2019年高中数学第4章导数及其应用章末小结讲义（含解析）湘教版.docx

第4章 导数及其应用1导数的几何意义导数的几何意义通常是指曲线的切线斜率；导数的物理意义通常是指物体运动的瞬时速度2函数的单调性与导数(1)在某个区间内，若f(x)0(或f(x)0或f(x)0或f(x)0或f(x)，其中x1.证明：设f(x)ln x(x1)，则f(x).x1，f(x)0，f(x)在(1，)内为单调增函数又f(1)0，当x1时，f(x)f(1)0，即ln x0，ln x.4已知函数f(x)x2aln x.(1)当a2时，求函数f(x)的单调区间；(2)若g(x)f(x)在1，)上是单调增函数，求实数a的取值范围解：(1)易知函数f(x)的定义域为(0，)，当a2时，f(x)x22ln x，f(x)2x.令f(x)0，得x1；令f(x)0，得0x1，所以f(x)的单调增区间是(1，)，单调减区间是(0,1)(2)由g(x)x2aln x，得g(x)2x.若函数g(x)为1，)上的单调增函数，则g(x)0在1，)上恒成立，即不等式2x0在1，)上恒成立也即a2x2在1，)上恒成立令(x)2x2，则(x)4x.当x1，)时，(x)4x0，(x)2x2在1，)上为减函数(x)max(1)0.a0，即a的取值范围为0，).导数与函数的极值、最值及恒成立问题例3已知函数f(x)ln x.(1)若f(x)存在最小值且最小值为2，求a的值；(2)设g(x)ln xa，若g(x)x2在(0，e上恒成立，求a的取值范围解(1)f(x)(x0)，当a0时，f(x)0，f(x)在(0，)上是增函数，f(x)不存在最小值；当a0时，由f(x)0，得xa，且0xa时，f(x)0，xa时，f(x)0.xa时，f(x)取极小值也是最小值，f(a)ln(a)12，解得ae.(2)g(x)x2，即ln xax2，即aln xx2，故g(x)x2在(0，e上恒成立，也就是aln xx2在(0，e上恒成立设h(x)ln xx2，则h(x)2x，由h(x)0及0xe，得x.当0x时，h(x)0，当xe时，h(x)0，即h(x)在上为增函数，在上为减函数，所以当x时，h(x)取得最大值为hln .所以g(x)x2在(0，e上恒成立时，a的取值范围为.一般地，若已知函数f(x)在某区间上的不等式恒成立，求函数表达式中所含参数的取值范围问题，都可以借助导数转化为求函数的最值或函数值域的端点问题，然后根据不等式恒成立问题的解法(如：分离参数法，数形结合法)进行求解5(北京高考)已知函数f(x)excos xx.(1)求曲线yf(x)在点(0，f(0)处的切线方程；(2)求函数f(x)在区间上的最大值和最小值解：(1)因为f(x)excos xx，所以f(x)ex(cos xsin x)1，f(0)0.又因为f(0)1，所以曲线yf(x)在点(0，f(0)处的切线方程为y1.(2)设h(x)ex(cos xsin x)1，则h(x)ex(cos xsin xsin xcos x)2exsin x.当x时，h(x)0，所以h(x)在区间上单调递减所以对任意x，有h(x)h(0)0，即f(x)0.所以函数f(x)在区间上单调递减因此f(x)在区间上的最大值为f(0)1，最小值为f.6设函数f(x)2x39x212x8c，若对任意的x0,3，都有f(x)0；当x(1,2)时，f(x)0.当x1时，f(x)取极大值f(1)58c.又f(3)98cf(1)，f(0)8cf(1)，x0,3时，f(x)的最大值为f(3)98c.对任意的x0,3，都有f(x)c2恒成立，98cc2，即c9.c的取值范围为(，1)(9，).导数与不等式例4已知函数f(x)x2ex1x3x2.(1)讨论函数f(x)的单调性；(2)设g(x)x3x2，试比较f(x)与g(x)的大小解(1)f(x)x(x2)(ex11)，由f(x)0，得x12，x20，x31.当2x1时，f(x)0；当x2或0x1时，f(x)0，所以函数f(x)在(2,0)和(1，)上单调递增，在(，2)和(0,1)上单调递减(2)f(x)g(x)x2ex1x3x2(ex1x)因为对任意实数x总有x20，所以设h(x)ex1x.则h(x)ex11，由h(x)0，得x1，当x1时，h(x)0，即函数h(x)在(，1)上单调递减，因此当xh(1)0.当x1时，h(x)0，即函数h(x)在(1，)上单调递增，因此当x1时，h(x)h(1)0.当x1时，h(1)0.所以对任意实数x都有h(x)0，即f(x)g(x)0，故对任意实数x，恒有f(x)g(x)利用导数解决不等式问题(如：证明不等式，比较大小等)，其实质就是利用求导数的方法研究函数的单调性，而证明不等式(或比较大小)常与函数最值问题有关因此，解决该类问题通常是构造一个函数，然后考查这个函数的单调性，结合给定的区间和函数在该区间端点的函数值使问题得以求解7已知f(x)ln xxa1.(1)若存在x(0，)使得f(x)0成立，求a的取值范围；(2)求证：当x1时，在(1)的条件下，x2axaxln x成立解：(1)原题即为存在x0使得ln xxa10，aln xx1，令g(x)ln xx1，则g(x)1.令g(x)0，解得x1.当0x1时，g(x)0，g(x)为减函数，当x1时，g(x)0，g(x)为增函数，g(x)ming(1)0，ag(1)0.故a的取值范围是0，)(2)证明：原不等式可化为x2axxln xa0(x1，a0)令G(x)x2axxln xa，则G(1)0.由(1)可知xln x10，则G(x)xaln x1xln x10，G(x)在(1，)上单调递增，G(x)G(1)0成立，x2axxln xa0成立，即x2axaxln x成立导数的实际应用例5如图，四边形ABCD是一块边长为4 km的正方形地域，地域内有一条河流MD，其经过的路线是以AB中点M为顶点且开口向右的抛物线(河流宽度忽略不计)新长城公司准备投资建一个大型矩形游乐园PQCN，问如何施工才能使游乐园面积最大？并求出最大面积解以M为原点，AB所在直线为y轴建立直角坐标系，则D(4,2)设抛物线方程为y22px.点D在抛物线上，228p.解得p.抛物线方程为：y2x(0x4)设P(y2，y)(0y2)是曲线MD上任一点，则|PQ|2y，|PN|4y2.矩形游乐园面积为S|PQ|PN|(2y)(4y2)8y32y24y.求导得：S3y24y4，令S0，得3y24y40，解得y或y2(舍)当y时，S0，函数为增函数；当y时，S1 7501 0000，当x50，即年产量为50 000吨时，利润最大，最大利润为(1 000ln 50250)万元.定积分的应用例6求正弦曲线ysin x与余弦曲线ycos x在x到x之间围成的图形的面积解如图，画出ysin x与ycos x在上的图象，它们共产生三个交点，分别为，.在上，cos xsin x，在上，sin xcos x.面积S (cos xsin x)dx (sin xcos x)dx2 (sin xcos x)dx.取F(x)(sin xcos x)，S24.不规则图形的面积可用定积分求，关键是确定定积分上、下限及被积函数，积分的上、下限一般是两曲线交点的横坐标9曲线C：y2x33x22x1，点P，求过点P的切线l与C围成的图形的面积解：设切点A(x0，y0)，则y6x6x02，切线l：y2x3x2x01(6x6x02)(xx0)过P，2x3x2x016x6x02.即x0(4x6x03)0.x00，y01，A(0,1)切线l的方程为y12(x0)2xy10.B.S (3x22x3)dx.(时间120分钟，满分150分)一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，满分60分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1函数ysin 2xcos 2x的导数是()Ay2cosBycos 2xsin 2xCysin 2xcos 2xDy2cos解析：y(sin 2xcos 2x)(sin 2x)(cos 2x)cos 2x(2x)sin 2x(2x)2cos 2x2sin 2x22cos，故选A.答案：A2已知曲线yln x的切线过原点，则此切线的斜率为()AeBeC. D解析：yln x的定义域为(0，)，设切点为(x0，y0)，则kf(x0)，切线方程为yy0(xx0)，又切线过点(0,0)，代入切线方程得y01，则x0e，kf(x0).答案：C3函数f(x)x22ln x的单调递减区间是()A(0,1 B1，)C(，1，(0,1) D1,0)，(0,1解析：f(x)2x，当0x1时，f(x)0，函数f(x)单调递减答案：A4已知函数f(x)xln x，若f(x)在x0处的函数值与导数值之和等于1，则x0的值等于()A1 B1C1 D不存在解析：因为f(x)xln x，所以f(x)ln x1，于是有x0ln x0ln x011，解得x01或x01(舍去)答案：A5.已知函数f(x)的导函数f(x)a(xb)2c的图象如图所示，则函数f(x)的图象可能是()解析：由导函数图象可知，当x0时，函数f(x)递减，排除A、B；当0x0，函数f(x)递增因此，当x0时，f(x)取得极小值，故选D.答案：D6函数f(x)2，x(0,5的最小值为()A2 B3C. D2解析：由f(x)0得x1，且x(0,1)时f(x)0，x(1,5时f(x)0，x1时f(x)最小，最小值为f(1)3.答案：B7由直线x，x，y0与曲线ycos x所围成的封闭图形的面积为()A.B.1C. D.解析：结合函数图象可得所求的面积是定积分cos xdx，取F(x)sin x，则F(x)cos x.cos xdxFF.答案：D8设函数f(x)ex(sin xcos x)(0x2 019)，则函数f(x)的各极小值之和为()A BC D解析：f(x)2exsin x，当x(2k，2k2)(kZ)时，f(x)0，f(x)单调递减，当x(2k2，2k3)(kZ)时，f(x)0，f(x)单调递增，故当x2k2(kZ)时，f(x)取极小值，其极小值为f(2k2)e2k2(kZ)，又0x2 019，f(x)的各极小值之和Se2e4e2 018.答案：D9设函数f(x)在R上可导，其导函数为f(x)，且函数f(x)在x2处取得极小值，则函数yxf(x)的图象可能是()解析：f(x)在x2处取得极小值，在x2附近的左侧f(x)0，当x2时，xf(x)0；在x2附近的右侧f(x)0，当2x0时，xf(x)0.答案：C10函数f(x)t(t4)dt在1,5上()A有最大值0，无最小值B有最大值0，最小值C有最小值，无最大值D既无最大值，也无最小值解析：函数f(x)x32x2，所以f(x)x24x，所以f(x)在1,0上单调递增，在0,4上单调递减，在4,5上单调递增，进而可得f(x)在1,5上既有最大值又有最小值答案：B11.已知定义在R上的函数f(x)满足f(3)f(5)1，f(x)为f(x)的导函数，且导函数yf(x)的图象如图所示则不等式f(x)0时，f(x)0，f(x)是增函数；当x0时，f(x)0，f(x)是减函数又f(3)f(5)1，因此不等式f(x)0)与曲线C2：yex存在公共切线，则a的取值范围为()A. B.C. D.解析：根据题意，函数yax2与函数yex的图象在(0，)上有公共点，令ax2ex，得a.设f(x)，则f(x)，由f(x)0，得x2，当0x2时，f(x)2时，f(x)0，函数f(x)在区间(2，)上是增函数，所以当x2时， 函数f(x)在(0，)上有最小值f(2)，所以a.答案：C二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，满分20分把答案填在题中横线上)13若函数f(x)在区间(m,2m1)上单调递增，则实数m的取值范围是_解析：f(x)，令f(x)0，得1x1，即函数f(x)的增区间为(1,1)又f(x)在(m,2m1)上单调递增，所以解得1m0.答案：(1,014曲线ylog2x在点(1,0)处的切线与坐标轴所围三角形的面积等于_解析：y，k，切线方程为y(x1)，三角形面积为S1 log2e.答案：log2e15点P是曲线yx2ln x上任意一点，则P到直线yx2的距离的最小值是_解析：设曲线上一点的横坐标为x0(x00)，则经过该点的切线的斜率为k2x0，根据题意得，2x01，x01或x0，又x00，x01，此时y01，切点的坐标为(1,1)，最小距离为.答案：16当x1,2时，x3x2xm恒成立，则实数m的取值范围是_解析：记f(x)x3x2x，f(x)3x22x1，令f(x)0，得x或x1.又f，f(2)2，f(1)f(1)1，当x1,2时，f(x)max2，m2.答案：(2，)三、解答题(本大题共6小题，满分70分解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)17(本小题满分10分)已知函数f(x)ax3x2bx(其中常数a，bR)，g(x)f(x)f(x)是奇函数(1)求f(x)的表达式；(2)求g(x)在区间1,2上的最大值与最小值解：(1)因为f(x)3ax22xb，所以g(x)f(x)f(x)ax3(3a1)x2(b2)xb.因为g(x)是奇函数，所以g(x)g(x)，从而3a10，b0，解得a，b0，因此f(x)的表达式为f(x)x3x2.(2)由(1)知g(x)x32x，所以g(x)x22，令g(x)0.解得x(舍去)或x，而g(1)，g()，g(2)，因此g(x)在区间1,2上的最大值为g()，最小值为g(2).18(本小题满分12分)已知f(x)ax2bxc(a0)，且f(1)2，f(0)0，f(x)dx2，求a，b，c的值解：由f(1)2，得abc2，又f(x)2axb，f(0)b0.而f(x)dx(ax2bxc)dx.取F(x)ax3bx2cx，则F(x)f(x)f(x)dxF(1)F(0)abc.abc2，由式得a6，b0，c4.19(本小题满分12分)已知函数f(x)x3x2bxc.(1)若f(x)有极值，求b的取值范围；(2)若f(x)在x1处取得极值，当x1,2时，则f(x)0得112b0，即b.b的取值范围为.(2)f(x)在x1处取得极值，f(1)0，31b0，得b2.令f(x)0，得x1，x21，可以计算得到f(x)max2c，所以2c2或c1.即c的取值范围为(，1)(2，)(3)可以计算得到f(x)max2c，f(x)minc.对1,2内的任意两个值x1，x2，都有|f(x1)f(x2)|2c.20(本小题满分12分)已知两个函数f(x)7x228xc，g(x)2x34x240x.(1)若对任意x3,3，都有f(x)g(x)成立，求实数c的取值范围；(2)若对任意x13,3，x23,3，都有f(x1)g(x2)成立，求实数c的取值范围解：(1)由f(x)g(x)恒成立得c(2x33x212x)max.令F(x)2x33x212x(x3,3)，F(x)6x26x12.又x3,3，当x1,2，f(x)0，f(x)单调递增；当x3，1)和(2,3，f(x)0，g(x)单调递增又x23,3，g(x2)ming(2)48.又f(x1)g(x2)，147c48，即c19