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数列极限的性质,1.唯一性,定理1 每个收敛的数列只有一个极限.,证明,例1,在数列 xn 中任意抽取无限多项并保持这些项在原数列中的先后次序,得到的数列称为子数列:,定理2,若数列xn 收敛于a ,则它的任一子数列 也收敛,且极限也是a,这一定理表明的是收敛的数列与其子数列之间的关 系。由此可知,若数列xn 有两个子数列收敛于不同的 极限值,则xn一定是发散的。,例2,对于数列xn,,3.有界性,例如,有界,无界,定义,收敛的数列必定有界.,注意:有界性是数列收敛的必要条件.,推论 无界数列必定发散.,证明:,定理3,4.保号性,若,定理4,,则存在正整数,当 时,有,推论,对一切正整数 ,,且,,则,5.运算性质,若 ,,定理5,,则,1),2),3),4),例3,6.运算性质,定理6,设,是非空有上界数集 ,且,推论,设,是非空有界集 ,,,则,存在互不相同的数列,,使得,小结,收敛数列的性质:有界性,唯一性,保号性等,练 习 题,
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