线性代数期末复习总结.ppt

复习总结,1. 行列式的三种展开定义：,按行指标展开，,按列指标展开，,完全展开，,复习总结,性质1 行列式与它的转置行列式相等.,性质2 互换行列式的两行（列）,行列式变号.,推论 如果行列式有两行（列）完全相同，,则此行列式为零.,性质5 若行列式的某一列（行）的元素都是两数之和.,性质 把行列式的某一列（行）的各元素乘以同一数然后加到另一列(行)对应的元素上去，行列式不变,计算行列式常用方法：利用运算 把行列式化为上三角形行列式，从而算得行列式的值,复习总结,定理 行列式等于它的任一行（列）的各元素与其对应的代数余子式乘积之和，即,行列式按行（列）展开法则(Laplace 定理),性质 奇数阶反对称行列式等于零,性质 范德蒙行列式的结构特点和结果,复习总结,例,矩阵的逆,复习总结,性质,矩阵的初等变换,矩阵的初等变换,矩阵的初等变换,矩阵的初等变换,定理 设 是一个 矩阵，对 施行一次初等行变换，相当于在 的左边乘以相应的 阶初等矩阵；对 施行一次初等列变换，相当于在 的右边乘以相应的 阶初等矩阵.,矩阵的初等变换,性质：,复习总结,性质：经过同样的行初等变换，,从而，,用矩阵乘法表示,求矩阵逆的方法,求矩阵的初等分解方法,Gauss 消去法,定理,线性方程组有解,自由未知量个数为,Gauss 消去法,推论 若,推论 若,向量的线性相关性,定义,则称向量组 是线性相关的，否则称它线性无关,(1),只有 时, （1）式成立,线性无关的等价说法：,或者（1）式成立时，必有,向量的线性相关性,例 含有零向量的向量组必线性相关.,性质 若向量组的一个部分组线性相关，则整个向量组也线性相关,性质 若向量组线性无关，则其任意部分组也线性无关,例 一个零向量形成的向量组是线性相关的，,一个非零向量 是线性无关的.,向量的线性相关性,根据定义，列出齐次线性方程组，由解的情况进行判断:,有唯一零解 线性无关；,有非零解 线性相关；,推论,个 维向量,线性相关,线性无关,推论,个 维向量,必线性相关,推论 设,维向量组，若,则 线性相关,向量的线性相关性,向量组的秩,满足如下条件： （I）向量组（2）线性无关； （II）向量组（1）中每个向量都可由向量组（2）线性表示. (即再添加任何一个向量都线性相关),则称向量组（2）为（1）的一个极大线性无关组.,定义 一个向量组中，它的极大无关组所含向量,个数称为向量组的秩.,推论 两个等价的向量组有相同的秩.,向量组的秩,向量组的秩与矩阵的秩之间的关系：,定义 矩阵 的行向量组的秩称为 的行秩； 的列向量组的秩称为 的列秩.,向量组的秩与矩阵的秩互相转化,向量组与矩阵互相转化,向量组的秩,上述定理还提供了求向量组的秩的方法：,（1）将所给向量组中的各个向量作为矩阵的行向量（或列向量）得到矩阵 ；,（2）将矩阵 施行初等变换化为如（7）形式的的矩阵.,（3）观察（7）知 ，则 即为所求向量组的秩.,性质 初等行（列）变换不改变矩阵的行秩，列秩以及矩阵的秩,向量组的秩,定理 矩阵 经初等行变换得矩阵 ，则 与 的行向量组等价, 且 与 的列向量组具有相同的线性相关性.,所以,线性组合系数也相同的,矩阵的初等变换：线性表示，线性相关性，求矩阵、向量组的秩，求极大无关组，求线性表示系数，求线性方程组的解等等,向量组的秩,推论3 给定,则,子空间,定义 为一个向量空间，向量 满足,（1） 线性无关；,（2） 中任意一个向量都可由向量组,线性表出.,则向量组 称为向量空间 的一个基，,称为向量空间 的维数，也称 为 维向量空间.,基的实质：向量组 的一个极大无关组,线性方程组解的结构,线性方程组解的结构,线性方程组解的结构,线性方程组解的结构,通解的向量表示形式,线性方程组解的结构,线性方程组解的结构,线性方程组解的结构,通解的向量形式,线性方程组解的结构,线性方程组解的结构,线性方程组解的结构,(1) 写出系数矩阵及其增广矩阵；,求解过程：,(2) 初等行变换化增广矩阵为简化的阶梯型矩阵,(4)写出对应的齐次导出组的基础解系;,(3)写出原来的非齐次组的一个特解；,(5)写出原来的非齐次组的一个通解。,复习总结,第五章 特征值特征向量,矩阵特征值，特征向量的定义及实质,矩阵相似的定义及相关性质,相似对角化的条件，,实对称矩阵特征值、特征向量的性质(3条),特征值，特征向量的具体求法,实对称矩阵的正交相似对角化,特征值的性质，与行列式、迹之间的关系,复习总结,第六章 二次型,二次型定义，其与矩阵元素之间的关系,矩阵的合同关系，二次型的标准型，规范型,复、实对称矩阵的合同（对角化）条件，,正定矩阵的性质与判定定理：四条,二次型的规范形,定理 复数域上任意一个二次型都可以经可逆线性替换转化成唯一的规范形，即,定理 任意一个复对称矩阵都合同于一个形式为,亦即,推论 复对称矩阵彼此合同的充要条件是它们的秩相同,二次型的规范形,定理 实数域上任意一个二次型都可经可逆替换转化成唯一的规范形。,定义 二次型的规范形中，正平方项的个数 称之为二次型的正惯性指数；负平方项的个数 称之为二次型的负惯性指数，他们的差 称之为符号差,当然，正负惯性指数之和等于矩阵的秩或者二次型的秩。,推论 实对称矩阵彼此合同等价于它们的正负惯性指数是相同的,常用解题思路,利用向量空间 的思想,4. 条件要求确定参数的取值，考虑是否有某行列式为零等等,反之，向量组的求秩等运算也经常转化为矩阵之间的乘