信号与线性系统分析总结课件

信号与线性系统分析 Analysis of Signals and Linear System,总结,第一章 信号与系统,判断信号周期性,连续周期信号f(t)满足 f(t) = f(t + mT)，m = 0,1,2,离散周期信号f(k)满足 f(k) = f(k + mN)，m = 0,1,2,满足上述关系的最小T(或整数N)称为该信号的周期。,不具有周期性的信号称为非周期信号。,总结,连续正弦信号一定是周期信号，而正弦序列不一定是周期序列。 sin2t是周期信号，其角频率和周期为1= 2 rad/s，T1= 2/ 1= s 仅当2/ 为整数时，正弦序列才具有周期N = 2/ 。 当2/ 为有理数时，正弦序列仍为具有周期性，但其周期为N= M(2/ )，M取使N为整数的最小整数。 当2/ 为无理数时，正弦序列为非周期序列。 两连续周期信号之和不一定是周期信号，而两周期序列之和一定是周期序列。 两个周期信号x(t)，y(t)的周期分别为T1和T2，若其周期之比T1/T2为有理数，则其和信号x(t)+y(t)仍然是周期信号，其周期为T1和T2的最小公倍数。,总结,能量信号与功率信号,将信号f (t)施加于1电阻上，它所消耗的瞬时功率为| f (t) |2，在区间( , )的能量和平均功率定义为,（1）信号的能量E,（2）信号的功率P,若信号f (t)的能量有界，即 E ,则称其为能量有限信号，简称能量信号。此时 P = 0,若信号f (t)的功率有界，即 P ,则称其为功率有限信号，简称功率信号。此时 E = ,总结,信号的时间变换运算,1. 反转,将 f (t) f ( t) ， f (k) f ( k) 称为对信号f ()的反转或反折。从图形上看是将f ()以纵坐标为轴反转180o。如,总结,平移、反转、尺度变换相结合,例1 已知f (t)，画出 f ( 4 2t)。,三种运算的次序可任意。但一定要注意始终对时间 t 进行。,总结,若已知f ( 4 2t) ，画出 f (t) 。,总结,阶跃函数和冲激函数,f(t) (t) = f(0) (t) f (0) (t),总结,f(k)(k) = f(0)(k),f(k)(k k0) = f(k0)(k k0),(k) = (k) (k 1),总结,系统性质分析,af1() +bf2() ay1()+by2(),线性性质：,时不变性：f(t ) yzs(t ),f(t - td) yzs(t - td),直观判断方法： 若f ()前出现变系数，或有反转、展缩变换，则系统为时变系统。,方程中均为输出、输入序列的一次关系项，则是线性的。输入输出序列前的系数为常数，且无反转、展缩变换，则为时不变的。,因果，稳定（见第七章）。,总结,第二章 连续系统的时域分析,系统的时域求解，冲激响应，阶跃响应。,时域卷积：,图解法一般比较繁琐，但若只求某一时刻卷积值时还是比较方便的。确定积分的上下限是关键。,f1(t)、 f2(t)如图所示，已知f(t) = f2(t)* f1(t)，求f(2) =？,f1(-),f1(2-),解：,（1）换元,（2） f1()得f1(),（3） f1()右移2得f1(2),（4） f1(2)乘f2(),（5）积分，得f(2) = 0（面积为0）,总结,卷积积分的性质,f(t)*(t)=(t)*f(t) = f(t),f(t)*(t t0) = f(t t0),f(t)*(t) = f(t),f(t)*(t),(t) *(t) = t(t),在f1( ) = 0或f2(1)() = 0的前提下， f1(t)* f2(t) = f1(t)* f2(1)(t),若 f(t) = f1(t)* f2(t)， 则 f1(t t1)* f2(t t2) = f1(t t1 t2)* f2(t) = f1(t)* f2(t t1 t2) = f(t t1 t2),总结,常见的卷积公式,总结,卷积和相关,总结,第三章 离散系统的时域分析,差分与差分方程，时域解法，单位序列响应，阶跃响应,卷积和,例1：f1(k)、 f2(k)如图所示，已知f(k) = f1(k)* f2(k)，求f(2) =？,解：,（1）换元,（2） f2(i)反转得f2( i),（3） f2(i)右移2得f2(2i),（4） f1(i)乘f2(2i),（5）求和，得f(2) = 4.5,f2(i ),f2(2i),总结,3 ， 4， 0， 6,2 ， 1 ， 5,解:,15 ，20， 0， 30,3 ， 4， 0， 6,6 ，8， 0， 12,+ ,6 ，11，19，32，6，30,f(k) = 0，6 ，11，19，32，6，30 k=1,注：教材中提到的列表法与这里介绍的不进位乘法本质是一样的。,总结,f(k)*(k) =,f1(k)* f2(k) = f1(k)* f2(k) = f1(k)* f2(k),常用卷积和公式,总结,第四章傅里叶变换和系统的频域分析,傅里叶级数的三角形式,式中，A0 = a0,可见An是n的偶函数， n是n的奇函数。 an = Ancosn， bn = Ansin n，n=1,2,总结,傅里叶级数的指数形式,傅里叶系数之间关系,n的偶函数：an ， An ， |Fn | n的奇函数: bn ，n,总结,波形的对称性与谐波特性,1 .f(t)为偶函数对称纵坐标,bn =0，展开为余弦级数。,2 .f(t)为奇函数对称于原点,an =0，展开为正弦级数。,3 .f(t)为奇谐函数f(t) = f(tT/2),傅里叶级数中只含奇次谐波分量，而不含偶次谐波分量即：a0=a2=b2=b4=0,4 .f(t)为偶谐函数f(t) = f(tT/2),傅里叶级数中只含偶次谐波分量，而不含奇次谐波分量即 a1=a3=b1=b3=0,总结,周期信号的频谱,将An和n的关系分别画在以为横轴的平面上得到的两个图，分别称为振幅频谱图和相位频谱图。因为n0，所以称这种频谱为单边谱。 也可画|Fn|和n的关系，称为双边谱。若Fn为实数，也可直接画Fn 。,总结,周期信号频谱的特点,谱线的结构与波形参数的关系 T一定，变小，此时（谱线间隔）不变。两零点之间的谱线数目：1/=（2/）/(2/T)=T/ 增多。 一定，T增大，间隔减小，频谱变密。幅度减小。 如果周期T无限增长（这时就成为非周期信号），那么，谱线间隔将趋近于零，周期信号的离散频谱就过渡到非周期信号的连续频谱。各频率分量的幅度也趋近于无穷小。,(1)周期信号的频谱具有谐波(离散)性。谱线位置是基频的整数倍；(2)一般具有收敛性。总趋势减小。,总结,傅里叶变换,F(j)一般是复函数，写为 F(j) = | F(j)|e j () = R() + jX(),总结,归纳记忆：,1. F 变换对,2. 常用函数 F 变换对：,(t),(t),e -t (t),g(t),sgn (t),e |t|,1,1,2(),总结,傅里叶变换的性质,R()= R()， X()= X()， |F(j)|= |F(j)|， ()= ()， f (t) F(j) = F*(j),F( jt ) 2f (),f (at b),cos0t ,(+0)+ (-0),sin0t ,j(+0)-(-0),总结,若 f1(t) F1(j)， f2(t) F2(j) 则 f1(t)*f2(t) F1(j)F2(j),则 f1(t) f2(t) F1(j)*F2(j),结论: 若 f (n)(t) Fn(j)， 且 f(-)+ f() = 0（大部分为时限函数） 则 f (t) F (j) = Fn(j)/ (j)n,总结,若 f (t) F(j) 则,(jt)n f (t) F(n)(j),总结,能量谱和功率谱,R() E(),R() P(),总结,周期信号的傅里叶变换,总结,LTI系统的频域分析,总结,对周期信号还可用傅里叶级数分析法：,若,总结,无失真传输与滤波,输入信号为f(t)，经过无失真传输后，输出信号应为 y(t) = K f(ttd) 其频谱关系为 Y(j)=Ke jtdF(j),系统要实现无失真传输，对系统h(t)，H(j)的要求是： (a)对h(t)的要求： h(t)=K(t td) (b)对H(j)的要求： H(j)=Y(j)/F(j)=Ke-jtd 即 H(j)=K ,()= td,总结,例：系统的幅频特性|H(j)|和相频特性如图(a)(b)所示，则下列信号通过该系统时，不产生失真的是,(A) f(t) = cos(t) + cos(8t) (B) f(t) = sin(2t) + sin(4t) (C) f(t) = sin(2t) sin(4t) (D) f(t) = cos2(4t),总结,取样定理,通常把最低允许的取样频率fs=2fm称为奈奎斯特（Nyquist)频率； 把最大允许的取样间隔Ts=1/(2fm)称为奈奎斯特间隔。,例 有限频带信号f1(t)的最高频率为m1( fm1 ) ，f2(t)的最高频率为m2 ( fm2 ) ，对下列信号进行时域抽样，试求使频谱不发生混叠的奈奎斯特频率fs与奈奎斯特间隔Ts。,总结,解：,所以，奈奎斯特频率为：,奈奎斯特周期为：,总结,所以，奈奎斯特频率为：,奈奎斯特周期为：,总结,所以，奈奎斯特频率为：,奈奎斯特周期为：,总结,所以，奈奎斯特频率为：,奈奎斯特周期为：,总结,所以，奈奎斯特频率为：,奈奎斯特周期为：,总结,例,解：,总结,所以：,总结,序列的傅里叶分析和离散傅里叶变换,令,则,FN(n)称为离散傅里叶系数。,称为周期序列的离散傅里叶级数(Discrete Fourier Series, DFS) 。,令 则,总结,定义非周期序列f(k)的离散时间傅里叶变换(Discrete Time Fourier Transform, DTFT)为,总结,第五章 连续系统的s域分析,总结,常见函数的拉普拉斯变换,(t) 1， -,(t)或1 1/s ， 0,e-s0t , -Res0,cos0t = (ej0t+ e-j0t )/2 ,sin0t = (ej0t e-j0t )/2j ,t 1/s2,总结,拉普拉斯变换性质,总结,若f(t)为因果信号，已知,总结,例1：,例2：,总结,拉普拉斯逆变换,单阶实数极点,总结,极点为共轭复数,共轭极点出现在,=2|K1|e-tcos(t+)(t),总结,有重根存在,求K11，方法同第一种情况：,总结,复频域分析,y“(t) + 5y(t) + 6y(t) = 2f (t)+ 6 f (t) 已知初始状态y(0-) = 1，y(0-)= -1，激励f (t) = 5cost(t)，,方程取拉氏变换，并整理得,Yzi(s),Yzs(s),总结,s2X(s) = F(s) +3s1X(s) + 2X(s),Y(s) = s2X(s) + 4X(s),微分方程为 y“(t) - 3y(t) - 2y(t) = f “(t)+ 4f (t),总结,电路的s域模型,电感,总结,电容,总结,单边拉氏变换与傅里叶变换的关系,(1) 00，F(j)=F(s) s=j,（2）0 =0，,（3）0 0，F(j)不存在。,总结,第六章 离散系统的Z域分析,称为序列f(k)的双边z变换,称为序列f(k)的单边z变换,序列的收敛域大致有以下几种情况： （1）对于有限长的序列，其双边z变换在整个平面； （2）对因果序列，其z变换的收敛域为某个圆外区域； （3）对反因果序列，其z变换的收敛域为某个圆内区域； （4）对双边序列，其z变换的收敛域为环状区域；,总结,常用序列的z变换：,(k),，z1,，z1,( k 1),(k) 1 ，整个z平面,总结,z变换的性质,双边z变换的移位：,单边z变换的移位：（后向移位）,前向移位：,总结,k域反转(仅适用双边z变换）,总结,总结,逆z变换,部分分式展开法,（1）F(z)均为单极点，且不为0,总结,根据给定的收敛域，将上式划分为F1(z)(z)和F2(z)(z)两部分,总结,(2) F(z)有共轭单极点,总结,(3) F(z)有重极点,F(z)展开式中含 项(r1)，则逆变换为：,若za ,对应原序列为因果序列：,总结,可这样推导记忆：,两边对a求导得:,再对a求导得:,故:,总结,离散系统的z域分析,y(k) y(k 1) 2y(k 2)= f(k)+2f(k 2) 已知y( 1)=2，y( 2)= 1/2，f(k)= (k),总结,复变量s与z的关系：,s域与z域的关系,总结,离散系统的频率响应：,称LTI离散系统的正弦稳态响应,LTI离散系统的频率响应：,若LTI因果离散系统得系统函数H(z)得收敛域包含 单位圆， ， 则 称为LTI因果离散系统的频率响应。,称为系统的幅频响应；,称为系统的相频响应.,总结,第七章 系统函数,系统的零点和极点：,总结,系统函数与频域响应,这种情况下，h(t) 对应的系统称为因果稳定系统。,设H(z)的收敛域包含单位圆，对因果系统，H(z)的极点全部在单位圆内，则系统的频率响应为：,总结,系统的因果性与稳定性,连续因果系统的充要条件：,系统函数H(s)的收敛域为：,离散因果系统的充要条件：,系统函数H(z)的收敛域