下面的关系：,因而,解得,由于梁的最大抗弯截面模量一定存在，而且在（0，d）,内部取得；现在， 在（0，d)内只有一个根,当 时，w的值最大，这时，,实际问题求最值应注意:,(1)建立目标函数;,(2)求最值;,利用函数特性描绘函数图形.,第一步,第二步,函数图形的描绘,第三步,第四步,确定函数图形的水平、铅直渐近线、斜渐近线以及其他变化趋势;,第五步,例1,解,非奇非偶函数,且无对称性.,列表确定函数升降区间,凹凸区间及极值