国考备考“数量关系”常用数学公式汇总.doc

2015年国考备考“数量关系”常用数学公式汇总一、（2、4、8）整除及余数判定基本法则一个数能被2（或5）整除，当且仅当其末一位数能被2（或5）整除；一个数能被4（或25）整除，当且仅当其末两位数能被4（或25）整除；一个是能被8（或125）整除，当且仅当其末三位数能被8（或125）整除。一个数被2（或5）除得的余数，就是其末一位数被2（或5）除得的余数。一个数被4（或25）除得的余数，就是其末两位数被4（或25）除得的余数。一个数被8（或125）除得的余数，就是其末三位数被8（或125）除得的余数。二、（3、9）整除及余数判定基本法则一个数能被3整除，当且仅当其各位数字和能被3整除；一个数能被9整除，当且仅当其各位数字和能被9整除；一个数能被3除得的余除，就是其各位数字和被3除得的余数；一个数能被9除得的余数，就是其各位数字和被9除得的余数。三、整除与余数问题1、被除数除数=商余数（0余数除数）；2、余同取余，和同加和，差同减差，公倍数作周期； 余同：一个数除以4余1，除以5余1，除以6 余1，则取1，表示为60n+1；和同：一个数除以4余3，除以5余2，除以6 余1，则取7，表示为60n+7；差同：一个数除以4余1，除以5余2，除以6 余3，则取-3，表示为60n-3；四、奇偶特征1、二个奇数之和/差为偶数，二个偶数之和/差为偶数，一奇一偶之和/差为奇数；2、两个数的和/差为奇数，则它们奇偶相反，两个数的和/差为偶数，则它们奇偶相同；3、两个数的和为奇数，则其差也为奇数，两个数的和为偶数，则其差也为偶数。五、基础代数公式1. 平方差公式：（ab）（a-b）a2-b22. 完全平方公式：（ab)2a22abb2 3. 完全立方公式：（ab)3=（ab）(a2ab+b2)4. 立方和差公式：a3+b3=(ab)(a2+ab+b2)5. amanamn amanamn (am)n=amn (ab)n=anbn六、等差数列1. na1+n(n-1)d；2. a1（n1）d；3. 项数n 1；4. 若a,b,c成等差数列，则：2ba+c；5. 若m+n=k+i，则： ；6. 前n个奇数：1，3，5，7，9，（2n-1）之和为（其中：n为项数，a1为首项，an为末项，d为公差，为等差数列前n项的和）七、等比数列1. ；2. （q1）3. 若a,b,c成等比数列，则：b2ac；4. 若m+n=k+i，则：aman=akai ；5. q(m-n)（其中：n为项数，a1为首项，an为末项，q为公比，为等比数列前n项的和）八、不等式1.一元二次方程求根公式：ax2+bx+c=a(x-x1)(x-x2) 其中：（b2-4ac0）根与系数的关系：x1+x2=-，x1x2=2. （a、b，当且仅当a=b时取等号） 3. （a、b） 4. (a、b、c，当且仅当a=b=c时取等号)5.一阶导为零法：连续可导函数，在其内部取得最大值或最小值时，其导数为零。6.两项分母列项公式：=()三项分母裂项公式：=九、基础几何公式1.勾股定理：a2+b2=c2(其中：a、b为直角边，c为斜边)常用勾股数直角边369121551078直角边4812162012242415斜边510152025132625172.面积公式： 正方形 长方形 三角形 梯形 圆形R2 平行四边形 扇形R23.表面积： 正方体6 长方体 圆柱体2r22rh 球的表面积4R24.体积公式 正方体 长方体 圆柱体Shr2h 圆锥r2h 球5.若圆锥的底面半径为r，母线长为l，则它的侧面积：S侧r；6.图形等比缩放型： 一个几何图形，若其尺度变为原来的m倍，则： (1)所有对应角度不发生变化； (2)所有对应长度变为原来的m倍； (3)所有对应面积变为原来的m2倍； (4)所有对应体积变为原来的m3倍。7.几何最值型： (1)平面图形中，若周长一定，越接近与圆，面积越大。 (2)平面图形中，若面积一定，越接近于圆，周长越小。 (3)立体图形中，若表面积一定，越接近于球，体积越大。 (4)立体图形中，若体积一定，越接近于球，表面积越大。十、工程问题 1、核心思想：转化归一或最小公倍数 2、基础公式： 工作量工作效率工作时间； 工作效率工作量工作时间； 工作时间工作量工作效率； 总工作量各分工作量之和；十一、几何边端问题 1、方阵问题：(1)实心方阵：方阵总人数（外圈人数4+1）2=N2 最外层人数（最外层每边人数1）4(2)空心方阵：方阵总人数（最外层每边人数-层数）层数4无论是方阵还是长方阵：相邻两圈的人数都满足：外圈比内圈多8人。 (3)实心长方阵：总人数=MN 外圈人数=2M+2N-4(4)方阵：总人数=N2 外圈人数=4N-4例：有一个3层的中空方阵，最外层有10人，问全阵有多少人？ 解：（103）3484（人）2、排队型：假设队伍有N人，A排在第M位；则其前面有（M-1）人，后面有（N-M）人3、爬楼型：从地面爬到第N层楼要爬（N-1）楼，从第N层爬到第M层要爬层。十二、利润问题1、利润销售价（卖出价）成本；利润率1；销售价成本（1利润率）；成本。2、利息本金利率时期； 本金本利和（1+利率时期）。 本利和本金利息本金（1+利率时期）=； 月利率=年利率12； 月利率12=年利率。例：某人存款2400元，存期3年，月利率为102（即月利1分零2毫），三年到期后，本利和共是多少元？”2400（1+10236） =240013672 =328128（元） 十三、排列组合1、解答排列、组合问题的思维模式有二：其一是看问题是有序的还是无序的？有序用“排列”，无序用“组合”；其二是看问题需要分类还是需要分步？分类用“加法”，分步用“乘法”。2、排列公式：Pn（n1）（n2）（nm1），（mn）。 组合公式：CPP（规定1）。3、相邻问题-捆绑法：先考虑相邻元素，然后将其视为一个整体；不邻问题-抽空法：先考虑剩余元素，然后将不邻元素抽入所成间隙之中。十四、概率问题1、概率=满足条件的情况数/总的情况数2、总体概率=满足条件的各种情况概率之和；3、分步概率=满足条件的每个步骤概率之积。4、某条件成立概率=1-该条件不成立的概率。十五、年龄问题1、年龄问题的三大规律：（1）两人的年龄差是不变的； （2）两人年龄的倍数关系是变化的量；（3）随着时间的推移，两人的年龄都是增加相等的量；2、关键是年龄差不变；（1）几年后年龄大小年龄差倍数差小年龄 （2）几年前年龄小年龄大小年龄差倍数差十六、边端问题1、基本思想：牢记各类题型当中的“1关系”，是解答“边端问题”的关键。2、基础公式： （1）单边线形植树：棵数总长间隔1；总长=（棵数-1）间隔 （2）单边环形植树：棵数总长间隔； 总长= 棵数间隔 （3）单边楼间植树：棵数总长间隔1；总长=（棵数+1）间隔 （4）双边植树：相应单边植树问题所需棵数的2倍。 （5）剪绳问题：对折N次，从中剪M刀，则被剪成了（2NM1）段。十七、行程问题1、平均速度型：平均速度2、相遇追及型：相遇问题：相遇距离=（大速度+小速度）相遇时间 追及问题：追击距离=（大速度小速度）追及时间 背离问题：背离距离=（大速度+小速度）背离时间3、流水行船型： 顺水速度船速水速； 逆水速度船速水速。 顺流行程=顺流速度顺流时间=（船速+水速）顺流时间 逆流行程=逆流速度逆流时间=（船速水速）逆流时间4、火车过桥型： 列车在桥上的时间（桥长车长）列车速度 列车从开始上桥到完全下桥所用的时间（桥长车长）列车速度 列车速度=（桥长+车长）过桥时间5、环形运动型： 反向运动：环形周长=（大速度+小速度）相遇时间 同向运动：环形周长=（大速度小速度）相遇时间6、扶梯上下型：扶梯级数=(人速+扶梯速度)顺行运动所需时间=人走的级数+扶梯运行级数(顺行) 扶梯级数=(人速-扶梯速度)逆行运动所需时间=人走的级数-扶梯运行级数(逆行)7、队伍行进型： 对头队尾：队伍长度=（u人+u队）时间 (人和队伍同向而行) 队尾对头：队伍长度=（u人u队）时间（人和队伍反向而行）8、典型行程模型： 等距离平均速度： （分别代表往、返速度） 等发车前后过车核心公式：发车时间间隔： 无动力顺水漂流：漂流所需时间=（其中t顺和t逆分别代表船顺流所需时间和逆流所需时间）十八、钟表问题基本常识： 钟面上按“分针”分为60小格，时针的转速是分针的，分针每小时可追及。 时针与分针一昼夜重合22次，垂直44次，成180o 22次。 钟表一圈分成12格，时针每小时转一格（300），分针每小时转12格（3600） 时针一昼夜转两圈（7200），1小时转圈（300）；分针一昼夜转24圈，1小时转1圈。 钟面上每两格之间为300，时针与分针成某个角度一般都有对称的两种情况。 追及公式： ；T 为追及时间，T0为静态时间（假设时针不动，分针和时针达到条件要求的虚拟时间）。十九、容斥原理 1、两集合标准型：满足条件I的个数+满足条件II的个数两者都满足的个数=总个数两者都不满足的个数。 2、三集合标准型：|ABC|=|A|+|B|+|C|-|AB|-|BC|-|AC|+|ABC| 3、三集和图标标数型： 利用图形配合，标数解答 (1)特别注意“满足条件”和“不满足条件”的区别 (2)特别注意有没有“三个条件都不满足”的情形 (3)标数时，注意由中间向外标记4、三集合整体重复型：三集合整体重复型核心公式：A+B+C-x-2y=M-p。 假如满足三个条件的元素数量分别为A、B、C，总量为M，满足两个条件的总和为x，满足三个条件的个数为y，三者都不满足的条件为p，则有：ABC= A+B+C-x-2y=M-p。二十、牛吃草问题核心公式：y=(N-x)T 原有草量（牛数每天长草量）天数，其中：一般设每天长草量为X。注意：如果草场面积有区别，如“M头牛吃W亩草时”，N用代入，此时N代表单位面积上的牛数。二十一、弃九推断 在整数范围内的、三种运算中，可以使用此法1、计算时，将计算过程中数字全部除以9，留其余数进行相同的计算。2、计算时如有数字不在0-8之间，通过加上或减去9或9的倍数达到0-8之间。3、将选项除以9留其余数，与上面计算结果对照，得到答案。备注：弃九法不用考虑数字当中的小数点，可以直接忽视。另外，两个数相乘，如果其中一个除以9余数是0，另外一个就不再需要计算了。二十二、乘方尾数 口诀：“底数留个位，指数末两位除以4留余数（余数为0则看作4）”。二十三、除以“7”乘方余数核心口诀 注：只对除数为7的求余数有效 1、底数除以7留余数 2、指数除以6留余数（余数为0则看作6）注：“尾数”即除以10之后的余数。二十四、指数增长如果有一个量，每个周期后变为原来的A倍，那么N个周期后就是最开始的AN倍，一个周期前应该是当时的。二十五、溶液问题 1、溶液=溶质+溶剂 浓度=溶质溶液 溶质=溶液浓度 溶液=溶质浓度 2、浓度分别为a%、b%的溶液，质量分别为M、N，交换质量L后浓度都变成c%，则 3、混合稀释型 溶液倒出比例为a的溶液，再加入相同的溶质，则浓度为 溶液加入比例为a的溶剂，在倒出相同的溶液，则浓度为二十六、调和平均数1、调和平均数公式：2、等价钱平均价格核心公式： （P1、P2分别代表之前两种东西的价格 ）3、等溶质增减溶质核心公式： （其中r1、r2、r3分别代表连续变化的浓度）二十七、同余问题 核心口诀：“余同取余、和同加和、差同减差、公倍数做周期”1、余同：“一个数除以4余1，除以5余1，除以6余1”，则取1，表示为60n+1”2、和同：“一个数除以4余3，除以5余2，除以6余1”，则取7，表示为60n+7”3、差同：“一个数除以4余1，除以5余2，除以6余3”，则取-3，表示为60n-3”选取的这个数加上除数的最小公倍数的任意整数倍（即例中的60n）都满足条件。注意：n的取值范围为整数，即可以去负值，也可以取零值。二十八、星期日期问题 平年与闰年判断方法年共有天数2月天数平年不能被4整除365天28天闰年可以被4整除366天29天星期推断：一年加1天；闰年再加1天。 大月与小月包括月份月共有天数大月1、3、5、7、8、10、1231天小月2、4、6、9、1130天 注意：星期每7天一循环；“隔N天”指的是“每（N+1)天”。二十九、循环周期问题 核心提示：若一串事物以T为周期，且AT=Na，那么第A项等同于第a项。三十、典型数列前N项和 1、 2、 3、 4、 三十一、常用平方、立方及多次方数平方数底数1234567891011平方149162536496481100121底数1213141516171819202122平方144169196225256289324361400441484底数2324252627282930313233平方52957662567672978484190096110241089立方数底数1234567891011立方18276412521634351272910001331三十二、质数、合数1既不是质数也不是合数1、 20以内的质数包括：2、3、5、7、11、13、17和19；20以内的合数包括：4、6、8、9、10、12、14、15、16、18和20。2、典型形似质数分解91=713111=337119=717133=719117=913143=1133147=721153=713161=723171=919187=1117209=19111001=71113三十三、常用“非唯一”变换 1、数字0的变换: 2、数字1的变换： 3、特殊数字变换： 4、个位幂次数字： 三十四、比赛问题N支队伍进行循环赛每支队伍需要和其他任意队伍进行一次比赛，所以每支队伍需要进行（N-1）场比赛，由于每场比赛都是2个队伍共同进行，所以总场应该为N(N-1)/2。三十五、乘船过河问题核心公式：M个人过河，船上能载N个人，由于需要一人划船，故共需过河M-1/N-1次，（分子、分母分别减“1”是因为需要1个人划船，如果需要n