《改进Euler法》PPT课件.ppt

改进的Euler方法,改进的Euler方法,第 二 节,Euler格式 一阶方法,梯形格式是显式Euler格式与隐式Euler格式的算术平均,梯形格式,改进的Euler方法,Euler格式是显式算法，计算量小，但精度低 梯形格式，精度较高，但是隐式算法，需要通过 迭代过程求解，计算量大,预测校正系统称作改进的欧拉公式。,改进的Euler方法,综合两种方法，先用Euler法得到一个初步的近似值,单步显式格式,改进的Euler方法,改进Euler方法计算框图,开始,Y,N,例2,解,例 题 3,Euler法,改进Euler法,准确解,Runge-Kutta方法,改进的Euler方法,第 三 节,拉格朗日中值定理,准确成立,寻求计算平均斜率的算法, 考察改进的欧拉法，可以将其改写为：,斜率 一定取K1 K2 的平均值吗？,步长一定是一个h 吗？, 考察欧拉法，以xn的斜率值,作为平均斜率,Runge-Kutta方法的设计思想,设法在xn,xn+1区间内多预报几个点的斜率值， 利用这些斜率值，将他们加权平均作为平均斜率 的近似，有可能构造出更高精度的计算格式,二、二阶Runge-Kutta方法,（1）,首先希望能确定系数 1、2、p，使得到的算法格式有2阶精度，即在 的前提假设下，使得,Step 1: 将 K2 在 ( xn , yn ) 点作 Taylor 展开,Step 2: 将 K2 代入第1式，得到,2 Runge-Kutta Method,Step 3: 将 yn+1 与 y( xn+1 ) 在 xn 点的泰勒展开作比较,要求 ，则必须有：,这里有 个未知数， 个方程。,3,2,存在无穷多个解。所有满足上式的格式统称为2阶龙格 - 库塔格式。,Q: 为获得更高的精度，应该如何进一步推广？,三、三阶Runge-Kutta方法,为进一步提高精度，设除xn+p外再考察一点,常用的三阶R-K方法.,R-K法的常用公式,经典R-K公式,四、四阶Runge-Kutta方法,继续上述过程，可以进一步导出四阶Runge-Kutta格式,每一步计算需 要四个函数值,R-K(高阶)方法不唯一,选择不同的参数能得到 不同的R-K公式,注意的问题,R-K方法的推导是基于Taylor展开法，因而要求 解具有较好的光滑性，如果光滑性较差精度可 能不如改进Euler方法,最好采用低阶算法而将步长h 取小。,Runge-Kutta法的主要运算在于计算 Ki 的值，即计算 f 的值。计算量与可达到的最高精度阶数的关系：,四阶R-K方法实现,开始,输出x1,y1,结束,Y,N,例4,解,例 题 4,改进Euler法一步需要计算两个函数值(h=0.1) 四阶Runge-Kutta方法一步需要计算四个函数值（h=0.2） 总计算量大致相当，但四阶Runge-Kutta方法精度更高,五、变步长Runge-Kutta方法,从每一步看，步长越小，截断误差越小；但随着步长的缩小，在一定求解范围内所要完成的步数就会增加，步数的增加不但引起计算量的增大，而且可能导致舍入误差的严重积累，因此需要选择步长,如何衡量和检验计算结果的精度 如何依据所判定的精度来处理步长