习题课：05-09重积分,线积分题目.ppt

1,定 义,几何意义,性 质,计算法,应 用,二重积分,定 义,几何意义,性 质,计算法,应 用,三重积分,(一)重积分,2,曲线积分,对弧长的 曲线积分,对坐标的 曲线积分,定义,计算,（二）曲线积分,Green 公式,3,4,5,用以简化积分的一些补充的常用性质,一、对称性质,奇偶对称性,若积分区域关于 x 轴对称，且,则,其中,若积分区域关于 y 轴对称有怎样的结论？,例如,6,若积分区域关于 xoy 面对称，且,则,其中,若积分区域关于 yoz 面或关于 zox 面对称又有怎样类似的结论？,例如,7,若积分弧段关于 x 轴对称，且,则,其中,若积分弧段关于 y 轴对称有怎样的结论？,例如,直接积分恐怕很难！,8,轮换对称性,若积分区域关于直线 yx 对称，,则,若积分区域关于平面 xy 对称，则,若积分区域关于平面 yz 对称或者关于平面 xz 对称，怎么样？,例如,9,若积分弧段关于直线 yx 对称，,则,10,二、计算三重积分的另一方法先二后一法,我们计算闭区域上的三重积分时，给大家介绍 的是“先一后二”法，即先作一个定积分，再作一 个二重积分，即,那么，可以先作一个二重积分，再作一个定积分吗？,答案：是。,11,把z看作常数,12,13,解,14,原式,15,年多元函数积分学部分考研题目,16,设,是正值的连续函数，a、b 是常数，,则,【 】,数二,例,直接使用性质的题目,使用轮换对称性,如果关于直线 yx 对称，则,17,设,其中,则【 】,数三、四,例,使用积分单调性,如果 ，则,18,是连续奇函数，,是连续偶函数，区域,下列积分正确的是【 】,数四,例,使用奇偶对称性,如果关于 x 轴对称，且,19,如图，正方形,被对角线划分为四个区域,则,【 】,数一,例,使用奇偶对称性,如果关于 x 轴对称，且,20,数一,设曲线：,过二象限内的点和四象限,的点，为上从点到点的一段弧，,则下列小于零的是【 】,例,直接使用积分与路线无关的条件,21,交换积分次序的题目,是连续函数，则,【 】,数二,例,先作出积分区域,22,数二、三、四,设,连续，则二次积分,【 】,例,先作出积分区域,23,直角坐标计算与极坐标计算转换的题目,例,是连续函数，则,【 】,数一、二,先作出积分区域,然后再转换,24,例,是连续函数，若,其中图中阴影部分为,则,【 】,数二、三,先转换为极坐标下的二次积分,再利用变上限积分的导数,25,填空题目,设,则,数三,例,例,数四,设,则,数一,例,例,已知曲线：,则,数一,26,设区域,计算二重积分,数一、二,一般计算题目,已知,计算二重积分,数二、三,例,例,先拆成两个积分,其中之一利用奇偶性,另一用极坐标下的积分,用极坐标下的积分较简便,27,数三、四,计算,其中是由三直线,围成的平面闭区域。,例,先对 x 积分再对 y 积分较简便.,28,分区域讨论的计算题目,设,表示不超过,的最大整数,计算二重积分,数一,计算二重积分,其中,数二、三、四,例,例,29,求,其中,数二、三,数二、三、四,设,计算,例,例,30,具有连续导数，在围绕原点的任一分段光滑,闭曲线上，曲线积分,的值恒为常数,（）证明对右半平面 x内任意分段光滑简单闭曲线，都有,（）求函数 的表达式