《数模差分方程模型》PPT课件.ppt

第七章 差分方程模型,重庆邮电大学 数理学院,第一节 差分方程基本的基本概念与性质 第二节 市场经济中的蛛网模型 第三节 简单的鹿群增长模型 第四节 减肥计划节食与运动 第五节 差分形式的阻滞增长模型 第六节 按年龄分组的种群增长,第七章 差分方程模型,第一节 差分方程的概念及性质,一.差分的定义与运算法则,1.差分的定义,解,解,2. 差分的四则运算法则,可参照导数的四则运算法则学习,二 差分方程的基本概念,1.差分方程与差分方程的阶,定义1,定义2：,注：由差分的定义及性质可知，差分方程的不同定义形式之间可以相互转换。,2.差分方程的解,含有相互独立的任意常数的个数与差分方程的 阶数相同的差分方程的解.,差分方程的通解,为了反映某一事物在变化过程中的客观规律性，往往根据事物在初始时刻所处状态，对差分方程所附加的条件.,通解中任意常数被初始条件确定后的解.,初始条件,差分方程的特解,引例1： Fibonacci 数列,问题,13世纪意大利著名数学家Fibonacci在他的著作算盘书中记载着这样一个有趣的问题： 一对刚出生的幼兔经过一个月可长成成兔，成兔再经过一个月后可以繁殖出一对幼兔. 若不计兔子的死亡数，问一年之后共有多少对兔子？,将兔群总数记为 fn, n=0,1,2,，经过观察可以发现，数列fn满足下列递推关系： f0 = f1 =1, fn+2 = fn+1 + fn , n=0,1,2,这个数列称为Fibonacci数列. Fibonacci数列是一个十分有趣的数列，在自然科学和数学领域中都有着广泛的应用.,Fibonacci数列的一些实例. 1. 蜜蜂的家谱 2. 钢琴音阶的排列 3. 树的分枝 4. 杨辉三角形,引例2：日常的经济问题中的差分方程模型,1）. 银行存款与利率,假如你在银行开设了一个1000元的存款账户，银行的年利率为7%. 用an表示n年后你账户上的存款额，那么下面的数列就是你每年的存款额： a0, a1, a2, a3, , an, 设r为年利率，由于an+1=an+r an, 因此存款问题的数学模型是： a0=1000, an+1=(1+r)an, n=1,2,3,2）. 家庭教育基金,从1994年开始，我国逐步实行了大学收费制度. 为了保障子女将来的教育费用，小张夫妇从他们的儿子出生时开始，每年向银行存入x元作为家庭教育基金. 若银行的年利率为r，试写出第n年后教育基金总额的表达式. 预计当子女18岁入大学时所需的费用为100000元，按年利率3%计算，小张夫妇每年应向银行存入多少元?,设n年后教育基金总额为an，每年向银行存入x元，依据复利率计算公式，得到家庭教育基金的数学模型为： a0=x, an+1=(1+r)an+x, n=0,1,2,3,3） . 抵押贷款,小李夫妇要购买二居室住房一套，共需30万元. 他们已经筹集10万元，另外20万元申请抵押贷款. 若贷款月利率为0.6%，还贷期限为20年，问小李夫妇每月要还多少钱？,设贷款额为a0，每月还贷额为x，月利率为r，第n个月后的欠款额为an，则 a0=200000, a1=(1+r)a0-x, a2=(1+r)a1-x, an=(1+r)an-1-x, n=1,2,3,例3,证明,三. 线性差分方程解的结构,n阶齐次线性差分方程的标准形式,n阶非齐次线性差分方程的标准形式,1.n阶齐次线性差分方程解的结构,问题:,（ 是任意常数）,那么称这些函数在区间内线性相关； 否则称线性无关.,2.n阶常系数非齐次线性差分方程解的结构,由此可见，要求出n阶常系数非齐次线性差分方程（2）的通解，只需求出（1）的通解和（2）的一个特解即可.,一阶常系数齐次线性差分方程的一般形式,一阶常系数非齐次线性差分方程的一般形式,四 一阶常系数线性差分方程的解法,解,特征方程,特征根,解,解,二、 一阶常系数非齐次线性差分方程的求解,1.,(1),(2),综上讨论,解,对应齐次方程通解,特征方程,特征根,代入方程, 得,原方程通解为,解,对应齐次方程通解,代入方程, 得,解,2.,日常的经济问题中的差分方程模型,1. 银行存款与利率,假如你在银行开设了一个1000元的存款账户，银行的年利率为7%. 用an表示n年后你账户上的存款额，那么下面的数列就是你每年的存款额： a0, a1, a2, a3, , an, 设r为年利率，由于an+1=an+r an, 因此存款问题的数学模型是： a0=1000, an+1=(1+r)an, n=1,2,3,2. 家庭教育基金,从1994年开始，我国逐步实行了大学收费制度. 为了保障子女将来的教育费用，小张夫妇从他们的儿子出生时开始，每年向银行存入x元作为家庭教育基金. 若银行的年利率为r，试写出第n年后教育基金总额的表达式. 预计当子女18岁入大学时所需的费用为100000元，按年利率3%计算，小张夫妇每年应向银行存入多少元?,设n年后教育基金总额为an，每年向银行存入x元，依据复利率计算公式，得到家庭教育基金的数学模型为： a0=x, an+1=(1+r)an+x, n=0,1,2,3,家庭教育基金模型的解,由 a0=x, an+1=(1+r)an+x, n=0,1,2,3, 得通解:,将 a0=x, =1+r, b=x 代入, 得 c =x(1+r)/r, 因此方程的特解是:,将 a18=100000,r=0.03 代入计算出 x=3981.39.,3 . 抵押贷款,小李夫妇要购买二居室住房一套，共需30万元. 他们已经筹集10万元，另外20万元申请抵押贷款. 若贷款月利率为0.6%，还贷期限为20年，问小李夫妇每月要还多少钱？,设贷款额为a0，每月还贷额为x，月利率为r，第n个月后的欠款额为an，则 a0=200000, a1=(1+r)a0-x, a2=(1+r)a1-x, an=(1+r)an-1-x, n=1,2,3,购房抵押贷款模型的解,由 a0=200000, an+1=(1+r)an-x, n=0,1,2,3, 将 =1+r, b=-x 代入得到方程的特解:,若在第N个月还清贷款，令 aN=0, 得:,将 a0=200000, r =0.006, N=20*12=240 代入计算出 x=1574.70,4 . 分期付款,小王看到一则广告：商场对电脑实行分期付款销售. 一台售价8000元的电脑，可分36个月付款，每月付300元即可. 同时他收到了银行提供消费贷款的消息：10000元以下的贷款，可在三年内还清，年利率为15%. 那么，他买电脑应该向银行贷款，还是直接向商店分期付款？,经过分析可知，分期付款与抵押贷款模型相同. 设第n个月后的欠款额为an，则 a0=8000, an+1=(1+r)an-300, n=0,1,2,3, 贷款模型 a0=8000, an+1=(1+0.15/12)an-x, n=0,1,2,3,第二节 市场经济中的蛛网模型,问 题,供大于求,现 象,商品数量与价格的振荡在什么条件下趋向稳定,当不稳定时政府能采取什么干预手段使之稳定,描述商品数量与价格的变化规律,数量与价格在振荡,蛛 网 模 型,xk第k时段商品数量；yk第k时段商品价格,消费者的需求关系,生产者的供应关系,减函数,增函数,f与g的交点P0(x0,y0) 平衡点,一旦xk=x0，则yk=y0,xk+1,xk+2,=x0, yk+1,yk+2, =y0,设x1偏离x0,x1,P0是稳定平衡点,P0是不稳定平衡点,曲线斜率,蛛 网 模 型,在P0点附近用直线近似曲线,P0稳定,P0不稳定,方 程 模 型,方程模型与蛛网模型的一致, 商品数量减少1单位, 价格上涨幅度, 价格上涨1单位, (下时段)供应的增量,考察 , 的含义, 消费者对需求的敏感程度, 生产者对价格的敏感程度,小, 有利于经济稳定, 小, 有利于经济稳定,结果解释,xk第k时段商品数量；yk第k时段商品价格,结果解释,经济不稳定时政府的干预办法,1. 使 尽量小，如 =0,以行政手段控制价格不变,2. 使 尽量小，如 =0,靠经济实力控制数量不变,结果解释,模型的推广,生产者根据当前时段和前一时段的价格决定下一时段的产量。,生产者管理水平提高,设供应函数为,需求函数不变,二阶线性常系数差分方程,x0为平衡点,研究平衡点稳定，即k, xkx0的条件,方程通解,(c1, c2由初始条件确定),1, 2特征根，即方程 的根,平衡点稳定，即k, xkx0的条件:,平衡点稳定条件,比原来的条件 放宽了,模型的推广,1、问题的分析,由于公鹿和母鹿的比例大致相等，所以在此仅考虑母鹿的增长。鹿群的增长与鹿的死亡率和生育率密切相关，因为鹿的生育周期为一年，即一岁以上的母鹿可以生育，所以我们把母鹿分为两组，一岁以下的为幼鹿，其余的为成年鹿。根据这样的分组，一年以后存活的幼鹿都为成年鹿，而这一年中出生的鹿构成新的幼鹿。从以上的分析，我们可把观测的时间间隔取为一年。,2、模型假设,）动物的数量足够大，故可以用连续的方法来度量。,）只考虑母鹿，并将其分为两组，一岁以下为幼鹿组，其余为成年鹿组。,第三节 简单的鹿群增长模型,）把时间离散化，每年观测一次，即环境因素、生育、死亡方式等每年重复发生。,）不考虑饱和状态，即在所考虑的时间段内，种群的增长几乎不受自然资源的制约。,）疾病是死亡的主要原因，鹿的死亡数与鹿的总数成正比。,）鹿的生育数与鹿的总数成正比。,3、模型的建立与求解,分别以,和,表示第n年幼鹿和成年鹿的数量。,一年后，幼鹿存活的数量与,之比叫做幼鹿的存活率。,由假设，每年的存活率是一常数，分别以,和,表示幼鹿和成年鹿的存活率。,因为年长的幼鹿在这一年之内可能超过一岁，因而有生育能力。根据假设，生育率也是常数，,分别以,和,表示幼鹿和成年鹿的生育率。,假设刚出生的幼鹿在哺乳期的存活率为s。,一年以后，原来的幼鹿可生育幼鹿数为,成年鹿可生育的幼鹿数为,由于哺乳期的新生幼鹿的存活率为s，,所以一年以后新的幼鹿数：,(7.2.1),一年以后，原来的幼鹿存活数为,原来的成年鹿的存活数为,所以新的成年鹿的数目是,(7.2.2),(7.2.1).(7.2.2)联立起来，即得下面的线性差分方程组：,(7.2.3),或用矩阵表示为：,(7.2.4),这是一个一步方程，令,， A=,则(7.2.4)式可表示为,(7.2.5),于是可推出：,或,=,n,(7.2.6),如果知道开始时幼鹿数量,和成年鹿的数量,，由(7.2.6)可算出第n年的鹿的总数。,为了给出解的一般表达式，先把矩阵A对角化：,令,=0,即,得特征方程：,(7.2.7),其判别式为,=,由于s,都是大于零的，所以判别式 0，,和,矩阵A可以对角化。,特征方程(7.2.7)有两个相异的实根,，这保证了,对于特征根,，从下面的线性方程组,=,可解得特征向量,同理可解得对应于特征根,的特征向量,所以可得矩阵 P,使得,A,即,于是得,将上式代入(7.2.6)式,=,=,记,=,(7.2.8),所以,=,=,由此可得：,n,故解得：,(7.2.9),现在利用公式(7.2.9)对下面的一组数据,0.8（千头）,0.3,0.62 s0.8,1 （千头）,1.5,0.75,计算今后6年鹿的总数。,为此，将以上数据代入(7.2.7),解得,将数据代入(7.2.8)得,最后由(7.2.9)得,4、模型评价,该模型的假设中，没有考虑资源的制约，所以当鹿群的增长接近饱和状态时，该模型失效。如果考虑自然资源的制约，则模型假设中的第条不成立，这时生育率与食物的获取有关。,第四节 减肥计划节食与运动,背景,多数减肥食品达不到减肥目标，或不能维持,通过控制饮食和适当的运动，在不伤害身体的前提下，达到减轻体重并维持下去的目标,分析,体重变化由体内能量守恒破坏引起,饮食（吸收热量）引起体重增加,代谢和运动（消耗热量）引起体重减少,体重指数BMI=w(kg)/l2(m2). 18.525 超重; BMI30 肥胖.,模型假设,1）体重增加正比于吸收的热量每8000千卡增加体重1千克；,2）代谢引起的体重减少正比于体重 每周每公斤体重消耗200千卡 320千卡(因人而异), 相当于70千克的人每天消耗2000千卡 3200千卡；,3）运动引起的体重减少正比于体重，且与运动形式有关；,4）为了安全与健康，每周体重减少不宜超过1.5千克，每周吸收热量不要小于10000千卡。,某甲体重100千克，目前每周吸收20000千卡热量，体重维持不变。现欲减肥至75千克。,第一阶段：每周减肥1千克，每周吸收热量逐渐减少，直至达到下限（10000千卡）；,第二阶段：每周吸收热量保持下限，减肥达到目标,2）若要加快进程，第二阶段增加运动，试安排计划。,1）在不运动的情况下安排一个两阶段计划。,减肥计划,3）给出达到目标后维持体重的方案。,确定某甲的代谢消耗系数,即每周每千克体重消耗 20000/100=200千卡,基本模型,w(k) 第k周(末)体重,c(k) 第k周吸收热量, 代谢消耗系数(因人而异),1）不运动情况的两阶段减肥计划,每周吸收20000千卡 w=100千克不变,第一阶段: w(k)每周减1千克, c(k)减至下限10000千卡,第一阶段10周, 每周减1千克，第10周末体重90千克,吸收热量为,1）不运动情况的两阶段减肥计划,第二阶段：每周c(k)保持Cm, w(k)减至75千克,1）不运动情况的两阶段减肥计划,基本模型,第二阶段：每周c(k)保持Cm, w(k)减至75千克,第二阶段19周, 每周吸收热量保持10000千卡, 体重按 减少至75千克。,运动 t=24 (每周跳舞8小时或自行车10小时), 14周即可。,2）第二阶段增加运动的减肥计划,t每周运动时间(小时),3）达到目标体重75千克后维持不变的方案,每周吸收热量c(k)保持某常数C，使体重w不变,不运动,运动(内容同前),第五节 差分形式的阻滞增长模型,连续形式的阻滞增长模型 (Logistic模型),t, xN, x=N是稳定平衡点(与r大小无关),离散形式,x(t) 某种群 t 时刻的数量(人口),yk 某种群第k代的数量(人口),若yk=N, 则yk+1,yk+2,=N,讨论平衡点的稳定性，即k, ykN ？,y*=N 是平衡点,离散形式阻滞增长模型的平衡点及其稳定性,一阶(非线性)差分方程,(1)的平衡点y*=N,讨论 x* 的稳定性,变量代换,(1)的平衡点 x*代数方程 x=f(x)的根,稳定性判断,(1)的近似线性方程,x*也是(2)的平衡点,x*是(2)和(1)的稳定平衡点,x*是(2)和(1)的不稳定平衡点,补充知识,的平衡点及其稳定性,平衡点,稳定性,另一平衡点为 x=0,不稳定,的平衡点及其稳定性,初值 x0=0.2,数值计算结果,b 3, x,b=3.3, x两个极限点,b=3.45, x4个极限点,b=3.55, x8个极限点,倍周期收敛x*不稳定情况的进一步讨论,单周期不收敛,2倍周期收敛,(*)