山东省菏泽一中高中数学《向量法求空间中的角》课件新人教版选修.ppt

立体几何中的向量方法,-向量法求空间中的角,一、复习引入,用空间向量解决立体几何问题的“三步曲”,（1）建立立体图形与空间向量的联系，用空间向量表示问题中涉及的点、直线、平面，把立体几何问题转化为向量问题；,（化为向量问题）,（2）通过向量运算，研究点、直线、平面之间的位置关系以及它们之间距离和夹角等问题；,（进行向量运算）,（3）把向量的运算结果“翻译”成相应的几何意义。,（回到图形）,向量的有关知识：,3、平面的法向量：_,1、两向量数量积的定义：a b= _,2、两向量夹角公式：cos a,b = _,与平面垂直的向量,例1：在RtAOB中，AOB=90，现将AOB沿着平面AOB的法向量方向平移到A1O1B1的位置，已知OA=OB=Oo1，取A1B1 、A1O1的中点D1 、F1，求异面直线BD1与AF1所成的角的余弦值。,A,B,O,F1,B1,O1,A1,D1,二、知识讲解与典例分析,A,B,O,F1,B1,O1,A1,D1,解：以点O为坐标原点建立空间直角坐标系,如图所示，并设OA=1,则：,A(1,0,0),B(0,1,0),F1( ,0,1),D1( , ,1),所以，异面直线BD1与AF1所成的角的余弦值为,例1：在RtAOB中，AOB=90，现将AOB沿着平面AOB的法向量方向平移到A1O1B1的位置，已知OA=OB=Oo1，取A1B1 、A1O1的中点D1 、F1，求异面直线BD1与AF1所成的角的余弦值。,x,y,z,点评：向量法求异面直线所成角的余弦值的一般步骤,建系,求两异面直线的方向向量,求两方向向量的夹角的余弦值,得两异面直线所成角的余弦值,例2:正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为1，点E、F分别为CD、DD1的中点， (1)求直线B1C1与平面AB1C所成的角的正弦值; (2)求二面角F-AE-D的余弦值。,A,A1,C1,B1,D,C,B,D1,E,F,例2:(1)求直线B1C1与平面AB1C所成的角的正弦值;,x,y,z,A,D,B,A1,D1,C1,B1,解： (1)以点A为坐标原点建立空间直角坐标系,如图所示，则：,A(0,0,0),B1(1,0,1),C(1,1,0),C1(1,1,1),X1+z1=0,X1+y1=0,取x1=1,得y1=z1=-1,C,故所求直线B1C1与平面AB1C所成的角的正弦值为,点评：向量法求直线与平面所成角的正弦值的一般步骤,建系,求直线的方向向量,求直线的方向向量与平面的法向量 的夹角的余弦值,得直线与平面所成角的正弦值,求平面的法向量,x,y,z,A,D,C,A1,D1,C1,B1,B,F,E,例2 (2)点E、F分别为CD、DD1的中点，求二面角F-AE-D的余弦值。,取y2=1,得x2=z2=-2,(2)由题意知,观察图形知，二面角F-AE-D为锐角，所以所求二面角F-AE-D的余弦值为,点评：法向量法求二面角的余弦值的一般步骤,建系,求两平面的法向量,求两法向量的夹角的余弦值,得二面角的余弦值,a,b,过空间任意一点o分别作异面直线a与b的平行线a与b，那么直线a与b 所成的不大于90的角 ，叫做异面直线a与b 所成的角。,异面直线所成的角,（范围： ）,（1）当 与 的夹角不大于90时，异面直线a、b 所成的角 与 和 的夹角,a,b,a,b,o,相等,互补,a,b,a,b,o,所以，异面直线a、b所成的角的余弦值为,用向量法求异面直线所成角,设两异面直线a、b的方向向量分别为 和 ，,直线与平面所成的角,（范围： ）,=,相等,=,=,互补,所以，直线与平面所成的角的正弦值为,二面角,（范围： ）,n1,n2,例3 如图，甲站在水库底面上的点A处，乙站在水坝斜面上的点B处.从A，B到直线 （库底与水坝的交线）的距离AC和BD分别为 和 ,CD的长为 , AB的长为 .求库底与水坝所成二面角的余弦值.,解：如图，,化为向量问题,根据向量的加法法则,进行向量运算,于是，得,设向量 与 的夹角为 ， 就是库底与水坝所成的二面角.,因此,所以,回到图形问题,库底与水坝所成二面角的余弦值为,如图，已知：直角梯形OABC中，OABC，AOC=90，直线SO平面OABC，且OS=OC=BC=1，OA=2.求： 异面直线SA和OB所成的角的余弦值； 直线OS与平面SAB所成角的正弦值； 二面角BASO的余弦值.,三、巩固练习,如图，已知：直角梯形OABC中，OABC，AOC=90，SO平面OABC，且OS=OC=BC=1，OA=2.求异面直线SA和OB所成的角的余弦值； OS与平面SAB所成角的正弦值； 二面角BASO的余弦值.,A（2，0，0）；,于是我们有,=（2，0，-1）；,=（-1，1，0）；,=（1，1，0）；,=（0，0，1）；,B（1，1，0）；,S（0，0，1），,则O（0，0，0）；,解：以o为坐标原点建立空间直角坐标系，如图所示,x,y,z,C（0，1，0）；,所以异面直线SA与OB所成的角的余弦值为,（3）由（2）知面SAB的法向量 =（1，1，2）,又OC平面AOS，, 是平面AOS的法向量，,令,则